Rozwiązywanie Zadań z Matematyki: Nierówności i Równania
Nierówności i równania stanowią fundamentalną część zadań maturalnych z matematyki 2023. W pierwszej kolejności skupimy się na analizie nierówności na osi liczbowej oraz rozwiązywaniu podstawowych równań.
Definicja: Nierówność to zależność matematyczna między wyrażeniami, w której występuje jeden ze znaków: <, >, ≤, ≥. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność.
Przy rozwiązywaniu nierówności kluczowe jest zrozumienie przedziałów liczbowych i ich reprezentacji na osi. Przykładowo, nierówność |x-3,5| ≤ 1,5 oznacza, że szukamy wszystkich punktów na osi liczbowej, których odległość od punktu 3,5 nie przekracza 1,5.
W przypadku rozwiązania równań matematycznych dla liczb rzeczywistych, należy pamiętać o właściwościach pierwiastków i logarytmów. Na przykład, wyrażenie √√2 wymaga dwukrotnego zastosowania pierwiastka kwadratowego, co prowadzi do liczby będącej pierwiastkiem z pierwiastka z 2.
Przykład: Rozważmy równanie 2n+1² - 1. Aby udowodnić podzielność przez 8, rozkładamy wyrażenie: 4n² + 4n + 1 - 1 = 4nn+1. Ponieważ n i n+1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, ich iloczyn jest zawsze parzysty.