Podstawy równań kwadratowych

Równania kwadratowe to fundamentalny temat w matematyce, szczególnie istotny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Strona przedstawia kluczowe informacje dotyczące rozwiązywania równań kwadratowych.

Definition: Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0.

Rozwiązywanie równań kwadratowych opiera się na analizie delty (Δ), która determinuje liczbę i charakter rozwiązań:

1. Gdy Δ < 0, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
2. Gdy Δ = 0, równanie ma jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny).
3. Gdy Δ > 0, równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Highlight: Delta (Δ) równania kwadratowego obliczana jest ze wzoru: Δ = b² - 4ac.

Wzory na rozwiązania równania kwadratowego:

• Dla Δ = 0: x = -b / (2a)
• Dla Δ > 0: x₁,₂ = (-b ± √Δ) / (2a)

Example: Dla równania x² + 6x + 9 = 0, delta wynosi Δ = 6² - 4·1·9 = 0, co oznacza jedno rozwiązanie x = -3.

Warto zauważyć, że rozwiązywanie równań kwadratowych jest ściśle powiązane z analizą funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej odpowiadają rozwiązaniom równania kwadratowego.

Vocabulary: Postać iloczynowa równania kwadratowego: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) dla Δ > 0 lub ax² + bx + c = a(x - x₀)² dla Δ = 0.

Znajomość tych podstawowych koncepcji i wzorów jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania zadań z równań kwadratowych oraz zrozumienia ich zastosowań w praktyce matematycznej i naukowej.