Otwórz aplikację

Przedmioty

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Pierwiastków - Zadania i Wzory

Otwórz

2388

20

user profile picture

Elwira Drzonek

3.05.2022

Matematyka

pierwiastki

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Pierwiastków - Zadania i Wzory

Pierwiastki kwadratowe są kluczowym elementem algebry, umożliwiającym rozwiązywanie złożonych równań i problemów matematycznych. Ich zrozumienie jest niezbędne dla dalszego rozwoju umiejętności matematycznych.

  • Pierwiastek kwadratowy to liczba, która pomnożona przez siebie daje liczbę pod pierwiastkiem.
  • Działania na pierwiastkach obejmują dodawanie i odejmowanie pierwiastków drugiego stopnia, a także mnożenie i dzielenie przy zastosowaniu pierwiastków.
  • Ważną umiejętnością jest wyłączanie czynnika przed pierwiastkiem, co upraszcza obliczenia.
  • Znajomość wzorów i technik operowania pierwiastkami jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania zadań algebraicznych.
...

3.05.2022

33067

DEFINICJA
stopień
pierwiastka
Symbol
pierwiastka
Na
PRZYKEADY
N4 = 2,₁ bo 2² = 4
√√27¹:
pierwiastele kwadratowy, czyli drugiego
stopnia
27 =

Zobacz

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W działaniach na pierwiastkach mnożenie i dzielenie odgrywają kluczową rolę. Zrozumienie tych operacji jest niezbędne do efektywnego obliczania pierwiastków i rozwiązywania bardziej złożonych problemów matematycznych.

Przy mnożeniu pierwiastków, mnożymy liczby przed pierwiastkiem osobno, a liczby pod pierwiastkiem również osobno. Na przykład:

7√2 · 3√3 = 21√6

Przykład: √3 · √12 = √36 = 6

Dzielenie pierwiastków opiera się na podobnej zasadzie. Dzielimy liczby przed pierwiastkiem i pod pierwiastkiem oddzielnie:

6126√12 / 232√3 = 3√4 = 3·2 = 6

Highlight: Przy mnożeniu i dzieleniu pierwiastków, operacje na liczbach przed pierwiastkiem i pod pierwiastkiem wykonujemy oddzielnie.

Ważną techniką jest wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Jest to szczególnie przydatne, gdy chcemy uprościć wyrażenie pierwiastkowe lub obliczyć pierwiastek bez kalkulatora.

Przykład: √432 = √162716·27 = √16 · √27 = 4 · 3√3 = 12√3

Proces wyłączania czynnika przed pierwiastek polega na rozkładzie liczby pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze. Czynniki, które występują parzyście dlapierwiastkakwadratowegodla pierwiastka kwadratowego lub w trójkach dlapierwiastkaszesˊciennegodla pierwiastka sześciennego, wyłączamy przed pierwiastek.

Vocabulary: Czynniki pierwsze to liczby pierwsze, które pomnożone przez siebie dają daną liczbę.

Ta metoda jest szczególnie przydatna przy obliczaniu pierwiastka z liczby bez użycia kalkulatora i stanowi ważną część umiejętności matematycznych w klasie 7 i 8.

DEFINICJA
stopień
pierwiastka
Symbol
pierwiastka
Na
PRZYKEADY
N4 = 2,₁ bo 2² = 4
√√27¹:
pierwiastele kwadratowy, czyli drugiego
stopnia
27 =

Zobacz

Zaawansowane techniki obliczania pierwiastków

W działaniach na pierwiastkach istnieją zaawansowane techniki, które pozwalają na efektywne obliczanie pierwiastków nawet w przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń. Te umiejętności są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu trudnych działań na pierwiastkach.

Jedną z takich technik jest metoda zapisu kaskadowego, która jest szczególnie przydatna przy obliczaniu pierwiastka z liczby bez użycia kalkulatora. Metoda ta polega na systematycznym rozkładzie liczby na czynniki pierwsze.

Przykład: Obliczanie √172 metodą zapisu kaskadowego: 172 | 2 86 | 2 43 | 43 1 | √172 = √22432 · 2 · 43 = 2√43

Ta metoda jest szczególnie przydatna przy obliczaniu pierwiastka bez kalkulatora i stanowi ważną część umiejętności matematycznych w klasie 8.

Inną zaawansowaną techniką jest upraszczanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych poprzez zastosowanie wzorów pierwiastki. Na przykład:

50+251250 + 2√512 = √50+216250 + 2 · 16√2 = √50+32250 + 32√2

Highlight: Umiejętność przekształcania i upraszczania złożonych wyrażeń pierwiastkowych jest kluczowa w zaawansowanej matematyce.

Warto również pamiętać o wzorach na działania na pierwiastkach, takich jak:

  • a+ba + √b² = a² + 2a√b + b
  • aba - √b² = a² - 2a√b + b
  • a+b√a + √bab√a - √b = a - b

Vocabulary: Wyrażenie pierwiastkowe to wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki.

Opanowanie tych technik i wzorów pozwala na efektywne rozwiązywanie zadań z pierwiastkami na poziomie zaawansowanym, co jest szczególnie ważne w matematyce klasy 8 i dalszej edukacji matematycznej.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

33 067

3 maj 2022

3 strony

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Pierwiastków - Zadania i Wzory

Pierwiastki kwadratowe są kluczowym elementem algebry, umożliwiającym rozwiązywanie złożonych równań i problemów matematycznych. Ich zrozumienie jest niezbędne dla dalszego rozwoju umiejętności matematycznych.

  • Pierwiastek kwadratowy to liczba, która pomnożona przez siebie daje liczbę pod pierwiastkiem.
  • Działania na pierwiastkach obejmują dodawanie i... Pokaż więcej

DEFINICJA
stopień
pierwiastka
Symbol
pierwiastka
Na
PRZYKEADY
N4 = 2,₁ bo 2² = 4
√√27¹:
pierwiastele kwadratowy, czyli drugiego
stopnia
27 =

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W działaniach na pierwiastkach mnożenie i dzielenie odgrywają kluczową rolę. Zrozumienie tych operacji jest niezbędne do efektywnego obliczania pierwiastków i rozwiązywania bardziej złożonych problemów matematycznych.

Przy mnożeniu pierwiastków, mnożymy liczby przed pierwiastkiem osobno, a liczby pod pierwiastkiem również osobno. Na przykład:

7√2 · 3√3 = 21√6

Przykład: √3 · √12 = √36 = 6

Dzielenie pierwiastków opiera się na podobnej zasadzie. Dzielimy liczby przed pierwiastkiem i pod pierwiastkiem oddzielnie:

6126√12 / 232√3 = 3√4 = 3·2 = 6

Highlight: Przy mnożeniu i dzieleniu pierwiastków, operacje na liczbach przed pierwiastkiem i pod pierwiastkiem wykonujemy oddzielnie.

Ważną techniką jest wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Jest to szczególnie przydatne, gdy chcemy uprościć wyrażenie pierwiastkowe lub obliczyć pierwiastek bez kalkulatora.

Przykład: √432 = √162716·27 = √16 · √27 = 4 · 3√3 = 12√3

Proces wyłączania czynnika przed pierwiastek polega na rozkładzie liczby pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze. Czynniki, które występują parzyście dlapierwiastkakwadratowegodla pierwiastka kwadratowego lub w trójkach dlapierwiastkaszesˊciennegodla pierwiastka sześciennego, wyłączamy przed pierwiastek.

Vocabulary: Czynniki pierwsze to liczby pierwsze, które pomnożone przez siebie dają daną liczbę.

Ta metoda jest szczególnie przydatna przy obliczaniu pierwiastka z liczby bez użycia kalkulatora i stanowi ważną część umiejętności matematycznych w klasie 7 i 8.

DEFINICJA
stopień
pierwiastka
Symbol
pierwiastka
Na
PRZYKEADY
N4 = 2,₁ bo 2² = 4
√√27¹:
pierwiastele kwadratowy, czyli drugiego
stopnia
27 =

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane techniki obliczania pierwiastków

W działaniach na pierwiastkach istnieją zaawansowane techniki, które pozwalają na efektywne obliczanie pierwiastków nawet w przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń. Te umiejętności są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu trudnych działań na pierwiastkach.

Jedną z takich technik jest metoda zapisu kaskadowego, która jest szczególnie przydatna przy obliczaniu pierwiastka z liczby bez użycia kalkulatora. Metoda ta polega na systematycznym rozkładzie liczby na czynniki pierwsze.

Przykład: Obliczanie √172 metodą zapisu kaskadowego: 172 | 2 86 | 2 43 | 43 1 | √172 = √22432 · 2 · 43 = 2√43

Ta metoda jest szczególnie przydatna przy obliczaniu pierwiastka bez kalkulatora i stanowi ważną część umiejętności matematycznych w klasie 8.

Inną zaawansowaną techniką jest upraszczanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych poprzez zastosowanie wzorów pierwiastki. Na przykład:

50+251250 + 2√512 = √50+216250 + 2 · 16√2 = √50+32250 + 32√2

Highlight: Umiejętność przekształcania i upraszczania złożonych wyrażeń pierwiastkowych jest kluczowa w zaawansowanej matematyce.

Warto również pamiętać o wzorach na działania na pierwiastkach, takich jak:

  • a+ba + √b² = a² + 2a√b + b
  • aba - √b² = a² - 2a√b + b
  • a+b√a + √bab√a - √b = a - b

Vocabulary: Wyrażenie pierwiastkowe to wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki.

Opanowanie tych technik i wzorów pozwala na efektywne rozwiązywanie zadań z pierwiastkami na poziomie zaawansowanym, co jest szczególnie ważne w matematyce klasy 8 i dalszej edukacji matematycznej.

DEFINICJA
stopień
pierwiastka
Symbol
pierwiastka
Na
PRZYKEADY
N4 = 2,₁ bo 2² = 4
√√27¹:
pierwiastele kwadratowy, czyli drugiego
stopnia
27 =

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i podstawowe działania na pierwiastkach

Pierwiastek jest jednym z fundamentalnych pojęć w matematyce, szczególnie istotnym w działaniach na pierwiastkach - klasa 7. Zrozumienie jego definicji i symboli jest kluczowe dla dalszej nauki.

Definicja: Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a to taka liczba b, która podniesiona do potęgi n daje a.

Symbol pierwiastka to √, a stopień pierwiastka zapisujemy jako mały indeks po lewej stronie znaku pierwiastka. Na przykład, √ to pierwiastek kwadratowy drugiegostopniadrugiego stopnia, ³√ to pierwiastek sześcienny trzeciegostopniatrzeciego stopnia.

Przykład: √4 = 2, ponieważ 2² = 4 Przykład: ³√27 = 3, ponieważ 3³ = 27

Przy działaniach na pierwiastkach kluczowe jest zrozumienie, że możemy dodawać i odejmować tylko pierwiastki tego samego stopnia i o tej samej liczbie podpierwiastkowej.

Highlight: Dodawanie i odejmowanie pierwiastków jest możliwe tylko dla pierwiastków tego samego stopnia i o tej samej liczbie podpierwiastkowej.

Przykłady działań na pierwiastkach:

  • 2√7 + √7 = 3√7
  • 5√3 - 2√3 = 3√3
  • √7 + 2√7 + √7 = 4√7

Ważne wzory pierwiastki to:

  • a√a² = a
  • √a · √b = √aba·b
  • a/ba/b = √a / √b, gdzie b ≠ 0

Te wzory są szczególnie przydatne przy obliczaniu pierwiastków i upraszczaniu wyrażeń zawierających pierwiastki.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS