Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OY

Kiedy przesuwamy wykres funkcji y=f$x$ równolegle o wektor [0, q], otrzymujemy nowy wykres funkcji y=f$x$+q. Kierunek przesunięcia zależy od wartości q:

• Gdy q > 0, wykres przesuwa się w górę (zgodnie ze zwrotem osi OY)
• Gdy q < 0, wykres przesuwa się w dół (przeciwnie do zwrotu osi OY)

Zobaczmy to na przykładzie. Mamy funkcję f$x$=x, gdzie x ∈ $-∞, 1$. Przesuwając ją o wektor [0, 3], czyli o 3 jednostki w górę, rysujemy nowy wykres, który teraz reprezentuje funkcję g$x$=x+3 o tej samej dziedzinie.

Wskazówka: Kiedy przesuwasz wykres w górę, dodajesz wartość do wzoru funkcji. Kiedy przesuwasz w dół, odejmujesz wartość od wzoru funkcji.

Przykłady przesunięć w górę i w dół

W przykładzie z poprzedniej strony, przesunięcie funkcji f$x$=x o wektor [0, 3] dało nam funkcję g$x$=x+3, gdzie x ∈ $-∞, 1$. Na wykresie widać wyraźnie, że każdy punkt przesuwa się o 3 jednostki w górę.

Analogicznie, przesuwając tę samą funkcję f$x$=x o wektor $0, -2$, czyli 2 jednostki w dół, otrzymujemy funkcję g$x$=x-2, gdzie x ∈ $-∞, 1$. Wykres tej funkcji leży dokładnie 2 jednostki poniżej oryginalnego wykresu.

Zauważ, że dziedzina funkcji pozostaje niezmieniona przy przesunięciu pionowym - zmienia się tylko zbiór wartości funkcji.

Pamiętaj! Przesunięcie pionowe to najprostsza transformacja wykresu funkcji - każdy punkt po prostu "skacze" w górę lub w dół o tę samą wartość.

Przesunięcie równoległe w dwóch kierunkach

Jeśli przesuwamy wykres funkcji y=f$x$ o wektor [p, q], czyli zarówno w kierunku poziomym, jak i pionowym, otrzymujemy wykres funkcji y=f$x-p$+q. Przesunięcie poziome wpływa na argument funkcji, a pionowe na jej wartość.

Przykładowo, przesuwając funkcję f$x$=√x (gdzie x ∈ <0, +∞)) o wektor $-2, 3$, czyli o 2 jednostki w lewo i 3 jednostki w górę, otrzymujemy funkcję g$x$=√$x+2$+3, gdzie x ∈ <-2, +∞). Zauważ, że zmieniła się również dziedzina funkcji!

Kiedy przesuwamy tę samą funkcję o wektor $5, -4$, czyli 5 jednostek w prawo i 4 jednostki w dół, otrzymujemy g$x$=√$x-5$-4, gdzie x ∈ <5, +∞).

Uwaga: Przy przesunięciu poziomym w prawo (p > 0) odejmujemy p od argumentu funkcji, a przy przesunięciu w lewo (p < 0) dodajemy |p| do argumentu funkcji.

Podsumowanie przesunięć funkcji

Wykres funkcji f$x$=√x przesunięty o 5 jednostek w prawo oraz 4 jednostki w dół daje funkcję g$x$=√$x-5$-4, gdzie x ∈ <5, +∞). Zauważ, że dziedzina funkcji zmieniła się z <0, +∞) na <5, +∞).

Podsumowując zasady przesunięć równoległych:

• Przesunięcie pionowe o q jednostek: y = f$x$ + q
• Przesunięcie poziome o p jednostek: y = f$x-p$
• Przesunięcie o wektor [p, q]: y = f$x-p$ + q

Przesunięcia równoległe możesz wykorzystać do tworzenia nowych funkcji z podstawowych i rysowania ich wykresów bez konieczności wyznaczania wielu punktów.

Super trik: Kiedy rozwiązujesz zadania z przesunięciami, narysuj najpierw funkcję wyjściową, a potem zaznacz kilka charakterystycznych punktów i przesuń je o zadany wektor - otrzymasz szkic wykresu nowej funkcji!