Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady

Zobacz

Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady
user profile picture

RiKe.<3

@katczm_eunw

·

66 Obserwujących

Obserwuj

Pochodne funkcji to kluczowe zagadnienie w analizie matematycznej, umożliwiające badanie zmian funkcji. Obejmuje ono definicję pochodnej, jej interpretację geometryczną oraz reguły obliczania.

  • Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentu dąży do zera.
  • Geometrycznie pochodna reprezentuje nachylenie stycznej do wykresu funkcji.
  • Znajomość reguł różniczkowania, w tym pochodnej funkcji złożonej, jest kluczowa dla efektywnych obliczeń.

17.05.2022

564

Definicja i interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

Pochodną funkcji w punkcie z definicji określa się jako granicę ilorazu różnicowego. Proces ten obejmuje analizę przyrostu argumentu funkcji (x→x₀+h) oraz odpowiadającego mu przyrostu wartości funkcji [f(x+h)-f(x)].

Definicja: Pochodną funkcji w punkcie x₀ definiujemy jako: f'(x₀) = lim[h→0] (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Interpretacja geometryczna pochodnej jest kluczowa dla zrozumienia jej znaczenia. Pochodna funkcji w punkcie odpowiada współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Highlight: Pochodna f'(x₀) jest równa tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu funkcji w punkcie (x₀, f(x₀)) tworzy z osią OX.

Warto zauważyć, że istnienie pochodnej w punkcie implikuje ciągłość funkcji w tym punkcie, jednak odwrotna zależność nie zawsze zachodzi. Funkcja może być ciągła w punkcie, ale nie posiadać tam pochodnej.

Example: Dla funkcji liniowej y = ax + b, pochodna f'(x) = a jest stała i równa współczynnikowi kierunkowemu prostej.

Obliczanie pochodnej z definicji może być czasochłonne, dlatego w praktyce często korzysta się z gotowych wzorów i reguł różniczkowania, które znacznie upraszczają proces obliczeniowy.

przyrost argumentu funkcji (x=xoth)
(f(x)=f(x) = f(x+h)-f(x)] przyrost wartości funkci
√ (da x‡xo) - inny zapis
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
F

Reguły różniczkowania i pochodna funkcji złożonej

W tej części skupiamy się na regułach różniczkowania oraz koncepcji pochodnej funkcji złożonej. Znajomość tych zasad jest niezbędna do efektywnego obliczania pochodnych.

Pochodne wzory podstawowe obejmują:

  • Pochodna stałej: (c)' = 0
  • Pochodna funkcji liniowej: (cx)' = c
  • Pochodna sumy: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Pochodna iloczynu: (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
  • Pochodna ilorazu: (f(x) / g(x))' = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / (g(x))²

Highlight: Znajomość podstawowych pochodnych wzorów znacznie ułatwia obliczanie pochodnej funkcji.

Szczególnie istotna jest pochodna funkcji złożonej, która pozwala na różniczkowanie funkcji składających się z kilku operacji.

Definition: Pochodna funkcji złożonej (h(x) = f(g(x))) wyraża się wzorem: h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Ta reguła, znana również jako reguła łańcuchowa, jest niezwykle przydatna w obliczaniu pochodnych przykładów bardziej skomplikowanych funkcji.

Example: Dla funkcji h(x) = sin(x²), stosując regułę łańcuchową, otrzymujemy: h'(x) = cos(x²) · 2x

Kalkulator pochodnych może być pomocnym narzędziem do weryfikacji obliczeń, szczególnie w przypadku skomplikowanych funkcji złożonych. Jednak zrozumienie podstawowych zasad różniczkowania jest kluczowe dla rozwoju umiejętności matematycznych.

Praktyka w rozwiązywaniu działań na pochodnych zadania oraz pochodnej funkcji złożonej zadania jest niezbędna do pełnego opanowania tego tematu.

przyrost argumentu funkcji (x=xoth)
(f(x)=f(x) = f(x+h)-f(x)] przyrost wartości funkci
√ (da x‡xo) - inny zapis
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
F

Zobacz

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Zobacz

Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady
user profile picture

RiKe.<3

@katczm_eunw

·

66 Obserwujących

Obserwuj

Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady

Pochodne funkcji to kluczowe zagadnienie w analizie matematycznej, umożliwiające badanie zmian funkcji. Obejmuje ono definicję pochodnej, jej interpretację geometryczną oraz reguły obliczania.

  • Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentu dąży do zera.
  • Geometrycznie pochodna reprezentuje nachylenie stycznej do wykresu funkcji.
  • Znajomość reguł różniczkowania, w tym pochodnej funkcji złożonej, jest kluczowa dla efektywnych obliczeń.

17.05.2022

564

Definicja i interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

Pochodną funkcji w punkcie z definicji określa się jako granicę ilorazu różnicowego. Proces ten obejmuje analizę przyrostu argumentu funkcji (x→x₀+h) oraz odpowiadającego mu przyrostu wartości funkcji [f(x+h)-f(x)].

Definicja: Pochodną funkcji w punkcie x₀ definiujemy jako: f'(x₀) = lim[h→0] (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Interpretacja geometryczna pochodnej jest kluczowa dla zrozumienia jej znaczenia. Pochodna funkcji w punkcie odpowiada współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Highlight: Pochodna f'(x₀) jest równa tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu funkcji w punkcie (x₀, f(x₀)) tworzy z osią OX.

Warto zauważyć, że istnienie pochodnej w punkcie implikuje ciągłość funkcji w tym punkcie, jednak odwrotna zależność nie zawsze zachodzi. Funkcja może być ciągła w punkcie, ale nie posiadać tam pochodnej.

Example: Dla funkcji liniowej y = ax + b, pochodna f'(x) = a jest stała i równa współczynnikowi kierunkowemu prostej.

Obliczanie pochodnej z definicji może być czasochłonne, dlatego w praktyce często korzysta się z gotowych wzorów i reguł różniczkowania, które znacznie upraszczają proces obliczeniowy.

przyrost argumentu funkcji (x=xoth)
(f(x)=f(x) = f(x+h)-f(x)] przyrost wartości funkci
√ (da x‡xo) - inny zapis
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
F

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Reguły różniczkowania i pochodna funkcji złożonej

W tej części skupiamy się na regułach różniczkowania oraz koncepcji pochodnej funkcji złożonej. Znajomość tych zasad jest niezbędna do efektywnego obliczania pochodnych.

Pochodne wzory podstawowe obejmują:

  • Pochodna stałej: (c)' = 0
  • Pochodna funkcji liniowej: (cx)' = c
  • Pochodna sumy: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Pochodna iloczynu: (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
  • Pochodna ilorazu: (f(x) / g(x))' = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / (g(x))²

Highlight: Znajomość podstawowych pochodnych wzorów znacznie ułatwia obliczanie pochodnej funkcji.

Szczególnie istotna jest pochodna funkcji złożonej, która pozwala na różniczkowanie funkcji składających się z kilku operacji.

Definition: Pochodna funkcji złożonej (h(x) = f(g(x))) wyraża się wzorem: h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Ta reguła, znana również jako reguła łańcuchowa, jest niezwykle przydatna w obliczaniu pochodnych przykładów bardziej skomplikowanych funkcji.

Example: Dla funkcji h(x) = sin(x²), stosując regułę łańcuchową, otrzymujemy: h'(x) = cos(x²) · 2x

Kalkulator pochodnych może być pomocnym narzędziem do weryfikacji obliczeń, szczególnie w przypadku skomplikowanych funkcji złożonych. Jednak zrozumienie podstawowych zasad różniczkowania jest kluczowe dla rozwoju umiejętności matematycznych.

Praktyka w rozwiązywaniu działań na pochodnych zadania oraz pochodnej funkcji złożonej zadania jest niezbędna do pełnego opanowania tego tematu.

przyrost argumentu funkcji (x=xoth)
(f(x)=f(x) = f(x+h)-f(x)] przyrost wartości funkci
√ (da x‡xo) - inny zapis
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
F

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.