Potęga o różnych rodzajach wykładników - zadania i przykłady

Sebastian Jędrusiak

13.11.2025

Matematyka

Potęga o wykładniku niewymiernym

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Ciąg arytmetyczny

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

834

•

13 lis 2025

•

2 strony

Potęga o różnych rodzajach wykładników - zadania i przykłady

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Sebastian Jędrusiak

@sebastianjdrusiak_jecy

Potęga o wykładniku niewymiernymstanowi kluczowy koncept w matematyce zaawansowanej,... Pokaż więcej

<p>Sposób w jaki obliczamy potęgę o wykładniku niewymiernym polega na określeniu tylko dla podstawy a>0. Korzystamy tutaj z ciągu przybl

Praktyczne obliczenia i własności potęg

W tej części skupiono się na praktycznych aspektach obliczania potęgi o wykładniku wymiernym oraz własnościach działań na potęgach.

Example: Obliczenie pierwszego wyrazu ciągu: 2^3.1 = 2^(31/10) = 8.574...

Highlight: Dokładność wyniku zależy od liczby wykorzystanych wyrazów ciągu przybliżeń.

Definition: Dla a>0 i b>0 oraz dowolnych liczb rzeczywistych m i n zachowane są wszystkie własności działań na potęgach.

Example: Praktyczne zastosowanie własności potęg:

2^(√3·2-√3) = 2^(2√3-√3) = 2^√3 · 2^(-√3) = 2^0 = 1
2^7 = 14^2

Wprowadzenie do potęg o wykładniku niewymiernym

W tej części przedstawiono fundamentalne zasady obliczania potęgi o wykładniku niewymiernym. Metoda ta ma zastosowanie wyłącznie dla podstawy większej od zera.

Definition: Potęga o wykładniku niewymiernym to wartość wyznaczana poprzez ciągi przybliżeń z niedomiarem i nadmiarem liczby niewymiernej.

Example: Dla potęgi 2^π tworzymy ciągi przybliżeń:

Z niedomiarem: (3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)
Z nadmiarem: (3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, ...)
Odpowiadające im ciągi potęg: $2^3.1, 2^3.14, 2^3.141, 2^3.1415, ...$ oraz $2^3.2, 2^3.15, 2^3.142, 2^3.1416, ...$

Highlight: Kluczowe jest zrozumienie, że wartość potęgi o wykładniku niewymiernym wyznaczamy jako kres dolny i górny zbiorów wyrazów utworzonych ciągów.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

216

Kombinatoryka

5964

194

kombinatoryka wariacje kombinacje permutacje reguła dodawania mnożenia

7909

270

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Ciąg arytmetyczny

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Matematyka

•

834

•

13 lis 2025

•

2 strony

Potęga o różnych rodzajach wykładników - zadania i przykłady

Sebastian Jędrusiak

@sebastianjdrusiak_jecy

Potęga o wykładniku niewymiernym stanowi kluczowy koncept w matematyce zaawansowanej, gdzie wykorzystujemy ciągi przybliżeń do obliczania wartości potęg o wykładnikach niewymiernych.

Metoda obliczania opiera się na tworzeniu ciągów przybliżeń z niedomiarem i nadmiarem
Obliczenia wykonujemy wyłącznie dla podstawy większej od... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Praktyczne obliczenia i własności potęg

W tej części skupiono się na praktycznych aspektach obliczania potęgi o wykładniku wymiernym oraz własnościach działań na potęgach.

Example: Obliczenie pierwszego wyrazu ciągu: 2^3.1 = 2^(31/10) = 8.574...

Highlight: Dokładność wyniku zależy od liczby wykorzystanych wyrazów ciągu przybliżeń.

Definition: Dla a>0 i b>0 oraz dowolnych liczb rzeczywistych m i n zachowane są wszystkie własności działań na potęgach.

Example: Praktyczne zastosowanie własności potęg:

2^(√3·2-√3) = 2^(2√3-√3) = 2^√3 · 2^(-√3) = 2^0 = 1
2^7 = 14^2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wprowadzenie do potęg o wykładniku niewymiernym

W tej części przedstawiono fundamentalne zasady obliczania potęgi o wykładniku niewymiernym. Metoda ta ma zastosowanie wyłącznie dla podstawy większej od zera.

Definition: Potęga o wykładniku niewymiernym to wartość wyznaczana poprzez ciągi przybliżeń z niedomiarem i nadmiarem liczby niewymiernej.

Example: Dla potęgi 2^π tworzymy ciągi przybliżeń:

Z niedomiarem: (3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)
Z nadmiarem: (3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, ...)
Odpowiadające im ciągi potęg: $2^3.1, 2^3.14, 2^3.141, 2^3.1415, ...$ oraz $2^3.2, 2^3.15, 2^3.142, 2^3.1416, ...$

Highlight: Kluczowe jest zrozumienie, że wartość potęgi o wykładniku niewymiernym wyznaczamy jako kres dolny i górny zbiorów wyrazów utworzonych ciągów.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

Z wytłumaczeniem na przykładach

Matematyka

Podstawy Kombinatoryki

Zgłębiaj podstawowe zasady kombinatoryki, w tym permutacje, kombinacje oraz reguły mnożenia i dodawania. Odkryj, jak obliczać liczby możliwych układów i zestawień w różnych kontekstach matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Permutacje i Kombinacje

Zrozumienie podstaw kombinatoryki: permutacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń, oraz reguły dodawania i mnożenia. Przykłady obliczeń i zastosowań, w tym obliczanie liczby sposobów wyboru i ustawienia elementów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Suma Ciągu Arytmetycznego

Zrozumienie sumy ciągu arytmetycznego oraz obliczanie sumy n początkowych wyrazów. Przykłady zadań dotyczących ciągów arytmetycznych, w tym wzory i obliczenia dla różnych wartości n. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wzory Ciągu Arytmetycznego

Zbiór kluczowych wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, w tym wzory na n-ty wyraz oraz sumę wyrazów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Zawiera definicje oraz przykłady zastosowania wzorów.

Matematyka

Ciągi Aritmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych z przykładami zadań maturalnych. Dowiedz się, jak obliczać sumy, średnie oraz wyrazy ciągów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury. Typ: podsumowanie.

Matematyka

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

216

Kombinatoryka

5964

194

kombinatoryka wariacje kombinacje permutacje reguła dodawania mnożenia

7909

270

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS