Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Jak przygotować się do matury z matematyki 2021: odpowiedzi, korepetycje i pdf

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Jak przygotować się do matury z matematyki 2021: odpowiedzi, korepetycje i pdf

🧿Marta 🧿

@matgrambyme

2742 Obserwujących

Obserwuj

Przygotowanie do Matura matematyka 2021 wymaga systematycznego podejścia i zrozumienia kluczowych zagadnień matematycznych. Szczególnie ważne jest opanowanie materiału zarówno z poziomu podstawowego, jak i rozszerzonego.

W ramach przygotowań do Matura matematyka 2021 maj oraz Matura matematyka 2021 rozszerzony należy skupić się na następujących elementach: funkcje i ich własności, ciągi liczbowe, trygonometria, geometria analityczna oraz rachunek prawdopodobieństwa. Istotne jest również rozwiązywanie zadań z poprzednich lat, szczególnie z Matura matematyka 2020, aby zapoznać się z typowymi schematami zadań i wymaganiami egzaminacyjnymi. Materiały dostępne w ramach Informator maturalny CKE 2021 matematyka odpowiedzi stanowią nieocenione źródło wiedzy o strukturze egzaminu i poziomie trudności zadań.

Dla osób rozpoczynających naukę od podstaw, kurs Matematyka od podstaw dla dorosłych oferuje systematyczne podejście do nauki matematyki. Program Przygotowanie do matury z matematyki online umożliwia elastyczne dostosowanie tempa nauki do indywidualnych potrzeb. Szczególnie istotne jest zwrócenie uwagi na Działy z matematyki do matury podstawowej 2024, które obejmują algebrę, analizę matematyczną, planimetrię i stereometrię. W przypadku poziomu rozszerzonego, Przygotowanie do matury z matematyki rozszerzonej wymaga dodatkowego zgłębienia takich tematów jak: rachunek różniczkowy, geometria analityczna w przestrzeni oraz dowody matematyczne. Systematyczna praca z materiałami z Matura matematyka -- marzec 2021 oraz Matura matematyka 2021 czerwiec pozwala na lepsze zrozumienie specyfiki zadań maturalnych i skuteczniejsze przygotowanie do egzaminu.

7.09.2022

661

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA
KOD
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
PESEL
DATA: 2 czerwca 2021 r.
GODZINA

Zobacz

Przygotowanie do Matury z Matematyki 2021 - Arkusz Podstawowy

Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym w czerwcu 2021 roku został skonstruowany zgodnie z wytycznymi Matura matematyka 2021 maj. Arkusz zawierał 35 zadań, w tym 28 zadań zamkniętych i 7 zadań otwartych, za które można było uzyskać łącznie 45 punktów.

Definicja: Arkusz egzaminacyjny to oficjalny dokument zawierający zadania maturalne, który jest prawnie chroniony do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Pierwsza część arkusza koncentrowała się na podstawowych umiejętnościach matematycznych, takich jak działania na pierwiastkach, logarytmach i procentach. Szczególną uwagę zwrócono na zadania z zakresu funkcji kwadratowej i jej własności, co jest kluczowym elementem przygotowania do matury z matematyki 2024.

Podczas rozwiązywania zadań zdający mogli korzystać z prostych pomocy naukowych: zestawu wzorów matematycznych, cyrkla, linijki oraz kalkulatora prostego. Jest to standardowe wyposażenie dozwolone podczas Matura matematyka 2021 podstawowy.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań otwartych kluczowe jest przedstawienie pełnej argumentacji i wszystkich istotnych obliczeń, gdyż ich brak może skutkować utratą punktów.

Zobacz

Analiza Zadań Zamkniętych Matury z Matematyki

W zadaniach 1-5 sprawdzano umiejętność wykonywania działań na wyrażeniach algebraicznych. Zadanie pierwsze dotyczyło obliczania wartości wyrażenia z pierwiastkami, gdzie kluczowe było zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Przykład: W zadaniu z pierwiastkami √2(√2-√3)+√3(√2-√3) należało dostrzec możliwość wyłączenia wspólnego czynnika (√2-√3).

Zadania 6-10 koncentrowały się na funkcjach i ich właściwościach. Szczególnie istotne było zadanie 9, gdzie należało przeanalizować własności funkcji na podstawie jej wykresu, co jest częstym elementem Matura matematyka 2021 rozszerzony.

Warto zwrócić uwagę na zadanie 10, które sprawdzało znajomość własności funkcji kwadratowej, w szczególności umiejętność wyznaczania współrzędnych wierzchołka paraboli.

Definicja: Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą (gdy a<0) lub najmniejszą (gdy a>0).

Zobacz

Rozwiązywanie Zadań z Funkcji i Ciągów

W zadaniach 11-13 skupiono się na właściwościach funkcji kwadratowej oraz ciągów liczbowych. Szczególnie istotne było zadanie z ciągiem arytmetycznym, które wymagało znajomości wzorów i własności ciągów, co jest kluczowym elementem przygotowanie do matury z matematyki online.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągów warto pamiętać o podstawowych wzorach na n-ty wyraz i sumę n pierwszych wyrazów ciągu.

Zadania te wymagały nie tylko znajomości wzorów, ale również umiejętności ich praktycznego zastosowania. Jest to szczególnie ważne w kontekście Matematyka od podstaw do matury, gdzie kładzie się nacisk na zrozumienie związków między różnymi działami matematyki.

W przypadku funkcji kwadratowej kluczowe było zrozumienie związku między postacią kanoniczną funkcji a jej właściwościami, co często pojawia się na Matura matematyka 2021 odpowiedzi.

Zobacz

Strategia Rozwiązywania Zadań Maturalnych

Przy rozwiązywaniu zadań maturalnych kluczowe jest systematyczne podejście i dokładna analiza treści. W ramach Przygotowanie do matury z matematyki korepetycje szczególną uwagę należy zwrócić na:

Highlight: Każde zadanie należy rozpocząć od dokładnego przeczytania treści i zaznaczenia kluczowych informacji.

Istotne jest również zwrócenie uwagi na formę zapisu rozwiązań. W przypadku zadań zamkniętych odpowiedzi zaznaczamy na karcie odpowiedzi, natomiast w zadaniach otwartych konieczne jest przedstawienie pełnego rozumowania.

Podczas przygotowań do Matura matematyka 2021 sierpień warto zwrócić uwagę na najczęściej popełniane błędy i typowe pułapki. Szczególnie ważne jest ćwiczenie umiejętności sprawdzania otrzymanych wyników i weryfikacji ich sensowności w kontekście zadania.

Zobacz

Rozwiązywanie Zadań z Matematyki Maturalnej 2021

Szczegółowe rozwiązanie zadań z Matura matematyka 2021 maj wymaga systematycznego podejścia i zrozumienia kluczowych koncepcji matematycznych. W pierwszej kolejności analizujemy ciąg geometryczny, gdzie wszystkie wyrazy są dodatnie i spełniają warunek a₃ = a₁a₂. To zadanie wymaga dobrego zrozumienia własności ciągów geometrycznych.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.

Następnie przechodzimy do zadań z trygonometrii, gdzie kluczowe jest zrozumienie zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Gdy mamy dany kąt ostry α i tg α = √5, możemy obliczyć wartość cos² α wykorzystując podstawowe tożsamości trygonometryczne.

Przykład: Jeśli tg α = √5, to:

sin² α + cos² α = 1

tg α = sin α / cos α

cos² α = 1/(1 + tg² α) = 1/(1 + 5) = 1/6

W geometrii okręgu szczególną uwagę należy zwrócić na zależności między kątami wpisanymi i środkowymi. Dla przygotowanie do matury z matematyki 2024 istotne jest zapamiętanie, że kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Zobacz

Geometria i Trygonometria w Zadaniach Maturalnych

W zadaniach dotyczących okręgu i stycznej kluczowe jest zrozumienie własności stycznej do okręgu. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, co jest fundamentalną własnością wykorzystywaną w wielu zadaniach maturalnych.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii warto:

Narysować dokładny rysunek

Zaznaczyć wszystkie dane kąty i długości

Wykorzystać znane twierdzenia geometryczne

W trójkącie prostokątnym o bokach 24, 10 i 26 analizujemy własności dwusiecznych kątów. Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli bok przeciwległy na części proporcjonalne do przyległych boków, co jest kluczowe dla Matura matematyka 2021 rozszerzony.

Dla równoległoboku istotne jest zrozumienie zależności między bokami, kątami i przekątnymi. Przekątne mogą mieć różne długości, ale muszą spełniać określone warunki wynikające z własności równoległoboku.

Zobacz

Algebra i Analiza Matematyczna

W zadaniach z funkcji liniowych kluczowe jest zrozumienie warunków równoległości prostych. Dwie proste o równaniach y = ax + b i y = cx + d są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe (a = c).

Definicja: Współczynnik kierunkowy prostej określa jej nachylenie względem osi OX i jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do tej osi.

Przy symetrii osiowej względem osi Oy należy pamiętać o zmianie znaku współrzędnej x, podczas gdy współrzędna y pozostaje bez zmian. Jest to szczególnie ważne dla przygotowanie do matury z matematyki online.

W zadaniach ze stereometrii analizujemy własności graniastosłupów i ostrosłupów prawidłowych. Dla graniastosłupa o 36 krawędziach należy najpierw określić liczbę krawędzi w podstawie, co pozwoli ustalić rodzaj wielokąta podstawy.

Zobacz

Prawdopodobieństwo i Statystyka

W zadaniach z prawdopodobieństwa kluczowe jest precyzyjne określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i zdarzeń sprzyjających. Przy analizie proporcji między spółgłoskami a samogłoskami należy uwzględnić, że liczba spółgłosek jest o 25% większa.

Przykład: Jeśli x to liczba samogłosek, to:

Liczba spółgłosek = 1,25x

Prawdopodobieństwo wylosowania samogłoski = x/(x + 1,25x)

W zadaniach ze średnią arytmetyczną istotne jest systematyczne podejście do rozwiązania. Gdy mamy ciąg liczb 2, 3x, 3x + 2, 3x + 4, a ich średnia wynosi 13, możemy utworzyć równanie:

(2 + 3x + (3x + 2) + (3x + 4))/4 = 13

To zadanie jest szczególnie ważne dla Matematyka od podstaw do matury.

Zobacz

Zaawansowane Zadania z Matematyki - Analiza Nierówności i Ciągów

Matura matematyka 2021 rozszerzony wymaga dogłębnego zrozumienia nierówności i ciągów arytmetycznych. Przyjrzyjmy się szczegółowej analizie dwóch kluczowych zagadnień, które często pojawiają się na egzaminie.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożoną nierówność dla trzech zmiennych rzeczywistych. Rozwiązanie wymaga systematycznego przekształcania nierówności, wykorzystując podstawowe własności liczb rzeczywistych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, jak przekształcić wyrażenie a+c<b w formę, która pozwoli nam wyciągnąć ostateczne wnioski.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu nierówności z wieloma zmiennymi, zawsze staraj się izolować zmienne po jednej stronie nierówności.

W drugim zadaniu mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym, gdzie kluczowym elementem jest wykorzystanie wzoru na sumę pierwszych dwudziestu wyrazów. Szczególnie istotne jest zrozumienie, że suma ta wynosi 20a₂₁ + 62, co prowadzi nas do równania pozwalającego wyznaczyć różnicę ciągu.

Zobacz

Metody Rozwiązywania Zadań Maturalnych z Matematyki

Przygotowanie do matury z matematyki rozszerzonej wymaga systematycznego podejścia do różnych typów zadań. W przypadku ciągów arytmetycznych należy pamiętać o podstawowych właściwościach:

Definicja: Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała i nazywamy ją różnicą ciągu.

Przy rozwiązywaniu zadań z ciągów arytmetycznych kluczowe jest wykorzystanie wzorów na sumę wyrazów ciągu oraz na n-ty wyraz ciągu. W analizowanym przykładzie wykorzystujemy fakt, że suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego może być zapisana jako iloczyn liczby wyrazów i średniej arytmetycznej pierwszego i ostatniego wyrazu.

Szczególną uwagę należy zwrócić na przekształcenia algebraiczne prowadzące do wyznaczenia różnicy ciągu. W tym przypadku otrzymujemy wartość -31/105, co jest wynikiem dokładnym i nie wymaga zaokrąglania.

Podobne notatki

115

3084

ciągi

ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, granica, ciągi zbieżne i rozbieżne

186

5621

Ciągi

ciąg geometryczny, ciąg arytmetyczny, szereg geometryczny

600

4/2

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

Różne wzory związane z działem Ciągi geometryczne i arytmetyczne

212

Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

334

1/2

ciąg geometryczny

zadania maturalne, krok po kroku

1372

1/2

Ciąg arytmetyczny

Wzory, własności i przykładowe zadania

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Jak przygotować się do matury z matematyki 2021: odpowiedzi, korepetycje i pdf

🧿Marta 🧿

@matgrambyme

2742 Obserwujących

Obserwuj

7.09.2022

661

4/5

Matematyka

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przygotowanie do Matury z Matematyki 2021 - Arkusz Podstawowy

Definicja: Arkusz egzaminacyjny to oficjalny dokument zawierający zadania maturalne, który jest prawnie chroniony do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań otwartych kluczowe jest przedstawienie pełnej argumentacji i wszystkich istotnych obliczeń, gdyż ich brak może skutkować utratą punktów.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza Zadań Zamkniętych Matury z Matematyki

Przykład: W zadaniu z pierwiastkami √2(√2-√3)+√3(√2-√3) należało dostrzec możliwość wyłączenia wspólnego czynnika (√2-√3).

Warto zwrócić uwagę na zadanie 10, które sprawdzało znajomość własności funkcji kwadratowej, w szczególności umiejętność wyznaczania współrzędnych wierzchołka paraboli.

Definicja: Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą (gdy a<0) lub najmniejszą (gdy a>0).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Funkcji i Ciągów

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągów warto pamiętać o podstawowych wzorach na n-ty wyraz i sumę n pierwszych wyrazów ciągu.

W przypadku funkcji kwadratowej kluczowe było zrozumienie związku między postacią kanoniczną funkcji a jej właściwościami, co często pojawia się na Matura matematyka 2021 odpowiedzi.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Strategia Rozwiązywania Zadań Maturalnych

Highlight: Każde zadanie należy rozpocząć od dokładnego przeczytania treści i zaznaczenia kluczowych informacji.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Matematyki Maturalnej 2021

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.

Przykład: Jeśli tg α = √5, to:

sin² α + cos² α = 1

tg α = sin α / cos α

cos² α = 1/(1 + tg² α) = 1/(1 + 5) = 1/6

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Geometria i Trygonometria w Zadaniach Maturalnych

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii warto:

Narysować dokładny rysunek

Zaznaczyć wszystkie dane kąty i długości

Wykorzystać znane twierdzenia geometryczne

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Algebra i Analiza Matematyczna

Definicja: Współczynnik kierunkowy prostej określa jej nachylenie względem osi OX i jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do tej osi.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Przykład: Jeśli x to liczba samogłosek, to:

Liczba spółgłosek = 1,25x

Prawdopodobieństwo wylosowania samogłoski = x/(x + 1,25x)

W zadaniach ze średnią arytmetyczną istotne jest systematyczne podejście do rozwiązania. Gdy mamy ciąg liczb 2, 3x, 3x + 2, 3x + 4, a ich średnia wynosi 13, możemy utworzyć równanie:

(2 + 3x + (3x + 2) + (3x + 4))/4 = 13

To zadanie jest szczególnie ważne dla Matematyka od podstaw do matury.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane Zadania z Matematyki - Analiza Nierówności i Ciągów

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu nierówności z wieloma zmiennymi, zawsze staraj się izolować zmienne po jednej stronie nierówności.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Metody Rozwiązywania Zadań Maturalnych z Matematyki

Definicja: Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała i nazywamy ją różnicą ciągu.

Podobne notatki

Matematyka - ciągi

ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, granica, ciągi zbieżne i rozbieżne

115

3084

Matematyka - Ciągi

ciąg geometryczny, ciąg arytmetyczny, szereg geometryczny

186

5621

Matematyka - Matematyka - wzory ciągi liczbowe

Różne wzory związane z działem Ciągi geometryczne i arytmetyczne

600

Matematyka - Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

212

Matematyka - ciąg geometryczny

zadania maturalne, krok po kroku

334

Matematyka - Ciąg arytmetyczny

Wzory, własności i przykładowe zadania

1372

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS