Otwórz aplikację

Przedmioty

2782

25 maj 2023

12 strony

Zadania maturalne z matematyki 2023 i rozwiązania równań

user profile picture

rose

@rose5

Przygotowanie do matury z matematyki wymaga systematycznego podejścia i zrozumienia... Pokaż więcej

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Rozwiązywanie Zadań z Matematyki: Nierówności i Równania

Nierówności i równania stanowią fundamentalną część zadań maturalnych z matematyki 2023. W pierwszej kolejności skupimy się na analizie nierówności na osi liczbowej oraz rozwiązywaniu podstawowych równań.

Definicja: Nierówność to zależność matematyczna między wyrażeniami, w której występuje jeden ze znaków: <, >, ≤, ≥. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność.

Przy rozwiązywaniu nierówności kluczowe jest zrozumienie przedziałów liczbowych i ich reprezentacji na osi. Przykładowo, nierówność |x-3,5| ≤ 1,5 oznacza, że szukamy wszystkich punktów na osi liczbowej, których odległość od punktu 3,5 nie przekracza 1,5.

W przypadku rozwiązania równań matematycznych dla liczb rzeczywistych, należy pamiętać o właściwościach pierwiastków i logarytmów. Na przykład, wyrażenie √√2 wymaga dwukrotnego zastosowania pierwiastka kwadratowego, co prowadzi do liczby będącej pierwiastkiem z pierwiastka z 2.

Przykład: Rozważmy równanie 2n+12n + 1² - 1. Aby udowodnić podzielność przez 8, rozkładamy wyrażenie: 4n² + 4n + 1 - 1 = 4nn+1n+1. Ponieważ n i n+1n+1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, ich iloczyn jest zawsze parzysty.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Logarytmy i Wyrażenia Kwadratowe w Zadaniach Maturalnych

W kontekście arkuszy maturalnych do nauki matematyki szczególną uwagę należy zwrócić na zadania z logarytmami i wyrażeniami kwadratowymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z logarytmami korzystamy z podstawowych własności: log_axyx·y = log_axx + log_ayy

Wyrażenia typu log_3 27 + log_3 3 można uprościć, stosując właściwości logarytmów. W tym przypadku otrzymujemy log_327327·3 = log_3 81 = 4, ponieważ 3⁴ = 81.

Dla wyrażeń kwadratowych typu 2a32a-3² - 2a+32a+3² kluczowe jest zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów: a² - b² = a+ba+baba-b. To pozwala znacznie uprościć obliczenia i uzyskać końcowy wynik -24a.

Definicja: Wyrażenie kwadratowe to wyrażenie algebraiczne drugiego stopnia względem zmiennej, zapisane w postaci ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Układy Równań i Interpretacja Geometryczna

Rozwiązywanie układów równań wymaga nie tylko umiejętności algebraicznych, ale także zrozumienia ich interpretacji geometrycznej. W układzie współrzędnych kartezjańskich każde równanie liniowe reprezentuje prostą.

Przykład: Układ równań {y = x - 2, y = -2x - 1} można rozwiązać zarówno algebraicznie, jak i geometrycznie, gdzie punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

Przy analizie geometrycznej układów równań należy zwrócić uwagę na:

  • Równoległość prostych brakrozwiązanˊbrak rozwiązań
  • Prostopadłość prostych jednorozwiązaniejedno rozwiązanie
  • Pokrywanie się prostych nieskonˊczeniewielerozwiązanˊnieskończenie wiele rozwiązań

Szczególnie istotne jest zrozumienie związku między współczynnikami kierunkowymi prostych a ich wzajemnym położeniem.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zadania z Parametrami i Ich Rozwiązywanie

W zadaniach z parametrami kluczowe jest systematyczne podejście i analiza wszystkich możliwych przypadków. Rozważmy przykład prostokąta o zadanym obwodzie i różnicy boków.

Wskazówka: W zadaniach z parametrami warto rozpocząć od zapisania wszystkich danych warunków w postaci równań lub nierówności.

Dla prostokąta o obwodzie 30 i różnicy boków równej 5, możemy zapisać układ równań: 2a+ba + b = 30 a - b = 5

Rozwiązanie takiego układu wymaga:

  1. Przekształcenia równań do prostszej postaci
  2. Sprawdzenia warunków dodatkowych np.a>bnp. a > b
  3. Weryfikacji otrzymanych wyników
maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Rozwiązywanie Zadań z Funkcji i Geometrii w Matematyce

Pierwszym kluczowym zagadnieniem w zadaniach maturalnych z matematyki 2023 jest analiza funkcji w układzie współrzędnych kartezjańskich. Funkcja fxx przedstawiona na wykresie wymaga dokładnego określenia dziedziny, która w tym przypadku wynosi 6,5-6,5. Przy analizie wartości największej w przedziale 4,1-4,1 należy zwrócić szczególną uwagę na punkty charakterystyczne wykresu.

Definicja: Funkcja malejąca to taka, dla której wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji maleją. W tym przypadku funkcja jest malejąca w przedziale 3,1-3,1.

Kolejnym istotnym elementem jest analiza funkcji liniowej fxx = ax + b. Przy określaniu znaków współczynników a i b kluczowe jest zwrócenie uwagi na położenie wykresu względem osi układu współrzędnych oraz jego nachylenie. W tym przypadku mamy do czynienia z sytuacją gdzie a < 0 i b > 0.

Przykład: Dla funkcji liniowej przechodzącej przez punkt 0,b0,b i malejącej, współczynnik kierunkowy a musi być ujemny, a punkt przecięcia z osią OY wartosˊcˊbwartość b dodatni.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Analiza Funkcji Kwadratowej i Ciągów

W przypadku funkcji kwadratowej, gdy znamy jedno miejsce zerowe 5-5 oraz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli 33, możemy wyznaczyć drugie miejsce zerowe. Jest to przykład praktycznego zastosowania rozwiązania równań matematycznych dla liczb rzeczywistych.

Wskazówka: Suma miejsc zerowych funkcji kwadratowej podzielona przez 2 daje pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

Przy analizie ciągów, zarówno arytmetycznych jak i geometrycznych, kluczowe jest zrozumienie zależności między kolejnymi wyrazami. Dla ciągu geometrycznego 27,9,a127, 9, a-1 iloraz między kolejnymi wyrazami musi być stały.

Przykład: W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Trygonometria i Geometria w Zadaniach Maturalnych

W zagadnieniach z trygonometrii istotne jest prawidłowe stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi. Dla kąta ostrego α wyrażenie sin α + sin²α/cos²α wymaga przekształceń z wykorzystaniem podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Definicja: Tangens kąta w układzie współrzędnych kartezjańskich to stosunek współrzędnej y do współrzędnej x punktu leżącego na ramieniu kąta.

W geometrii płaskiej, przy zadaniach z rombem o boku 6√2 i kącie rozwartym 150°, kluczowe jest wykorzystanie zależności między kątami i przekątnymi. Iloczyn przekątnych rombu można wyznaczyć wykorzystując związki trygonometryczne.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Geometria Analityczna i Przestrzenna

W geometrii analitycznej szczególną uwagę należy zwrócić na warunki prostopadłości i równoległości prostych. Dla prostych o równaniach kierunkowych warunek prostopadłości wymaga, aby iloczyn współczynników kierunkowych był równy -1.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu arkuszy maturalnych do nauki matematyki z geometrii przestrzennej, warto rozpocząć od narysowania pomocniczego szkicu.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym kluczowe jest zrozumienie związków między krawędziami podstawy, wysokością i przekątną graniastosłupa. Nachylenie przekątnej do podstawy pod kątem α, dla którego cos α = -3/5, pozwala wyznaczyć długość przekątnej wykorzystując zależności trygonometryczne.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Przestrzennej - Ostrosłup Prawidłowy

Podczas przygotowań do zadania maturalne z matematyki 2023 szczególną uwagę należy zwrócić na zadania dotyczące geometrii przestrzennej. W tym artykule szczegółowo omówimy rozwiązanie zadania z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym, gdzie kluczowym elementem jest analiza wysokości ściany bocznej nachylonej pod kątem 30° do podstawy.

W pierwszej kolejności należy zrozumieć związki między elementami ostrosłupa. Wysokość ściany bocznej o długości 6 jednostek tworzy z podstawą kąt 30°, co pozwala nam wykorzystać zależności trygonometryczne do obliczenia pozostałych wymiarów bryły. Wykorzystując funkcje trygonometryczne, w szczególności sinus i cosinus kąta 30°, możemy wyznaczyć wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej kluczowe jest wykonanie dokładnego rysunku pomocniczego i oznaczenie na nim wszystkich danych oraz szukanych elementów.

Obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej wymagają systematycznego podejścia. Najpierw wyznaczamy pole podstawy kwadratkwadrat, następnie obliczamy pola ścian bocznych troˊjkątyroˊwnoramiennetrójkąty równoramienne i sumujemy wszystkie pola. Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru V = PpHPp · H/3, gdzie Pp to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Praktyczne Zastosowanie Rozwiązania Równań Matematycznych dla Liczb Rzeczywistych

W rozwiązywaniu zadań geometrycznych kluczową rolę odgrywają arkusze maturalne do nauki matematyki. Przy analizie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego należy zwrócić szczególną uwagę na zależności między elementami bryły. Wykorzystanie własności liczb rzeczywistych i funkcji trygonometrycznych pozwala na precyzyjne obliczenie wszystkich potrzebnych wielkości.

Definicja: Ostrosłup prawidłowy czworokątny to bryła geometryczna, której podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Rozwiązanie zadania wymaga znajomości wzorów na pole powierzchni i objętość ostrosłupa oraz umiejętności ich praktycznego zastosowania. Szczególnie istotne jest zrozumienie, jak kąt nachylenia wysokości ściany bocznej wpływa na pozostałe wymiary bryły. W praktyce, takie obliczenia znajdują zastosowanie w architekturze i projektowaniu konstrukcji.

Warto zauważyć, że podobne zadania często pojawiają się na egzaminie maturalnym, dlatego systematyczne ćwiczenie różnych wariantów tego typu zadań jest kluczowe dla osiągnięcia sukcesu na maturze z matematyki.



Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

2782

25 maj 2023

12 strony

Zadania maturalne z matematyki 2023 i rozwiązania równań

user profile picture

rose

@rose5

Przygotowanie do matury z matematyki wymaga systematycznego podejścia i zrozumienia kluczowych zagadnień. Zadania maturalne z matematyki 2023 stanowią podstawę efektywnej nauki, pozwalając uczniom zapoznać się z typowymi pytaniami i formatem egzaminu.

Kluczowym elementem nauki jest praca z arkuszami maturalnymi do... Pokaż więcej

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Matematyki: Nierówności i Równania

Nierówności i równania stanowią fundamentalną część zadań maturalnych z matematyki 2023. W pierwszej kolejności skupimy się na analizie nierówności na osi liczbowej oraz rozwiązywaniu podstawowych równań.

Definicja: Nierówność to zależność matematyczna między wyrażeniami, w której występuje jeden ze znaków: <, >, ≤, ≥. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność.

Przy rozwiązywaniu nierówności kluczowe jest zrozumienie przedziałów liczbowych i ich reprezentacji na osi. Przykładowo, nierówność |x-3,5| ≤ 1,5 oznacza, że szukamy wszystkich punktów na osi liczbowej, których odległość od punktu 3,5 nie przekracza 1,5.

W przypadku rozwiązania równań matematycznych dla liczb rzeczywistych, należy pamiętać o właściwościach pierwiastków i logarytmów. Na przykład, wyrażenie √√2 wymaga dwukrotnego zastosowania pierwiastka kwadratowego, co prowadzi do liczby będącej pierwiastkiem z pierwiastka z 2.

Przykład: Rozważmy równanie 2n+12n + 1² - 1. Aby udowodnić podzielność przez 8, rozkładamy wyrażenie: 4n² + 4n + 1 - 1 = 4nn+1n+1. Ponieważ n i n+1n+1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, ich iloczyn jest zawsze parzysty.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Logarytmy i Wyrażenia Kwadratowe w Zadaniach Maturalnych

W kontekście arkuszy maturalnych do nauki matematyki szczególną uwagę należy zwrócić na zadania z logarytmami i wyrażeniami kwadratowymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z logarytmami korzystamy z podstawowych własności: log_axyx·y = log_axx + log_ayy

Wyrażenia typu log_3 27 + log_3 3 można uprościć, stosując właściwości logarytmów. W tym przypadku otrzymujemy log_327327·3 = log_3 81 = 4, ponieważ 3⁴ = 81.

Dla wyrażeń kwadratowych typu 2a32a-3² - 2a+32a+3² kluczowe jest zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów: a² - b² = a+ba+baba-b. To pozwala znacznie uprościć obliczenia i uzyskać końcowy wynik -24a.

Definicja: Wyrażenie kwadratowe to wyrażenie algebraiczne drugiego stopnia względem zmiennej, zapisane w postaci ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Układy Równań i Interpretacja Geometryczna

Rozwiązywanie układów równań wymaga nie tylko umiejętności algebraicznych, ale także zrozumienia ich interpretacji geometrycznej. W układzie współrzędnych kartezjańskich każde równanie liniowe reprezentuje prostą.

Przykład: Układ równań {y = x - 2, y = -2x - 1} można rozwiązać zarówno algebraicznie, jak i geometrycznie, gdzie punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

Przy analizie geometrycznej układów równań należy zwrócić uwagę na:

  • Równoległość prostych brakrozwiązanˊbrak rozwiązań
  • Prostopadłość prostych jednorozwiązaniejedno rozwiązanie
  • Pokrywanie się prostych nieskonˊczeniewielerozwiązanˊnieskończenie wiele rozwiązań

Szczególnie istotne jest zrozumienie związku między współczynnikami kierunkowymi prostych a ich wzajemnym położeniem.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zadania z Parametrami i Ich Rozwiązywanie

W zadaniach z parametrami kluczowe jest systematyczne podejście i analiza wszystkich możliwych przypadków. Rozważmy przykład prostokąta o zadanym obwodzie i różnicy boków.

Wskazówka: W zadaniach z parametrami warto rozpocząć od zapisania wszystkich danych warunków w postaci równań lub nierówności.

Dla prostokąta o obwodzie 30 i różnicy boków równej 5, możemy zapisać układ równań: 2a+ba + b = 30 a - b = 5

Rozwiązanie takiego układu wymaga:

  1. Przekształcenia równań do prostszej postaci
  2. Sprawdzenia warunków dodatkowych np.a>bnp. a > b
  3. Weryfikacji otrzymanych wyników
maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Funkcji i Geometrii w Matematyce

Pierwszym kluczowym zagadnieniem w zadaniach maturalnych z matematyki 2023 jest analiza funkcji w układzie współrzędnych kartezjańskich. Funkcja fxx przedstawiona na wykresie wymaga dokładnego określenia dziedziny, która w tym przypadku wynosi 6,5-6,5. Przy analizie wartości największej w przedziale 4,1-4,1 należy zwrócić szczególną uwagę na punkty charakterystyczne wykresu.

Definicja: Funkcja malejąca to taka, dla której wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji maleją. W tym przypadku funkcja jest malejąca w przedziale 3,1-3,1.

Kolejnym istotnym elementem jest analiza funkcji liniowej fxx = ax + b. Przy określaniu znaków współczynników a i b kluczowe jest zwrócenie uwagi na położenie wykresu względem osi układu współrzędnych oraz jego nachylenie. W tym przypadku mamy do czynienia z sytuacją gdzie a < 0 i b > 0.

Przykład: Dla funkcji liniowej przechodzącej przez punkt 0,b0,b i malejącej, współczynnik kierunkowy a musi być ujemny, a punkt przecięcia z osią OY wartosˊcˊbwartość b dodatni.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza Funkcji Kwadratowej i Ciągów

W przypadku funkcji kwadratowej, gdy znamy jedno miejsce zerowe 5-5 oraz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli 33, możemy wyznaczyć drugie miejsce zerowe. Jest to przykład praktycznego zastosowania rozwiązania równań matematycznych dla liczb rzeczywistych.

Wskazówka: Suma miejsc zerowych funkcji kwadratowej podzielona przez 2 daje pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

Przy analizie ciągów, zarówno arytmetycznych jak i geometrycznych, kluczowe jest zrozumienie zależności między kolejnymi wyrazami. Dla ciągu geometrycznego 27,9,a127, 9, a-1 iloraz między kolejnymi wyrazami musi być stały.

Przykład: W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Trygonometria i Geometria w Zadaniach Maturalnych

W zagadnieniach z trygonometrii istotne jest prawidłowe stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi. Dla kąta ostrego α wyrażenie sin α + sin²α/cos²α wymaga przekształceń z wykorzystaniem podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Definicja: Tangens kąta w układzie współrzędnych kartezjańskich to stosunek współrzędnej y do współrzędnej x punktu leżącego na ramieniu kąta.

W geometrii płaskiej, przy zadaniach z rombem o boku 6√2 i kącie rozwartym 150°, kluczowe jest wykorzystanie zależności między kątami i przekątnymi. Iloczyn przekątnych rombu można wyznaczyć wykorzystując związki trygonometryczne.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Geometria Analityczna i Przestrzenna

W geometrii analitycznej szczególną uwagę należy zwrócić na warunki prostopadłości i równoległości prostych. Dla prostych o równaniach kierunkowych warunek prostopadłości wymaga, aby iloczyn współczynników kierunkowych był równy -1.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu arkuszy maturalnych do nauki matematyki z geometrii przestrzennej, warto rozpocząć od narysowania pomocniczego szkicu.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym kluczowe jest zrozumienie związków między krawędziami podstawy, wysokością i przekątną graniastosłupa. Nachylenie przekątnej do podstawy pod kątem α, dla którego cos α = -3/5, pozwala wyznaczyć długość przekątnej wykorzystując zależności trygonometryczne.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Przestrzennej - Ostrosłup Prawidłowy

Podczas przygotowań do zadania maturalne z matematyki 2023 szczególną uwagę należy zwrócić na zadania dotyczące geometrii przestrzennej. W tym artykule szczegółowo omówimy rozwiązanie zadania z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym, gdzie kluczowym elementem jest analiza wysokości ściany bocznej nachylonej pod kątem 30° do podstawy.

W pierwszej kolejności należy zrozumieć związki między elementami ostrosłupa. Wysokość ściany bocznej o długości 6 jednostek tworzy z podstawą kąt 30°, co pozwala nam wykorzystać zależności trygonometryczne do obliczenia pozostałych wymiarów bryły. Wykorzystując funkcje trygonometryczne, w szczególności sinus i cosinus kąta 30°, możemy wyznaczyć wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej kluczowe jest wykonanie dokładnego rysunku pomocniczego i oznaczenie na nim wszystkich danych oraz szukanych elementów.

Obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej wymagają systematycznego podejścia. Najpierw wyznaczamy pole podstawy kwadratkwadrat, następnie obliczamy pola ścian bocznych troˊjkątyroˊwnoramiennetrójkąty równoramienne i sumujemy wszystkie pola. Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru V = PpHPp · H/3, gdzie Pp to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.

maj
Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
2023 -p. podstawowy..
Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Do

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Praktyczne Zastosowanie Rozwiązania Równań Matematycznych dla Liczb Rzeczywistych

W rozwiązywaniu zadań geometrycznych kluczową rolę odgrywają arkusze maturalne do nauki matematyki. Przy analizie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego należy zwrócić szczególną uwagę na zależności między elementami bryły. Wykorzystanie własności liczb rzeczywistych i funkcji trygonometrycznych pozwala na precyzyjne obliczenie wszystkich potrzebnych wielkości.

Definicja: Ostrosłup prawidłowy czworokątny to bryła geometryczna, której podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Rozwiązanie zadania wymaga znajomości wzorów na pole powierzchni i objętość ostrosłupa oraz umiejętności ich praktycznego zastosowania. Szczególnie istotne jest zrozumienie, jak kąt nachylenia wysokości ściany bocznej wpływa na pozostałe wymiary bryły. W praktyce, takie obliczenia znajdują zastosowanie w architekturze i projektowaniu konstrukcji.

Warto zauważyć, że podobne zadania często pojawiają się na egzaminie maturalnym, dlatego systematyczne ćwiczenie różnych wariantów tego typu zadań jest kluczowe dla osiągnięcia sukcesu na maturze z matematyki.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS