Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

SchoolAI

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Monotoniczność ciągów – podstawowe informacje

19

0

user profile picture

Oliwia Mikulska

28.11.2025

Matematyka

Monotoniczność ciągów

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

sekwencja

843

•

28 lis 2025

•

5 strony

Monotoniczność ciągów – podstawowe informacje

user profile picture

Oliwia Mikulska

@oliwia04

Monotoniczność ciągów to ważny temat w matematyce, który pomaga nam... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
1 / 5
MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Monotoniczność ciągów

Ciągi możemy podzielić ze względu na ich zachowanie. Ciąg rosnący to taki, gdzie każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego $a_{n+1} > a_n$. Przeciwieństwem jest ciąg malejący, gdzie an+1<ana_{n+1} < a_n.

Istnieją też ciągi o mniej restrykcyjnych własnościach: ciąg niemalejący $a_{n+1} \geq a_n$, ciąg nierosnący $a_{n+1} \leq a_n$ oraz ciąg stały $a_{n+1} = a_n$.

Aby zbadać monotoniczność ciągu, wystarczy sprawdzić różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n. Na przykład dla bn=4n−5b_n = 4n - 5 obliczamy: bn+1−bn=4(n+1)−5−(4n−5)=4>0b_{n+1} - b_n = 4(n+1) - 5 - (4n - 5) = 4 > 0, co oznacza, że jest to ciąg rosnący.

💡 Wskazówka: Przy badaniu monotoniczności wystarczy sprawdzić znak różnicy między kolejnymi wyrazami. Jeśli różnica jest zawsze dodatnia, ciąg jest rosnący, jeśli ujemna - malejący.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Ciągi niemonotoniczne

Nie wszystkie ciągi muszą być monotoniczne. Czasem ciąg może zmieniać swoje zachowanie w zależności od wartości n.

Przykładem jest ciąg o wzorze ogólnym an=n2−9na_n = n^2 - 9n. Badając różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n, otrzymujemy [(n+1)2−9(n+1)]−(n2−9n)=2n−8[(n+1)^2 - 9(n+1)] - (n^2 - 9n) = 2n - 8.

Po analizie widzimy, że dla n∈1,2,3,4n \in {1,2,3,4} różnica an+1−an≤0a_{n+1} - a_n \leq 0, a dla n∈5,6,7,8,...n \in {5,6,7,8,...} różnica an+1−an>0a_{n+1} - a_n > 0. To oznacza, że ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.

🔍 Uwaga: Ciąg może zmieniać swoje zachowanie w różnych przedziałach. Warto zawsze dokładnie analizować różnicę między kolejnymi wyrazami dla wszystkich możliwych wartości n.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Definicje i twierdzenia o monotoniczności

Ciąg niemalejący to taki, gdzie dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi nierówność an+1≥ana_{n+1} \geq a_n. Z kolei ciąg nierosnący to taki, gdzie an+1≤ana_{n+1} \leq a_n.

Dla ciągów o wyrazach dodatnich istnieje proste kryterium monotoniczności. Jeśli dla kolejnych wyrazów ana_n i an+1a_{n+1} mamy:

  1. an+1an>1\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 - ciąg jest rosnący
  2. an+1an<1\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 - ciąg jest malejący
  3. an+1an=1\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - ciąg jest stały

Te zależności pozwalają łatwo sprawdzić monotoniczność ciągu bez skomplikowanych obliczeń różnicy.

💪 Pamiętaj: Badanie ilorazu kolejnych wyrazów często jest prostsze niż badanie ich różnicy, szczególnie dla ciągów geometrycznych lub zawierających złożone wyrażenia.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to specjalny rodzaj ciągu, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu i oznaczanej przez r.

Formalnie, ciąg (an)(a_n) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie aa i różnicy rr, gdy: a1=aa_1 = a an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r dla n≥1n \geq 1

Przykłady:

  • 5, 9, 13, 17, ... r=4>0r = 4 > 0
  • 5, 3, 1, ... r=−2<0r = -2 < 0

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć jako r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n dla dowolnego nn.

🎯 Szybkie sprawdzenie: W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami zawsze jest taka sama. Jeśli zauważysz tę własność, prawdopodobnie masz do czynienia z ciągiem arytmetycznym!

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Właściwości ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny możemy zapisać za pomocą wzoru rekurencyjnego postaci an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r, gdzie r jest różnicą ciągu. Na przykład dla ciągu 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... mamy a1=3a_1 = 3 i r=2r = 2.

Ważne właściwości:

  1. Ciąg co najmniej trzywyrazowy (an)(a_n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r wtedy i tylko wtedy, gdy an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r dla każdej liczby naturalnej n.

  2. Ciąg arytmetyczny wykazuje monotoniczność:

    • jeśli r>0r > 0, to ciąg jest rosnący
    • jeśli r<0r < 0, to ciąg jest malejący
    • jeśli r=0r = 0, to ciąg jest stały

Przykładowo, dla ciągu an=−3n+2a_n = -3n + 2 mamy an+1−an=(−3(n+1)+2)−(−3n+2)=−3a_{n+1} - a_n = (-3(n+1) + 2) - (-3n + 2) = -3, więc r=−3<0r = -3 < 0 i ciąg jest malejący.

💡 Praktyczna wskazówka: Znając pierwszy wyraz ciągu a1a_1 i różnicę r, możesz szybko obliczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą wzoru an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

sekwencja

 

Matematyka

•

843

•

28 lis 2025

•

5 strony

Monotoniczność ciągów – podstawowe informacje

user profile picture

Oliwia Mikulska

@oliwia04

Monotoniczność ciągów to ważny temat w matematyce, który pomaga nam analizować zachowanie sekwencji liczb. Nauczysz się rozpoznawać różne rodzaje ciągów oraz badać ich własności, co jest niezbędne przy rozwiązywaniu wielu problemów matematycznych.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność ciągów

Ciągi możemy podzielić ze względu na ich zachowanie. Ciąg rosnący to taki, gdzie każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego $a_{n+1} > a_n$. Przeciwieństwem jest ciąg malejący, gdzie an+1<ana_{n+1} < a_n.

Istnieją też ciągi o mniej restrykcyjnych własnościach: ciąg niemalejący $a_{n+1} \geq a_n$, ciąg nierosnący $a_{n+1} \leq a_n$ oraz ciąg stały $a_{n+1} = a_n$.

Aby zbadać monotoniczność ciągu, wystarczy sprawdzić różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n. Na przykład dla bn=4n−5b_n = 4n - 5 obliczamy: bn+1−bn=4(n+1)−5−(4n−5)=4>0b_{n+1} - b_n = 4(n+1) - 5 - (4n - 5) = 4 > 0, co oznacza, że jest to ciąg rosnący.

💡 Wskazówka: Przy badaniu monotoniczności wystarczy sprawdzić znak różnicy między kolejnymi wyrazami. Jeśli różnica jest zawsze dodatnia, ciąg jest rosnący, jeśli ujemna - malejący.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi niemonotoniczne

Nie wszystkie ciągi muszą być monotoniczne. Czasem ciąg może zmieniać swoje zachowanie w zależności od wartości n.

Przykładem jest ciąg o wzorze ogólnym an=n2−9na_n = n^2 - 9n. Badając różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n, otrzymujemy [(n+1)2−9(n+1)]−(n2−9n)=2n−8[(n+1)^2 - 9(n+1)] - (n^2 - 9n) = 2n - 8.

Po analizie widzimy, że dla n∈1,2,3,4n \in {1,2,3,4} różnica an+1−an≤0a_{n+1} - a_n \leq 0, a dla n∈5,6,7,8,...n \in {5,6,7,8,...} różnica an+1−an>0a_{n+1} - a_n > 0. To oznacza, że ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.

🔍 Uwaga: Ciąg może zmieniać swoje zachowanie w różnych przedziałach. Warto zawsze dokładnie analizować różnicę między kolejnymi wyrazami dla wszystkich możliwych wartości n.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicje i twierdzenia o monotoniczności

Ciąg niemalejący to taki, gdzie dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi nierówność an+1≥ana_{n+1} \geq a_n. Z kolei ciąg nierosnący to taki, gdzie an+1≤ana_{n+1} \leq a_n.

Dla ciągów o wyrazach dodatnich istnieje proste kryterium monotoniczności. Jeśli dla kolejnych wyrazów ana_n i an+1a_{n+1} mamy:

  1. an+1an>1\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 - ciąg jest rosnący
  2. an+1an<1\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 - ciąg jest malejący
  3. an+1an=1\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - ciąg jest stały

Te zależności pozwalają łatwo sprawdzić monotoniczność ciągu bez skomplikowanych obliczeń różnicy.

💪 Pamiętaj: Badanie ilorazu kolejnych wyrazów często jest prostsze niż badanie ich różnicy, szczególnie dla ciągów geometrycznych lub zawierających złożone wyrażenia.

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to specjalny rodzaj ciągu, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu i oznaczanej przez r.

Formalnie, ciąg (an)(a_n) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie aa i różnicy rr, gdy: a1=aa_1 = a an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r dla n≥1n \geq 1

Przykłady:

  • 5, 9, 13, 17, ... r=4>0r = 4 > 0
  • 5, 3, 1, ... r=−2<0r = -2 < 0

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć jako r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n dla dowolnego nn.

🎯 Szybkie sprawdzenie: W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami zawsze jest taka sama. Jeśli zauważysz tę własność, prawdopodobnie masz do czynienia z ciągiem arytmetycznym!

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGÓW * (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy no dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwe jest nier

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Właściwości ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny możemy zapisać za pomocą wzoru rekurencyjnego postaci an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r, gdzie r jest różnicą ciągu. Na przykład dla ciągu 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... mamy a1=3a_1 = 3 i r=2r = 2.

Ważne właściwości:

  1. Ciąg co najmniej trzywyrazowy (an)(a_n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r wtedy i tylko wtedy, gdy an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r dla każdej liczby naturalnej n.

  2. Ciąg arytmetyczny wykazuje monotoniczność:

    • jeśli r>0r > 0, to ciąg jest rosnący
    • jeśli r<0r < 0, to ciąg jest malejący
    • jeśli r=0r = 0, to ciąg jest stały

Przykładowo, dla ciągu an=−3n+2a_n = -3n + 2 mamy an+1−an=(−3(n+1)+2)−(−3n+2)=−3a_{n+1} - a_n = (-3(n+1) + 2) - (-3n + 2) = -3, więc r=−3<0r = -3 < 0 i ciąg jest malejący.

💡 Praktyczna wskazówka: Znając pierwszy wyraz ciągu a1a_1 i różnicę r, możesz szybko obliczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą wzoru an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

19

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Ciągi Rekurencyjne: Definicje i Przykłady

Zrozumienie ciągów rekurencyjnych określonych. Ta notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady obliczeń oraz metody wyznaczania kolejnych wyrazów. Idealna dla uczniów klasy 3, z praktycznymi zadaniami do samodzielnego rozwiązania.

MatematykaMatematyka
1

Monotoniczność Ciągów Matematycznych

Zrozumienie monotoniczności ciągów matematycznych: definicje, przykłady oraz dowody na rosnące i malejące ciągi. Dowiedz się, jak wykazać, że ciąg jest rosnący lub malejący, analizując nierówności. Idealne dla studentów matematyki i uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Podstawy Prawdopodobieństwa

Zrozumienie podstaw rachunku prawdopodobieństwa, w tym definicje, zasady oraz obliczenia związane z przestrzenią zdarzeń losowych. Materiał obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak prawdopodobieństwo zdarzeń, reguły dodawania i mnożenia, oraz permutacje. Idealne dla studentów matematyki i statystyki.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Arytmetyczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych: wzory na różnicę, n-ty wyraz oraz sumę. Przykłady obliczeń, badanie monotoniczności oraz rysowanie wykresów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Ciągi Matematyczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych, ich granic oraz zbieżności. Dowiedz się o wzorach na sumy ciągów oraz zastosowaniach w finansach, takich jak procent prosty i składany. Idealne dla studentów matematyki i ekonomii.

MatematykaMatematyka
3

Matura Matematyka 2023

Zbiór zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 roku. Obejmuje zagadnienia takie jak funkcje, geometria, obliczanie objętości i pól powierzchni, a także działania na potęgach i rozwiązywanie nierówności. Idealne materiały do nauki i powtórki przed maturą.

MatematykaMatematyka
4

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS