Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwległego jest stały w całym trójkącie:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie. To twierdzenie świetnie działa, gdy znamy kąty i chcemy obliczyć boki.

Spróbujmy rozwiązać trójkąt, gdzie α=45°, β=60°, c=6. Najpierw obliczamy γ=75° (bo suma kątów to 180°). Następnie stosujemy twierdzenie sinusów:

$$\frac{a}{\sin45°} = \frac{6}{\sin75°} \quad \text{oraz} \quad \frac{b}{\sin60°} = \frac{6}{\sin75°}$$

Po obliczeniach otrzymujemy a≈4,39 oraz b≈5,38.

⚠️ Ważna wskazówka: Pamiętaj, że twierdzenie sinusów jest szczególnie przydatne, gdy znamy dwa kąty i jeden bok lub dwa boki i jeden kąt (nieleżący między nimi).

Twierdzenie cosinusów jest równie pomocne i mówi, że:

$$a² = b² + c² - 2bc\cos\alpha$$ $$b² = a² + c² - 2ac\cos\beta$$ $$c² = a² + b² - 2ab\cos\gamma$$

Możemy je wykorzystać do sprawdzenia, czy trójkąt jest prostokątny. Na przykład dla trójkąta o bokach a=25, b=7, c=24, sprawdzamy kąt α i otrzymujemy cosα=0, czyli α=90°, co oznacza, że mamy trójkąt prostokątny!

Z tymi dwoma twierdzeniami możesz rozwiązać praktycznie każdy trójkąt. Stosuj twierdzenie sinusów, gdy masz kąty i jeden bok, a twierdzenie cosinusów, gdy znasz trzy boki lub dwa boki i kąt między nimi.