Własności Logarytmów: Dodawanie, Odejmowanie i Więcej

Dawid k

16.10.2025

Matematyka

własności logarytmów

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Właściwości logarytmów

591

•

16 paź 2025

•

1 strona

Własności Logarytmów: Dodawanie, Odejmowanie i Więcej

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Dawid k

@dawid_ycio

Logarytmy to kluczowy temat matematyczny, który początkowo może wydawać się... Pokaż więcej

Własności logarytmów

Logarytmy możesz dodawać, ale tylko gdy mają te same podstawy! Wzór na dodawanie logarytmów o tych samych podstawach to: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$ . W praktyce oznacza to, że dodając logarytmy o identycznych podstawach, mnożysz liczby logarytmowane. Na przykład: $\log_4 8 + \log_4 2 = \log_4 (8 \cdot 2) = \log_4 16 = 2$ .

Podobnie działa odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$ , gdzie $c \neq 0$ . Przy odejmowaniu logarytmów dzielisz pierwszą liczbę logarytmowaną przez drugą. Przykładowo: $\log_4 8 - \log_4 2 = \log_4 (\frac{8}{2}) = \log_4 4 = 1$ .

Znając własności logarytmów dotyczące potęg, możesz zapisać: $\log_a b^x = x \log_a b$ . To znaczy, że wykładnik potęgi możesz "wyciągnąć" przed logarytm jako mnożnik. Przykład: $2 \log_2 4 = \log_2 4^2 = \log_2 16 = 4$ . Ta właściwość jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych!

💡 Zapamiętaj! Wzór na zmianę podstawy logarytmu to: $\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$ . Ten wzór pozwala obliczać logarytmy o dowolnej podstawie, znając logarytmy o innej podstawie. Warunkiem jest, aby wszystkie liczby były dodatnie, a podstawy logarytmów różne od 1.

Warto zauważyć, że kiedy logarytm jest równy 0, dzieje się to tylko wtedy, gdy liczba logarytmowana równa się 1 (dla każdej dopuszczalnej podstawy). Te własności logarytmów pozwalają przekształcać wyrażenia i znacznie upraszczać obliczenia.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Zadania z logarytmów

1478

logarytmy

1137

Obliczanie logarytmy rozszerzenie

901

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Właściwości logarytmów

Matematyka

16 paź 2025

591

1 strona

Własności Logarytmów: Dodawanie, Odejmowanie i Więcej

Dawid k @dawid_ycio

Obserwuj

Logarytmy to kluczowy temat matematyczny, który początkowo może wydawać się trudny. Opanowanie własności logarytmów pozwala jednak znacznie uprościć rozwiązywanie wielu zadań matematycznych. Poznanie podstawowych wzorów i zasad działania logarytmów otworzy... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Własności logarytmów

Logarytmy możesz dodawać, ale tylko gdy mają te same podstawy! Wzór na dodawanie logarytmów o tych samych podstawach to $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$ . W praktyce oznacza to, że dodając logarytmy o identycznych podstawach, mnożysz liczby logarytmowane. Na przykład $\log_4 8 + \log_4 2 = \log_4 (8 \cdot 2) = \log_4 16 = 2$ .

Podobnie działa odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$ , gdzie $c \neq 0$ . Przy odejmowaniu logarytmów dzielisz pierwszą liczbę logarytmowaną przez drugą. Przykładowo $\log_4 8 - \log_4 2 = \log_4 (\frac{8}{2}) = \log_4 4 = 1$ .

Znając własności logarytmów dotyczące potęg, możesz zapisać $\log_a b^x = x \log_a b$ . To znaczy, że wykładnik potęgi możesz "wyciągnąć" przed logarytm jako mnożnik. Przykład $2 \log_2 4 = \log_2 4^2 = \log_2 16 = 4$ . Ta właściwość jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych!

💡 Zapamiętaj! Wzór na zmianę podstawy logarytmu to $\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$ . Ten wzór pozwala obliczać logarytmy o dowolnej podstawie, znając logarytmy o innej podstawie. Warunkiem jest, aby wszystkie liczby były dodatnie, a podstawy logarytmów różne od 1.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Logarytmy: Wzory i Zadania

Praktyczne zadania z logarytmów oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy, korzystając z podstawowych reguł i wzorów. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do matury. Typ: ćwiczenia.

Matematyka

Podstawy Logarytmów

Zrozum podstawowe pojęcia logarytmów, w tym definicję, zasady działania oraz przykłady obliczeń. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy o różnych podstawach oraz ich zastosowania w matematyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Logarytmy i Potęgi

Zgłębiaj zasady obliczania logarytmów oraz operacje na potęgach. Ta prezentacja zawiera kluczowe przykłady i zadania, które pomogą Ci zrozumieć, jak stosować logarytmy w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Właściwości Logarytmów

Zgłębiaj właściwości logarytmów, w tym zasady i zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz ich podstawowe reguły, takie jak log(a*b) = log(a) + log(b). Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Logarytmy: Obliczenia i Przykłady

Zgłębiaj zasady obliczania logarytmów poprzez praktyczne przykłady. Ten materiał zawiera szczegółowe rozwiązania zadań, które pomogą Ci zrozumieć logarytmy i ich zastosowanie w matematyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

Matematyka

Właściwości Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, podstawowe właściwości oraz przykłady obliczeń. Materiał przeznaczony dla uczniów liceum, idealny do powtórki przed egzaminem. Obejmuje logarytm iloczynu, ilorazu oraz potęgi.

Matematyka

Podobne notatki

Zadania z logarytmów

1478

logarytmy

1137

Obliczanie logarytmy rozszerzenie

901

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS