Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

2871

•

28 mar 2022

•

2 strony

Matematyka: Rachunek Prawdopodobieństwa i Kombinatoryka Zadania Maturalne PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Natalia Buć

@nbuc

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatorykato kluczowe działy matematyki, które znajdują... Pokaż więcej

prawdopodobieństwo
• Zdanenie pewne
S2
Przykładowe criałania na zdanemiach losowych.
AUB= (ANB) (ANB) U (B₁A¹)
A (A-B) U (ANB)
A B = A (ANB)

Podstawy kombinatoryki

Druga część dokumentu koncentruje się na kombinatoryce, która jest ściśle związana z rachunkiem prawdopodobieństwa. Przedstawiono podstawowe zasady i techniki kombinatoryczne.

Definicja: Reguła mnożenia stosuje się, gdy chcemy policzyć liczbę sposobów wykonania kilku czynności jednocześnie.

Definicja: Reguła dodawania stosuje się, gdy chcemy policzyć liczbę sposobów wykonania jednej z kilku wzajemnie wykluczających się czynności.

Dokument szczegółowo omawia pojęcia wariacji, permutacji i kombinacji, które są kluczowe w rozwiązywaniu zadań z kombinatoryki.

Wzór: Liczba wariacji k-wyrazowych z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi n^k.

Przykład: Liczba możliwych wyników 4-krotnego rzutu kostką to 6^4 = 1296.

Przedstawiono również wzory na obliczanie liczby wariacji bez powtórzeń, permutacji oraz kombinacji. Te wzory kombinatoryczne są niezbędne przy rozwiązywaniu bardziej zaawansowanych problemów z zakresu prawdopodobieństwa i statystyki.

Highlight: Permutacja to szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń, gdzie wykorzystujemy wszystkie elementy zbioru.

Wzór: Liczba permutacji n-elementowego zbioru wynosi n! = n · $n-1$ · ... · 3 · 2 · 1

Na zakończenie omówiono kombinacje, które są często wykorzystywane w zadaniach maturalnych z rachunku prawdopodobieństwa.

Wzór: Liczba kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego wynosi $n choose k$ = n! / $k! · (n-k)!$

Dokument stanowi kompleksowe wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki, dostarczając niezbędnych narzędzi do rozwiązywania zadań z tego zakresu, w tym zadań maturalnych z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

Dokument rozpoczyna się od omówienia fundamentalnych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Przedstawiono działania na zdarzeniach losowych oraz aksjomaty prawdopodobieństwa, które stanowią podstawę tej dziedziny matematyki.

Definicja: Zdarzenie pewne to zdarzenie, które zawsze zachodzi w danym doświadczeniu losowym.

Highlight: Aksjomaty prawdopodobieństwa to:

P $A$ ≥ 0
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1
Dla zdarzeń rozłącznych A i B: P $A∪B$ = P $A$ + P $B$

Omówiono również własności prawdopodobieństwa, które wynikają z aksjomatów. Wśród nich znajdują się:

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0
Dla A⊂B zachodzi: P $B-A$ = P $B$ - P $A$
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe niż 1

Przykład: Wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: P $A∪B$ = P $A$ + P $B$ - P $A∩B$

Dokument przedstawia różne typy prawdopodobieństwa, w tym klasyczną definicję prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe oraz prawdopodobieństwo całkowite.

Vocabulary: p $a∩b$ oznacza prawdopodobieństwo zajścia jednocześnie zdarzeń A i B.

Zaprezentowano również wzór Bayesa, który jest kluczowym narzędziem w analizie prawdopodobieństwa warunkowego:

Wzór: P $B₁|A$ = $P(A|B₁) · P(B₁)$ / P $A$

Na koniec tej części omówiono nierówności prawdopodobieństwa, które są przydatne w rozwiązywaniu zadań z rachunku prawdopodobieństwa.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

369

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

627

Granica ciągu

3960

100

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

2871

•

28 mar 2022

•

2 strony

Matematyka: Rachunek Prawdopodobieństwa i Kombinatoryka Zadania Maturalne PDF

Natalia Buć

@nbuc

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka to kluczowe działy matematyki, które znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego. Dokument omawia podstawowe pojęcia, wzory i techniki związane z tymi zagadnieniami.

Przedstawiono aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa oraz jego własności
Omówiono różne typy prawdopodobieństwa,... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy kombinatoryki

Druga część dokumentu koncentruje się na kombinatoryce, która jest ściśle związana z rachunkiem prawdopodobieństwa. Przedstawiono podstawowe zasady i techniki kombinatoryczne.

Definicja: Reguła mnożenia stosuje się, gdy chcemy policzyć liczbę sposobów wykonania kilku czynności jednocześnie.

Definicja: Reguła dodawania stosuje się, gdy chcemy policzyć liczbę sposobów wykonania jednej z kilku wzajemnie wykluczających się czynności.

Dokument szczegółowo omawia pojęcia wariacji, permutacji i kombinacji, które są kluczowe w rozwiązywaniu zadań z kombinatoryki.

Wzór: Liczba wariacji k-wyrazowych z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi n^k.

Przykład: Liczba możliwych wyników 4-krotnego rzutu kostką to 6^4 = 1296.

Highlight: Permutacja to szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń, gdzie wykorzystujemy wszystkie elementy zbioru.

Wzór: Liczba permutacji n-elementowego zbioru wynosi n! = n · $n-1$ · ... · 3 · 2 · 1

Na zakończenie omówiono kombinacje, które są często wykorzystywane w zadaniach maturalnych z rachunku prawdopodobieństwa.

Wzór: Liczba kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego wynosi $n choose k$ = n! / $k! · (n-k)!$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

Definicja: Zdarzenie pewne to zdarzenie, które zawsze zachodzi w danym doświadczeniu losowym.

Highlight: Aksjomaty prawdopodobieństwa to:

P $A$ ≥ 0
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1
Dla zdarzeń rozłącznych A i B: P $A∪B$ = P $A$ + P $B$

Omówiono również własności prawdopodobieństwa, które wynikają z aksjomatów. Wśród nich znajdują się:

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0
Dla A⊂B zachodzi: P $B-A$ = P $B$ - P $A$
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe niż 1

Przykład: Wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: P $A∪B$ = P $A$ + P $B$ - P $A∩B$

Dokument przedstawia różne typy prawdopodobieństwa, w tym klasyczną definicję prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe oraz prawdopodobieństwo całkowite.

Vocabulary: p $a∩b$ oznacza prawdopodobieństwo zajścia jednocześnie zdarzeń A i B.

Zaprezentowano również wzór Bayesa, który jest kluczowym narzędziem w analizie prawdopodobieństwa warunkowego:

Wzór: P $B₁|A$ = $P(A|B₁) · P(B₁)$ / P $A$

Na koniec tej części omówiono nierówności prawdopodobieństwa, które są przydatne w rozwiązywaniu zadań z rachunku prawdopodobieństwa.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

369

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

627

Granica ciągu

3960

100

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS