Przekształcenia wykresów funkcji to kluczowy temat w matematyce, który pozwala...
Matematyka768 wyświetleń·Zaktualizowano 24 lip 2026·3 stronyZmiany Wykresów Funkcji Matematycznych
Ania@an1a.st
1 / 3
1
of 3
Wektory i przesunięcia wykresów funkcji
Wektor w układzie współrzędnych to uporządkowana para liczb. Jeśli mamy punkty A i B, to wektor AB ma współrzędne [xᵦ-xₐ, yᵦ-yₐ]. Długość wektora obliczamy ze wzoru √, a środek odcinka AB to punkt (⁽ˣᵃ⁺ˣᵇ⁾/₂, ⁽ʸᵃ⁺ʸᵇ⁾/₂).
Przesunięcie równoległe (translacja) o wektor u⃗ polega na przyporządkowaniu każdemu punktowi A takiego punktu A₁, że AA₁ = u⃗. Gdy przesuwamy punkt A o wektor u⃗(p,q), otrzymujemy punkt A₁.
Przy przesunięciu wykresu funkcji y=f wzdłuż osi OX o wektor (p,0) otrzymujemy wykres y=f. Natomiast przesunięcie o wektor (0,q) wzdłuż osi OY daje wykres y=f+q. Jeśli wykonujemy oba przesunięcia, otrzymamy y=f+q.
💡 Wskazówka: Gdy przesuwasz wykres w prawo o p jednostek, w funkcji pojawia się . Gdy przesuwasz w górę o q jednostek, dodajesz q do całej funkcji.
Symetria względem osi również zmienia wykres funkcji. Odbicie względem osi OX daje y=-f, odbicie względem osi OY to y=f, a symetria środkowa względem (0,0) to y=-f.
2
of 3
Wykresy z wartością bezwzględną
Wartość bezwzględna liczby x to funkcja, która dla x≥0 daje x, a dla x<0 daje -x. Podobnie działa wartość bezwzględna funkcji: |f| daje f gdy f≥0 oraz -f gdy f<0.
Wykres funkcji y=|f| powstaje przez "odbicie" tych fragmentów wykresu funkcji f, które znajdują się poniżej osi OX, symetrycznie do części znajdującej się nad osią. Wynikiem jest funkcja, która nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.
Kiedy rysujemy wykres funkcji z wartością bezwzględną, możemy podzielić dziedzinę na przedziały, gdzie funkcja wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnia lub ujemna. W każdym przedziale stosujemy odpowiednią definicję.
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną, zawsze sprawdź, dla jakich argumentów funkcja wewnątrz wartości bezwzględnej zmienia znak!
Wykresy funkcji z wartością bezwzględną często mają charakterystyczne "załamania" w punktach, gdzie funkcja wewnątrz wartości bezwzględnej przyjmuje wartość zero.
3
of 3
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Przesunięcie
3MatematykaPrzesunięcia Wykresów Funkcji
Zrozum przesunięcia wykresów funkcji w górę, w dół, w lewo i w prawo. Dowiedz się, jak zmieniają się funkcje, takie jak y = f(x) + q oraz y = f(x - p). Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.
12,36926
MatematykaPrzesunięcia Wykresów Funkcji
Zrozumienie przesunięć wykresów funkcji w matematyce. Dowiedz się, jak przesuwać wykresy w poziomie i pionie oraz jak stosować symetrię względem osi. Kluczowe wzory i przykłady dla funkcji f(x) oraz g(x). Typ: Podsumowanie.
15,604200
MatematykaPrzesunięcia Wektorowe Funkcji
Zrozumienie przesunięć równoległych w geometrii i ich wpływu na wykresy funkcji. Ta notatka omawia translacje o wektorach, ich zastosowanie w przekształceniach geometrycznych oraz sposób, w jaki zmieniają one kształt i położenie funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
21,35920
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8604
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka768 wyświetleń·Zaktualizowano 24 lip 2026·3 stronyZmiany Wykresów Funkcji Matematycznych
Ania@an1a.st
Przekształcenia wykresów funkcji to kluczowy temat w matematyce, który pozwala zrozumieć, jak zmieniają się wykresy funkcji pod wpływem różnych operacji. Poznasz jak przesuwać wykresy, odbijać je względem osi oraz jak interpretować wartość bezwzględną funkcji.
1
of 3
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Wektory i przesunięcia wykresów funkcji
Wektor w układzie współrzędnych to uporządkowana para liczb. Jeśli mamy punkty A i B, to wektor AB ma współrzędne [xᵦ-xₐ, yᵦ-yₐ]. Długość wektora obliczamy ze wzoru √, a środek odcinka AB to punkt (⁽ˣᵃ⁺ˣᵇ⁾/₂, ⁽ʸᵃ⁺ʸᵇ⁾/₂).
Przesunięcie równoległe (translacja) o wektor u⃗ polega na przyporządkowaniu każdemu punktowi A takiego punktu A₁, że AA₁ = u⃗. Gdy przesuwamy punkt A o wektor u⃗(p,q), otrzymujemy punkt A₁.
Przy przesunięciu wykresu funkcji y=f wzdłuż osi OX o wektor (p,0) otrzymujemy wykres y=f. Natomiast przesunięcie o wektor (0,q) wzdłuż osi OY daje wykres y=f+q. Jeśli wykonujemy oba przesunięcia, otrzymamy y=f+q.
💡 Wskazówka: Gdy przesuwasz wykres w prawo o p jednostek, w funkcji pojawia się . Gdy przesuwasz w górę o q jednostek, dodajesz q do całej funkcji.
Symetria względem osi również zmienia wykres funkcji. Odbicie względem osi OX daje y=-f, odbicie względem osi OY to y=f, a symetria środkowa względem (0,0) to y=-f.
2
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Wykresy z wartością bezwzględną
Wartość bezwzględna liczby x to funkcja, która dla x≥0 daje x, a dla x<0 daje -x. Podobnie działa wartość bezwzględna funkcji: |f| daje f gdy f≥0 oraz -f gdy f<0.
Wykres funkcji y=|f| powstaje przez "odbicie" tych fragmentów wykresu funkcji f, które znajdują się poniżej osi OX, symetrycznie do części znajdującej się nad osią. Wynikiem jest funkcja, która nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.
Kiedy rysujemy wykres funkcji z wartością bezwzględną, możemy podzielić dziedzinę na przedziały, gdzie funkcja wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnia lub ujemna. W każdym przedziale stosujemy odpowiednią definicję.
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną, zawsze sprawdź, dla jakich argumentów funkcja wewnątrz wartości bezwzględnej zmienia znak!
Wykresy funkcji z wartością bezwzględną często mają charakterystyczne "załamania" w punktach, gdzie funkcja wewnątrz wartości bezwzględnej przyjmuje wartość zero.
3
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Przesunięcie
3MatematykaPrzesunięcia Wykresów Funkcji
Zrozum przesunięcia wykresów funkcji w górę, w dół, w lewo i w prawo. Dowiedz się, jak zmieniają się funkcje, takie jak y = f(x) + q oraz y = f(x - p). Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.
12,36926
MatematykaPrzesunięcia Wykresów Funkcji
Zrozumienie przesunięć wykresów funkcji w matematyce. Dowiedz się, jak przesuwać wykresy w poziomie i pionie oraz jak stosować symetrię względem osi. Kluczowe wzory i przykłady dla funkcji f(x) oraz g(x). Typ: Podsumowanie.
15,604200
MatematykaPrzesunięcia Wektorowe Funkcji
Zrozumienie przesunięć równoległych w geometrii i ich wpływu na wykresy funkcji. Ta notatka omawia translacje o wektorach, ich zastosowanie w przekształceniach geometrycznych oraz sposób, w jaki zmieniają one kształt i położenie funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
21,35920
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8604
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS