Podstawowe wzory na potęgi

Zapamiętanie tych wzorów na potęgi to klucz do sukcesu w matematyce! Każdy z nich ma swoje zastosowanie i razem tworzą kompletny zestaw narzędzi.

Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie, dodajesz wykładniki: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. Przy dzieleniu odejmujesz wykładniki: $a^n \div a^m = a^{n-m}$. To logiczne - mnożenie "dodaje moc", dzielenie "zabiera moc".

Potęgowanie potęgi oznacza mnożenie wykładników: $(a^n)^m = a^{n\cdot m}$. Ujemny wykładnik to po prostu odwrotność: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Pierwiastek zapisujesz jako potęgę ułamkową: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Pamiętaj: Każda liczba do potęgi 0 równa się 1, czyli $a^0 = 1$. To jedna z najczęściej zapominanych zasad!

Rozwiązywanie zadań - część pierwsza

Teraz zobaczysz, jak stosować wzory w praktyce! Te przykłady pokażą ci różne techniki obliczania potęg krok po kroku.

W zadaniu a) kluczem było zauważenie, że $6 = 2 \cdot 3$, więc $(2 \cdot 3)^{30} = 2^{30} \cdot 3^{30}$. Po skróceniu $3^{30}$ zostało $2^{30} \cdot 2^{5-30} = 2^5 = 32$.

Zadanie b) wymaga przekształcenia $9 = 3^2$, więc $9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{-6}$. Ostatecznie: $3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. W zadaniu c) podobnie $16 = 2^4$, więc $16^3 = 2^{12}$, a $2^{-3} \cdot 2^{12} = 2^9 = 512$.

Wskazówka: Zawsze szukaj sposobów na sprowadzenie wszystkich liczb do tej samej podstawy - to znacznie ułatwia obliczenia!

Rozwiązywanie zadań - część druga

Trudniejsze przykłady pokazują prawdziwą siłę wzorów na potęgi. Nie bój się długich obliczeń - każdy krok to zastosowanie poznanych zasad.

W zadaniu f) należało rozbić $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2$, więc $36^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}$. Po podzieleniu licznika przez mianownik: $2^{50-20} \cdot 3^{40-20} = 2^{30} \cdot 3^{20}$.

Zadanie z sumą $4^{28} + 4^{28} + 4^{28} + 4^{28}$ to pułapka! Cztery identyczne składniki to $4 \cdot 4^{28} = 4^{29}$. Ponieważ $4 = 2^2$, mamy $(2^2)^{29} = 2^{58}$. Odpowiedź B jest prawidłowa.

Pamiętaj, że każde wyrażenie do potęgi 0 równa się 1, jak w zadaniu g). To jedna z najprostszych zasad, ale często o niej zapominamy!

Ważne: W zadaniach testowych zawsze sprawdzaj swoje obliczenia - jedna pomyłka w wykładniku może zmienić wynik całkowicie!