Równania wykładnicze i logarytmiczne - Poziom rozszerzony, Przykłady i Zadania (PDF)

Gabriela

9.07.2025

Matematyka

Równania wykładnicze

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Układy równań

2411

•

9 lip 2025

•

2 strony

Równania wykładnicze i logarytmiczne - Poziom rozszerzony, Przykłady i Zadania (PDF)

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Gabriela

@grabusia

Równania wykładniczeto kluczowy temat w matematyce na poziomie rozszerzonym.... Pokaż więcej

Zaawansowane metody rozwiązywania równań wykładniczych

W przypadku bardziej skomplikowanych równań wykładniczych, stosuje się metodę podstawienia. Jest ona szczególnie przydatna, gdy nie można łatwo sprowadzić równania do postaci z potęgami o tej samej podstawie po obu stronach.

Przykład: Dla równania $4^x + 2$ /2 = 4^x, stosujemy podstawienie t = 4^x, przy założeniu t > 0.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie $t + 2$ /2 = t, które można rozwiązać standardowymi metodami algebraicznymi. Po znalezieniu wartości t, wracamy do oryginalnego podstawienia, aby znaleźć wartość x.

Highlight: W równaniach wykładniczych o różnych podstawach można wykorzystać właściwości logarytmów do przekształcenia równania.

Na przykład, dla równania 3^x = 7, możemy zastosować logarytm o podstawie 3 do obu stron:

log_3 $3^x$ = log_3 $7$ x = log_3 $7$

Ta metoda jest szczególnie przydatna w równaniach wykładniczych i logarytmicznych, gdzie bezpośrednie porównanie wykładników nie jest możliwe.

Vocabulary: Logarytm - odwrotność potęgowania, pozwalająca na przekształcenie równań wykładniczych.

Rozwiązywanie równań wykładniczych wymaga dobrego zrozumienia właściwości potęg i logarytmów oraz umiejętności manipulowania wyrażeniami algebraicznymi. Jest to kluczowa umiejętność w matematyce na poziomie rozszerzonym, często spotykana w zadaniach maturalnych i na olimpiadach matematycznych.

Highlight: Praktyka jest kluczowa w opanowaniu równań wykładniczych. Rozwiązywanie różnorodnych zadań pomoże w zrozumieniu różnych technik i ich zastosowań.

Definicja i metody rozwiązywania równań wykładniczych

Równania wykładnicze to specyficzny typ równań matematycznych, w których niewiadoma występuje wyłącznie w wykładniku potęgi. Przykładem takiego równania jest 2^x = 8 lub x^ $-x$ = 3. Rozwiązywanie tych równań wymaga specjalnych metod i zrozumienia właściwości potęg.

Definicja: Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.

Istnieją dwie główne metody rozwiązywania równań wykładniczych:

Metoda sprowadzania do wspólnej podstawy: Polega na przekształceniu równania tak, aby po obu stronach znaku równości znalazły się potęgi o tej samej podstawie. Następnie porównuje się wykładniki tych potęg.

Przykład: Dla równania 2^x = 8, przekształcamy prawą stronę do postaci 2^3, co daje 2^x = 2^3. Stąd x = 3.

Metoda podstawienia: Stosowana w bardziej skomplikowanych przypadkach, gdzie nie można łatwo sprowadzić równania do wspólnej podstawy.

Highlight: Kluczowa zależność w rozwiązywaniu równań wykładniczych: a^f $x$ = b → f $x$ = log_a b

Ta zależność pozwala na przekształcenie równania wykładniczego w równanie logarytmiczne, co często ułatwia jego rozwiązanie.

Vocabulary: Wykładnik potęgi - liczba określająca, ile razy należy pomnożyć podstawę przez siebie samą.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Wyrażenia algebraiczne i równania

4229

Próbny egzamin ósmoklasisty Matematyka

2364

Wymagania na e8 matematyka

7972

102

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Układy równań

Matematyka

•

2411

•

9 lip 2025

•

2 strony

Równania wykładnicze i logarytmiczne - Poziom rozszerzony, Przykłady i Zadania (PDF)

Gabriela

@grabusia

Równania wykładnicze to kluczowy temat w matematyce na poziomie rozszerzonym. Zrozumienie ich jest niezbędne do rozwiązywania zaawansowanych problemów matematycznych. Główne metody rozwiązywania to sprowadzanie do wspólnej podstawy i metoda podstawienia. Ważne jest również zrozumienie związku między równaniami wykładniczymi a logarytmami.... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane metody rozwiązywania równań wykładniczych

Przykład: Dla równania $4^x + 2$ /2 = 4^x, stosujemy podstawienie t = 4^x, przy założeniu t > 0.

Highlight: W równaniach wykładniczych o różnych podstawach można wykorzystać właściwości logarytmów do przekształcenia równania.

Na przykład, dla równania 3^x = 7, możemy zastosować logarytm o podstawie 3 do obu stron:

log_3 $3^x$ = log_3 $7$ x = log_3 $7$

Ta metoda jest szczególnie przydatna w równaniach wykładniczych i logarytmicznych, gdzie bezpośrednie porównanie wykładników nie jest możliwe.

Vocabulary: Logarytm - odwrotność potęgowania, pozwalająca na przekształcenie równań wykładniczych.

Highlight: Praktyka jest kluczowa w opanowaniu równań wykładniczych. Rozwiązywanie różnorodnych zadań pomoże w zrozumieniu różnych technik i ich zastosowań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i metody rozwiązywania równań wykładniczych

Definicja: Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.

Istnieją dwie główne metody rozwiązywania równań wykładniczych:

Metoda sprowadzania do wspólnej podstawy: Polega na przekształceniu równania tak, aby po obu stronach znaku równości znalazły się potęgi o tej samej podstawie. Następnie porównuje się wykładniki tych potęg.

Przykład: Dla równania 2^x = 8, przekształcamy prawą stronę do postaci 2^3, co daje 2^x = 2^3. Stąd x = 3.

Metoda podstawienia: Stosowana w bardziej skomplikowanych przypadkach, gdzie nie można łatwo sprowadzić równania do wspólnej podstawy.

Highlight: Kluczowa zależność w rozwiązywaniu równań wykładniczych: a^f $x$ = b → f $x$ = log_a b

Ta zależność pozwala na przekształcenie równania wykładniczego w równanie logarytmiczne, co często ułatwia jego rozwiązanie.

Vocabulary: Wykładnik potęgi - liczba określająca, ile razy należy pomnożyć podstawę przez siebie samą.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Wyrażenia algebraiczne i równania

4229

Próbny egzamin ósmoklasisty Matematyka

2364

Wymagania na e8 matematyka

7972

102

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS