Otwórz aplikację

Przedmioty

Równania wykładnicze i logarytmiczne - Poziom rozszerzony, Przykłady i Zadania (PDF)

29

1

user profile picture

Gabriela

9.07.2025

Matematyka

Równania wykładnicze

2411

9 lip 2025

2 strony

Równania wykładnicze i logarytmiczne - Poziom rozszerzony, Przykłady i Zadania (PDF)

user profile picture

Gabriela

@grabusia

Równania wykładniczeto kluczowy temat w matematyce na poziomie rozszerzonym.... Pokaż więcej

13
Równania wykładnicze
@Grabusia
źródło: www.mathedu.pl
Matematyka
1.Czym jest równanie wykładnicze?
Równaniem wykładniczym nazywamy równan

Zaawansowane metody rozwiązywania równań wykładniczych

W przypadku bardziej skomplikowanych równań wykładniczych, stosuje się metodę podstawienia. Jest ona szczególnie przydatna, gdy nie można łatwo sprowadzić równania do postaci z potęgami o tej samej podstawie po obu stronach.

Przykład: Dla równania 4x+24^x + 2/2 = 4^x, stosujemy podstawienie t = 4^x, przy założeniu t > 0.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie t+2t + 2/2 = t, które można rozwiązać standardowymi metodami algebraicznymi. Po znalezieniu wartości t, wracamy do oryginalnego podstawienia, aby znaleźć wartość x.

Highlight: W równaniach wykładniczych o różnych podstawach można wykorzystać właściwości logarytmów do przekształcenia równania.

Na przykład, dla równania 3^x = 7, możemy zastosować logarytm o podstawie 3 do obu stron:

log_33x3^x = log_377 x = log_377

Ta metoda jest szczególnie przydatna w równaniach wykładniczych i logarytmicznych, gdzie bezpośrednie porównanie wykładników nie jest możliwe.

Vocabulary: Logarytm - odwrotność potęgowania, pozwalająca na przekształcenie równań wykładniczych.

Rozwiązywanie równań wykładniczych wymaga dobrego zrozumienia właściwości potęg i logarytmów oraz umiejętności manipulowania wyrażeniami algebraicznymi. Jest to kluczowa umiejętność w matematyce na poziomie rozszerzonym, często spotykana w zadaniach maturalnych i na olimpiadach matematycznych.

Highlight: Praktyka jest kluczowa w opanowaniu równań wykładniczych. Rozwiązywanie różnorodnych zadań pomoże w zrozumieniu różnych technik i ich zastosowań.

13
Równania wykładnicze
@Grabusia
źródło: www.mathedu.pl
Matematyka
1.Czym jest równanie wykładnicze?
Równaniem wykładniczym nazywamy równan

Definicja i metody rozwiązywania równań wykładniczych

Równania wykładnicze to specyficzny typ równań matematycznych, w których niewiadoma występuje wyłącznie w wykładniku potęgi. Przykładem takiego równania jest 2^x = 8 lub x^x-x = 3. Rozwiązywanie tych równań wymaga specjalnych metod i zrozumienia właściwości potęg.

Definicja: Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.

Istnieją dwie główne metody rozwiązywania równań wykładniczych:

  1. Metoda sprowadzania do wspólnej podstawy: Polega na przekształceniu równania tak, aby po obu stronach znaku równości znalazły się potęgi o tej samej podstawie. Następnie porównuje się wykładniki tych potęg.

Przykład: Dla równania 2^x = 8, przekształcamy prawą stronę do postaci 2^3, co daje 2^x = 2^3. Stąd x = 3.

  1. Metoda podstawienia: Stosowana w bardziej skomplikowanych przypadkach, gdzie nie można łatwo sprowadzić równania do wspólnej podstawy.

Highlight: Kluczowa zależność w rozwiązywaniu równań wykładniczych: a^fxx = b → fxx = log_a b

Ta zależność pozwala na przekształcenie równania wykładniczego w równanie logarytmiczne, co często ułatwia jego rozwiązanie.

Vocabulary: Wykładnik potęgi - liczba określająca, ile razy należy pomnożyć podstawę przez siebie samą.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

2411

9 lip 2025

2 strony

Równania wykładnicze i logarytmiczne - Poziom rozszerzony, Przykłady i Zadania (PDF)

user profile picture

Gabriela

@grabusia

Równania wykładnicze to kluczowy temat w matematyce na poziomie rozszerzonym. Zrozumienie ich jest niezbędne do rozwiązywania zaawansowanych problemów matematycznych. Główne metody rozwiązywania to sprowadzanie do wspólnej podstawy i metoda podstawienia. Ważne jest również zrozumienie związku między równaniami wykładniczymi a logarytmami.... Pokaż więcej

13
Równania wykładnicze
@Grabusia
źródło: www.mathedu.pl
Matematyka
1.Czym jest równanie wykładnicze?
Równaniem wykładniczym nazywamy równan

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane metody rozwiązywania równań wykładniczych

W przypadku bardziej skomplikowanych równań wykładniczych, stosuje się metodę podstawienia. Jest ona szczególnie przydatna, gdy nie można łatwo sprowadzić równania do postaci z potęgami o tej samej podstawie po obu stronach.

Przykład: Dla równania 4x+24^x + 2/2 = 4^x, stosujemy podstawienie t = 4^x, przy założeniu t > 0.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie t+2t + 2/2 = t, które można rozwiązać standardowymi metodami algebraicznymi. Po znalezieniu wartości t, wracamy do oryginalnego podstawienia, aby znaleźć wartość x.

Highlight: W równaniach wykładniczych o różnych podstawach można wykorzystać właściwości logarytmów do przekształcenia równania.

Na przykład, dla równania 3^x = 7, możemy zastosować logarytm o podstawie 3 do obu stron:

log_33x3^x = log_377 x = log_377

Ta metoda jest szczególnie przydatna w równaniach wykładniczych i logarytmicznych, gdzie bezpośrednie porównanie wykładników nie jest możliwe.

Vocabulary: Logarytm - odwrotność potęgowania, pozwalająca na przekształcenie równań wykładniczych.

Rozwiązywanie równań wykładniczych wymaga dobrego zrozumienia właściwości potęg i logarytmów oraz umiejętności manipulowania wyrażeniami algebraicznymi. Jest to kluczowa umiejętność w matematyce na poziomie rozszerzonym, często spotykana w zadaniach maturalnych i na olimpiadach matematycznych.

Highlight: Praktyka jest kluczowa w opanowaniu równań wykładniczych. Rozwiązywanie różnorodnych zadań pomoże w zrozumieniu różnych technik i ich zastosowań.

13
Równania wykładnicze
@Grabusia
źródło: www.mathedu.pl
Matematyka
1.Czym jest równanie wykładnicze?
Równaniem wykładniczym nazywamy równan

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i metody rozwiązywania równań wykładniczych

Równania wykładnicze to specyficzny typ równań matematycznych, w których niewiadoma występuje wyłącznie w wykładniku potęgi. Przykładem takiego równania jest 2^x = 8 lub x^x-x = 3. Rozwiązywanie tych równań wymaga specjalnych metod i zrozumienia właściwości potęg.

Definicja: Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.

Istnieją dwie główne metody rozwiązywania równań wykładniczych:

  1. Metoda sprowadzania do wspólnej podstawy: Polega na przekształceniu równania tak, aby po obu stronach znaku równości znalazły się potęgi o tej samej podstawie. Następnie porównuje się wykładniki tych potęg.

Przykład: Dla równania 2^x = 8, przekształcamy prawą stronę do postaci 2^3, co daje 2^x = 2^3. Stąd x = 3.

  1. Metoda podstawienia: Stosowana w bardziej skomplikowanych przypadkach, gdzie nie można łatwo sprowadzić równania do wspólnej podstawy.

Highlight: Kluczowa zależność w rozwiązywaniu równań wykładniczych: a^fxx = b → fxx = log_a b

Ta zależność pozwala na przekształcenie równania wykładniczego w równanie logarytmiczne, co często ułatwia jego rozwiązanie.

Vocabulary: Wykładnik potęgi - liczba określająca, ile razy należy pomnożyć podstawę przez siebie samą.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS