Podstawowe Własności Liczb Naturalnych

Dzielniki i cechy podzielności

Każda liczba ma swoje dzielniki - to liczby, przez które możemy ją podzielić bez reszty. Na przykład dzielniki liczby 36 to: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36.

Możemy łatwo sprawdzić podzielność liczb przez proste reguły:

• Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8. Przykłady: 4, 10, 12, 36.
• Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0 lub 5. Przykłady: 5, 10, 15, 35, 80.
• Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnia cyfra to 0. Przykłady: 10, 20, 30, 40.

Liczby podzielne przez 100 muszą mieć na końcu dwie cyfry 00, jak 100, 200, 300 itd.

Ciekawostka: Kiedy wiesz cechy podzielności, możesz błyskawicznie sprawdzić, czy duża liczba, np. 3580, jest podzielna przez 2 (tak, bo kończy się na 0) lub przez 5 (tak, bo kończy się na 0).

Liczby pierwsze i złożone

Liczby pierwsze mają dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Przykłady liczb pierwszych to 2, 5, 7, 11, 13. Są one jak matematyczne klocki, z których budujemy inne liczby!

Liczby złożone to te, które mają więcej niż dwa dzielniki. Przykłady liczb złożonych to 4, 6, 8, 9, 10, 12. Każdą z nich możemy rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.

Ciekawe jest to, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone - to wyjątki w świecie liczb.

Dodatkowe cechy podzielności:

• Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3
• Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9
• Liczba jest podzielna przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4

Sztuczka matematyczna: Aby sprawdzić podzielność przez 3, po prostu dodaj wszystkie cyfry liczby. Na przykład dla liczby 123: 1+2+3=6, a 6 jest podzielne przez 3, więc 123 też jest podzielne przez 3!

Rozkład na czynniki i NWD/NWW

Każdą liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. To jak rozbieranie klocków na najmniejsze części! Na przykład:

• 6 = 2 · 3
• 8 = 2 · 2 · 2 = 2³
• 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3

NWD (największy wspólny dzielnik) to największa liczba, która dzieli dwie liczby bez reszty. Można go znaleźć rozkładając liczby na czynniki pierwsze. Na przykład NWD(126,72) = 6.

NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością obu liczb. Przykładowo, wielokrotności 12 to: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, a wielokrotności 14 to: 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84. Zatem NWW(12,14) = 84.

Pamiętaj: NWD i NWW są ze sobą powiązane! Jeśli znasz NWD dwóch liczb i ich iloczyn, możesz obliczyć NWW ze wzoru: NWW = (a·b) ÷ NWD(a,b).