Rodzaje przedziałów liczbowych

Przedziały liczbowe to zbiory liczb rzeczywistych, które możemy zapisać na różne sposoby. Przedział domknięty $\langle a, b \rangle$ zawiera wszystkie liczby x, które spełniają warunek $a \leq x \leq b$ - czyli zawiera również swoje krańce a i b. Przeciwnie, przedział otwarty $(a, b)$ obejmuje liczby x takie, że $a < x < b$ - nie zawiera punktów końcowych.

Istnieją też przedziały mieszane. Przedział lewostronnie domknięty $\langle a, b)$ zawiera swój lewy kraniec a, ale nie zawiera prawego krańca b. Z kolei przedział prawostronnie domknięty $(a, b \rangle$ zawiera prawy kraniec b, ale nie lewy kraniec a.

Przedziały mogą być też nieograniczone. Przedział $\langle a, \infty \rangle$ zawiera wszystkie liczby większe lub równe a. Natomiast przedział $(a, \infty)$ to zbiór wszystkich liczb większych niż a (bez samego a).

💡 Wskazówka: Aby łatwo zapamiętać różnicę między nawiasami, pomyśl o tym tak: nawias kwadratowy oznacza, że punkt końcowy jest włączony do przedziału, a nawias okrągły oznacza, że punkt końcowy jest wykluczony.

Działania na przedziałach liczbowych

Przedziały nieograniczone z lewej strony zapisujemy jako $(-\infty, a)$ lub $(-\infty, a\rangle$ - zawierają one wszystkie liczby mniejsze (lub mniejsze równe) od a. Całą oś liczbową zapisujemy jako $(-\infty, +\infty)$, co oznacza po prostu zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Na przedziałach możemy wykonywać różne operacje zbiorów. Dla przykładu, jeśli mamy przedziały $A = (-2, 4)$ i $B = \langle0, 6\rangle$, to ich część wspólna to $A \cap B = \langle0, 4)$. Jest to zbiór liczb, które należą jednocześnie do obu przedziałów.

Suma przedziałów $A \cup B = (-2, 6\rangle$ zawiera wszystkie liczby, które należą do przynajmniej jednego z tych przedziałów. Różnica zbiorów $A \setminus B = (-2, 0)$ to liczby, które należą do A, ale nie należą do B.

Dopełnienie zbioru (oznaczane apostrofem) to zbiór wszystkich liczb, które nie należą do danego zbioru. Przykładowo $A' = (-\infty, -2\rangle \cup \langle4, +\infty)$.

⚠️ Uważaj! Przy obliczaniu części wspólnej dwóch przedziałów zawsze bierzemy "bardziej restrykcyjne" krańce - większy lewy kraniec i mniejszy prawy kraniec.