Sposób w jaki obliczamy potęgę o wykładniku niewymiernym polega na określeniu tylko dla podstawy a>0. Korzystamy tutaj z ciągu przybliżeń z niedomiarem oraz nadmiarem liczby w. Tworzymy na tej podstawie ciąg potęg o wykładniku wymiernym. Kres dolny oraz kres górny zbioru wyrazów tych ciągów, to właśnie wartość potęgi o wykładniku niewymiernym.
Na przykładzie zobaczmy, w jaki sposób wyznaczamy potęgę 2 do potęgi p.
Liczba pi = 3.1415926535…
Tworzymy ciąg z niedomiarem: (3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …) i ciąg z nadmiarem: (3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, …) oraz odpowiadające im ciągi potęg:
(2^3.1, 2^3.14, 2^3.141, 2^3.1415, …)
(2^3.2, 2^3.15, 2^3.142, 2^3.1416, …)
Każdy z tych wyrazów ciągu jesteśmy w stanie policzyć, korzystając z wiedzy na temat potęgi o wykładniku wymiernym. Dla przykładu policzymy wartość pierwszego wyrazu pierwszego ciągu:
2^3.1 ≈ 2^21/2 ≈ 1.995
Jest to już pewne przybliżenie szukanej potęgi (zauważ, że także niewymierne). W zależności od wymaganej dokładności wyniku, bierzemy pod uwagę kolejny wyraz jednego z powyższych ciągów. Możemy napisać, że 2^pi ≈ 1.995.
Jeżeli a>0 i b>0, to dla dowolnych liczb rzeczywistych m in prawdziwe są wszystkie własności działań na potęgach.
Przykład:
√3 * 2^3-√3 * 2-√3 = 2^0 = 1
2^7 * 2^4 = 2^11
