Matematyka

Przedziały i Dziedziny Funkcji

1883

•

20 gru 2025

•

4 strony

Matematyka: Proste Działania na Przedziałach

Emilka

@idzin_emilka

Przedziały liczbowe to podstawowe narzędzie w matematyce, które pomoże Ci... Pokaż więcej

1 / 4

Działania na przedziałach V.
1. Przedzialy otwarte:
gulme
a
b
->
G
2. Przedział domknięty:
хе<a, bl
D
[PERANTISOP!
xela, b) a<x< b
np. x = (

Rodzaje przedziałów

Przedziały to sposób na opisanie zbiorów liczb znajdujących się między dwiema wartościami. W matematyce używamy różnych typów przedziałów, każdy z własną notacją.

Przedział otwarty $(a, b)$ zawiera wszystkie liczby między $a$ i $b$ , ale bez tych punktów końcowych. Na przykład $(1, 5)$ to liczby większe od 1 i mniejsze od 5. Zapisujemy to jako $a < x < b$ .

Przedział domknięty $\langle a, b \rangle$ zawiera wszystkie liczby między $a$ i $b$ wraz z punktami końcowymi. W przedziale $\langle 1, 5 \rangle$ liczby 1 i 5 należą do przedziału.

Wskazówka: Nawiasy okrągłe ( ) oznaczają, że punkt końcowy nie należy do przedziału, a nawiasy ostre < > lub kwadratowe oznaczają, że punkt końcowy należy do przedziału.

Istnieją też przedziały lewostronnie domknięte $\langle a, b)$ (punkt $a$ należy, $b$ nie należy) oraz prawostronnie domknięte $(a, b\rangle$ (punkt $a$ nie należy, $b$ należy). Przykładowo $\langle -2, 1)$ zawiera liczbę -2, ale nie zawiera 1.

Przedziały nieograniczone i działania na zbiorach

Przedziały nieograniczone pozwalają opisać zbiory bez określonej granicy z jednej strony. Symbol $+\infty$ (nieskończoność) używamy, gdy przedział nie ma górnej granicy.

Przedział $(a, +\infty)$ zawiera wszystkie liczby większe od $a$ , czyli $x > a$ . Podobnie przedział $\langle a, +\infty)$ to liczby $x \geq a$ . Przedział $(-\infty, a)$ to wszystkie liczby mniejsze od $a$ .

Na zbiorach możemy wykonywać różne operacje:

Suma zbiorów $A \cup B$ - wszystkie elementy należące do A lub B (lub do obu)
Iloczyn zbiorów $A \cap B$ - elementy należące jednocześnie do A i B
Różnica zbiorów $A \setminus B$ - elementy należące do A, ale nie do B

Pamiętaj: Przedział $(-\infty, +\infty)$ to cały zbiór liczb rzeczywistych, czyli R.

Przykłady zadań na zbiorach

Zadania ze zbiorami często wymagają określenia, jak wyglądają konkretne zbiory. Oto kilka przykładów:

Gdy mamy $X = {1;3} \cup {5}$ , to zbiór X zawiera tylko liczby 1, 3 i 5. W przypadku $X = \langle 0;2\rangle \cup \langle 3;4 \rangle$ do X należą wszystkie liczby od 0 do 2 włącznie oraz od 3 do 4 włącznie.

Wyrażenie $R \setminus (-2;3)$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych bez przedziału $(-2;3)$ , czyli $(-\infty, -2\rangle \cup \langle 3,+\infty)$ . To wszystkie liczby mniejsze lub równe -2 oraz większe lub równe 3.

Ważne: Przy rozwiązywaniu zadań ze zbiorami narysuj oś liczbową! Pomoże Ci to wizualnie zrozumieć, które liczby należą do danego zbioru.

Podobnie $R \setminus \langle -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \rangle$ to wszystkie liczby rzeczywiste poza przedziałem od $-\frac{1}{2}$ do $\frac{1}{2}$ włącznie, czyli $(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},+\infty)$ .

Operacje na przedziałach - przykłady

Rozwiązując zadania z operacjami na przedziałach, warto narysować przedziały na osi liczbowej. Zobaczmy, jak to działa na konkretnych przykładach.

Dla przedziałów $A = (-3,1) \cup (3;6)$ i $B=(0,4)$ :

Suma $A \cup B = (-3,6)$ - wszystkie punkty należące do A lub B
Iloczyn $A \cap B = [0,1] \cup [3,4]$ - punkty należące jednocześnie do A i B
Różnica $A \setminus B = (-3,0) \cup (4,6)$ - punkty należące do A, ale nie do B
Różnica $B \setminus A = (1,3)$ - punkty należące do B, ale nie do A

Trik: Przy znajdowaniu części wspólnej (iloczynu) przedziałów, szukaj punktów, które należą do obu zbiorów jednocześnie!

Dla zbiorów $A=(2, \infty)$ i $B=(-5,0) \cup (4, \infty)$ , iloczyn $A \cap B = (4,\infty)$ zawiera wszystkie liczby większe od 4, ponieważ tylko one występują w obu przedziałach jednocześnie.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

przedziały liczbowe

270

Przedziały liczbowe

3256

przedziały liczbowe

3929

133

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Interval

Nierówności i Przedziały

Zrozumienie nierówności i działań na przedziałach. Ćwiczenie obejmuje zapisywanie nierówności dla podanych przedziałów, zaznaczanie ich na osi liczbowej oraz określanie liczby całkowitych w każdym przedziale. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matematyki. Typ: ćwiczenie.

Matematyka: Proste Działania na Przedziałach

Rodzaje przedziałów

Przedziały nieograniczone i działania na zbiorach

Przykłady zadań na zbiorach

Operacje na przedziałach - przykłady

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

przedziały liczbowe

Przedziały liczbowe

przedziały liczbowe

Najpopularniejsze notatki: Interval

Nierówności i Przedziały

Rodzaje zbiorów i przedziały

Przedziały Liczbowe i Zbiory

Operacje na Przedziałach

Teoria Zbiorów i Liczb

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Graniastosłupów

Operacje na Pierwiastkach

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Stereoizomeria

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Analiza Ksiąg Biblijnych

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza Dziadów III

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Matematyka: Proste Działania na Przedziałach

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Rodzaje przedziałów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przedziały nieograniczone i działania na zbiorach

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przykłady zadań na zbiorach

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Operacje na przedziałach - przykłady

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Przedziały Liczbowe: Typy i Właściwości

Analiza Przedziałów Liczbowych

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Rodzaje przedziałów liczbowych

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Typy Przedziałów Liczbowych

Podobne notatki

przedziały liczbowe

Przedziały liczbowe

przedziały liczbowe

Najpopularniejsze notatki: Interval

Nierówności i Przedziały

Rodzaje zbiorów i przedziały

Przedziały Liczbowe i Zbiory

Operacje na Przedziałach

Teoria Zbiorów i Liczb

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Graniastosłupów