Jak określić monotoniczność funkcji - prosty przewodnik

oliwka;)

7.10.2025

Matematyka

funkcje i ich własności

Matematyka

Symetria geometryczna i funkcyjna

Funkcja nieparzysta

2382

•

7 paź 2025

•

4 strony

Jak określić monotoniczność funkcji - prosty przewodnik

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

oliwka;)

@oliwkapra

Monotoniczność funkcji i ich właściwościto kluczowe zagadnienia w matematyce,... Pokaż więcej

1 / 4

&
# funkcje i ich
## WŁASNOŚCI
Funkcja - takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest jeden
element z

Monotoniczność funkcji i jej rodzaje

Monotoniczność funkcji to jedna z kluczowych właściwości, która opisuje zachowanie funkcji. Rozróżniamy następujące typy monotoniczności:

Definicja: Funkcja rosnąca to taka, dla której wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcja rosnąca: x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)
Funkcja malejąca: x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)
Funkcja stała: f $x₁$ = f(x₂) dla wszystkich x₁, x₂

Highlight: Funkcja może być również niemalejąca lub nierosnąca, co oznacza, że wartości funkcji nie muszą ściśle rosnąć lub maleć.

Jak określić monotoniczność funkcji? Należy zbadać znak różnicy f $x₂$ - f $x₁$ dla x₁ < x₂. Jeśli różnica jest dodatnia, funkcja jest rosnąca, jeśli ujemna - malejąca.

Example: Dla funkcji f $x$ = x², możemy podzielić ją na przedziały monotoniczności: malejąca dla x < 0 i rosnąca dla x > 0.

Funkcja różnowartościowa to taka, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. Każda funkcja monotoniczna jest różnowartościowa.

Symetria funkcji i funkcje parzyste/nieparzyste

Funkcje mogą wykazywać różne rodzaje symetrii, co jest istotne przy szkicowaniu wykresu funkcji i analizie jej właściwości:

Funkcja parzysta: f $-x$ = f(x) dla każdego x z dziedziny
Funkcja nieparzysta: f $-x$ = -f(x) dla każdego x z dziedziny

Highlight: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a wykres funkcji nieparzystej względem punktu (0,0).

Example: Funkcja f $x$ = x² jest funkcją parzystą, a f $x$ = x³ jest funkcją nieparzystą.

Odczytywanie własności funkcji z wykresu jest łatwiejsze, gdy znamy te symetrie:

Dla funkcji parzystych, punkty $x, f(x$ ) i $-x, f(x$ ) są symetryczne względem osi OY
Dla funkcji nieparzystych, punkty $x, f(x$ ) i $-x, -f(x$ ) są symetryczne względem początku układu współrzędnych

Vocabulary: Przedziały monotoniczności funkcji to zakresy argumentów, w których funkcja zachowuje stałą monotoniczność.

Warto zauważyć, że istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Analiza symetrii funkcji jest kluczowa dla zrozumienia jej zachowania i szkicowania wykresu funkcji.

Podsumowanie właściwości funkcji

Podsumowując, analiza funkcji obejmuje badanie jej:

Monotoniczności (rosnąca, malejąca, stała)
Różnowartościowości
Parzystości i nieparzystości
Symetrii wykresu

Highlight: Zrozumienie tych właściwości jest kluczowe dla odczytywania własności funkcji z wykresu i rozwiązywania zadań matematycznych.

Kiedy funkcja nie jest monotoniczna? Gdy jej zachowanie zmienia się w różnych przedziałach dziedziny. W takich przypadkach należy określić przedziały monotoniczności funkcji.

Example: Monotoniczność funkcji kwadratowej f $x$ = x² zmienia się w punkcie x = 0, dzieląc wykres na dwie części: malejącą dla x < 0 i rosnącą dla x > 0.

Znajomość tych koncepcji jest niezbędna do rozwiązywania zadań z monotoniczności funkcji, które często pojawiają się w programie nauczania matematyki w liceum.

Definicja funkcji i sposoby jej zapisu

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Istnieje kilka sposobów zapisu funkcji:

Definicja: Funkcja to przyporządkowanie elementów między zbiorami X i Y.

Graf - graficzne przedstawienie relacji między elementami zbiorów
Zapis normalny - wykorzystujący wzór matematyczny
Tabela - zestawienie argumentów i odpowiadających im wartości
Uporządkowane pary - zapis w postaci (x, f(x))
Wykres - graficzna reprezentacja funkcji na płaszczyźnie kartezjańskiej

Vocabulary: Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich przyporządkowanych wartości funkcji.

Highlight: Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi X, natomiast zbiór wartości z osi Y na wykresie funkcji.

Example: Dla funkcji f $x$ = x², zbiorem wartości są wszystkie liczby nieujemne.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcja wykładnicza

1140

Ułamki algebraiczne

865

funkcja wykładnicza

2286

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Symetria geometryczna i funkcyjna

Funkcja nieparzysta

Matematyka

•

2382

•

7 paź 2025

•

4 strony

Jak określić monotoniczność funkcji - prosty przewodnik

oliwka;)

@oliwkapra

Monotoniczność funkcji i ich właściwości to kluczowe zagadnienia w matematyce, które pomagają zrozumieć zachowanie funkcji. Dokument omawia różne typy funkcji, ich cechy charakterystyczne oraz metody analizy ich monotoniczności i symetrii.

Przedstawiono definicję funkcji jako przyporządkowania elementów między zbiorami
Omówiono różne... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność funkcji i jej rodzaje

Monotoniczność funkcji to jedna z kluczowych właściwości, która opisuje zachowanie funkcji. Rozróżniamy następujące typy monotoniczności:

Definicja: Funkcja rosnąca to taka, dla której wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcja rosnąca: x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)
Funkcja malejąca: x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)
Funkcja stała: f $x₁$ = f(x₂) dla wszystkich x₁, x₂

Highlight: Funkcja może być również niemalejąca lub nierosnąca, co oznacza, że wartości funkcji nie muszą ściśle rosnąć lub maleć.

Jak określić monotoniczność funkcji? Należy zbadać znak różnicy f $x₂$ - f $x₁$ dla x₁ < x₂. Jeśli różnica jest dodatnia, funkcja jest rosnąca, jeśli ujemna - malejąca.

Example: Dla funkcji f $x$ = x², możemy podzielić ją na przedziały monotoniczności: malejąca dla x < 0 i rosnąca dla x > 0.

Funkcja różnowartościowa to taka, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. Każda funkcja monotoniczna jest różnowartościowa.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Symetria funkcji i funkcje parzyste/nieparzyste

Funkcje mogą wykazywać różne rodzaje symetrii, co jest istotne przy szkicowaniu wykresu funkcji i analizie jej właściwości:

Funkcja parzysta: f $-x$ = f(x) dla każdego x z dziedziny
Funkcja nieparzysta: f $-x$ = -f(x) dla każdego x z dziedziny

Highlight: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a wykres funkcji nieparzystej względem punktu (0,0).

Example: Funkcja f $x$ = x² jest funkcją parzystą, a f $x$ = x³ jest funkcją nieparzystą.

Odczytywanie własności funkcji z wykresu jest łatwiejsze, gdy znamy te symetrie:

Dla funkcji parzystych, punkty $x, f(x$ ) i $-x, f(x$ ) są symetryczne względem osi OY
Dla funkcji nieparzystych, punkty $x, f(x$ ) i $-x, -f(x$ ) są symetryczne względem początku układu współrzędnych

Vocabulary: Przedziały monotoniczności funkcji to zakresy argumentów, w których funkcja zachowuje stałą monotoniczność.

Warto zauważyć, że istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Analiza symetrii funkcji jest kluczowa dla zrozumienia jej zachowania i szkicowania wykresu funkcji.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podsumowanie właściwości funkcji

Podsumowując, analiza funkcji obejmuje badanie jej:

Monotoniczności (rosnąca, malejąca, stała)
Różnowartościowości
Parzystości i nieparzystości
Symetrii wykresu

Highlight: Zrozumienie tych właściwości jest kluczowe dla odczytywania własności funkcji z wykresu i rozwiązywania zadań matematycznych.

Kiedy funkcja nie jest monotoniczna? Gdy jej zachowanie zmienia się w różnych przedziałach dziedziny. W takich przypadkach należy określić przedziały monotoniczności funkcji.

Example: Monotoniczność funkcji kwadratowej f $x$ = x² zmienia się w punkcie x = 0, dzieląc wykres na dwie części: malejącą dla x < 0 i rosnącą dla x > 0.

Znajomość tych koncepcji jest niezbędna do rozwiązywania zadań z monotoniczności funkcji, które często pojawiają się w programie nauczania matematyki w liceum.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja funkcji i sposoby jej zapisu

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Istnieje kilka sposobów zapisu funkcji:

Definicja: Funkcja to przyporządkowanie elementów między zbiorami X i Y.

Graf - graficzne przedstawienie relacji między elementami zbiorów
Zapis normalny - wykorzystujący wzór matematyczny
Tabela - zestawienie argumentów i odpowiadających im wartości
Uporządkowane pary - zapis w postaci (x, f(x))
Wykres - graficzna reprezentacja funkcji na płaszczyźnie kartezjańskiej

Vocabulary: Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich przyporządkowanych wartości funkcji.

Highlight: Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi X, natomiast zbiór wartości z osi Y na wykresie funkcji.

Example: Dla funkcji f $x$ = x², zbiorem wartości są wszystkie liczby nieujemne.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Transformacje Funkcji Wykładniczej

Zrozumienie transformacji funkcji wykładniczej, w tym jej dziedziny oraz kluczowych pojęć. Materiał obejmuje szczegółowe omówienie funkcji malejącej oraz nierówności wykładniczych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Równania i Nierówności Wymierne

Przewodnik po równaniach i nierównościach wymiernych, funkcjach homograficznych oraz średnich arytmetycznych i geometrycznych. Zawiera kluczowe zasady dotyczące rozwiązywania nierówności oraz operacji na ułamkach, idealny dla uczniów klasy III szkoły średniej.

Matematyka

Właściwości Funkcji Wykładniczej

Zrozumienie właściwości funkcji wykładniczej, w tym monotoniczności, asymptot oraz symetrii. Materiał przeznaczony dla uczniów na poziomie podstawowym, zawierający kluczowe informacje o funkcji f(x) = ax dla a > 0.

Matematyka

Analiza Funkcji Wymiernej

Zgłębiaj definicję i właściwości funkcji wymiernej, w tym przykłady, dziedzinę oraz postać kanoniczną. Dowiedz się, jak rysować wykresy i identyfikować asymptoty. Idealne dla studentów matematyki na poziomie średnim i wyższym.

Matematyka

Zamiana Postaci Funkcji

Przewodnik po metodzie zamiany postaci iloczynowej funkcji kwadratowej na postać ogólną i kanoniczną. Zawiera szczegółowe przykłady oraz obliczenia współczynników a, b, c oraz wierzchołka paraboli. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Własności funkcji wykładniczej i kwadratowej

Zgłębiaj kluczowe właściwości funkcji wykładniczej, logarytmicznej oraz kwadratowej. Dowiedz się o ich dziedzinach, monotoniczności oraz zastosowaniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: podsumowanie.

Matematyka

Podobne notatki

Funkcja wykładnicza

1140

Ułamki algebraiczne

865

funkcja wykładnicza

2286

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS