Wielomiany - Kompletny Przewodnik do Matury

Oliwia

29.11.2025

Matematyka

Wielomiany

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Stopień wielomianu

4651

•

29 lis 2025

•

1 strona

Wielomiany - Kompletny Przewodnik do Matury

Oliwia

@olivka17

Wielomiany to podstawowe struktury algebraiczne, które spotykasz niemal na każdym... Pokaż więcej

Wielomiany
3₁
n-1
^) H(x) = anx^ + an-₁ X²
an 0 neN
+
+ a₁x + ao
2) Funkcję stało, W rówing O nazymamy wielomianem zeronym (N=O) i jego stop

Wielomiany - podstawy i twierdzenia

Wielomian stopnia n zapisujemy jako $H(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ , gdzie $a_n \neq 0$ . W tym zapisie $a_n, a_{n-1},..., a_1, a_0$ to współczynniki wielomianu, a $a_0$ to wyraz wolny. Jeśli funkcja jest stale równa zero, nazywamy ją wielomianem zerowym i nie określamy jego stopnia.

Kiedy wielomian dla pewnej wartości x = a przyjmuje wartość 0, czyli H(a) = 0, mówimy, że a jest pierwiastkiem wielomianu. Zgodnie z twierdzeniem Bezout, liczba a jest pierwiastkiem wielomianu H wtedy i tylko wtedy, gdy H jest podzielny przez dwumian x-a. To bardzo przydatne przy rozkładaniu wielomianów na czynniki!

Ważne jest też twierdzenie o rozkładzie wielomianu: dla dowolnych wielomianów H i Q (gdzie Q ≠ 0) istnieją wielomiany P i R takie, że $H(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$ , gdzie stopień R jest mniejszy od stopnia Q. Z kolei twierdzenie o reszcie mówi, że jeśli dzielimy H przez x-a, to reszta R = H(a).

💡 Wskazówka praktyczna: Szukając pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych, sprawdzaj tylko dzielniki wyrazu wolnego $a_0$ - to znacznie ogranicza liczbę wartości do sprawdzenia!

Przy szukaniu pierwiastków wymiernych postaci $\frac{p}{q}$ (gdzie p i q są względnie pierwsze) wielomianu o współczynnikach całkowitych, p musi być dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$ , a q dzielnikiem współczynnika $a_n$ . Mówimy o pierwiastku k-krotnym, jeśli w rozkładzie wielomianu na czynniki występuje $(x-a)^k$ , ale nie występuje $(x-a)^{k+1}$ .

Warto pamiętać też o wyrażeniach wymiernych - to ułamki postaci $\frac{V(x)}{H(x)}$ , gdzie V i H są wielomianami, a H(x) ≠ 0.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

stopień i współczynniki wielomianu

1132

pierwiastki n-tego stopnia

492

wielomiany

571

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Stopień wielomianu

Matematyka

•

4651

•

29 lis 2025

•

1 strona

Wielomiany - Kompletny Przewodnik do Matury

Oliwia

@olivka17

Wielomiany to podstawowe struktury algebraiczne, które spotykasz niemal na każdym kroku w matematyce. To wyrażenia składające się z sumy wyrazów, gdzie każdy zawiera zmienną podniesioną do potęgi naturalnej. Zrozumienie ich właściwości jest kluczowe dla dalszej nauki matematyki.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wielomiany - podstawy i twierdzenia

💡 Wskazówka praktyczna: Szukając pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych, sprawdzaj tylko dzielniki wyrazu wolnego $a_0$ - to znacznie ogranicza liczbę wartości do sprawdzenia!

Warto pamiętać też o wyrażeniach wymiernych - to ułamki postaci $\frac{V(x)}{H(x)}$ , gdzie V i H są wielomianami, a H(x) ≠ 0.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Wielomiany: Stopień i Współczynniki

Zrozumienie stopnia i współczynników wielomianów. Praktyczne zadania i przykłady, które pomogą w wyznaczaniu tych elementów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Pierwiastki N-tego Stopnia

Zrozumienie pierwiastków n-tego stopnia: definicje, wzory i przykłady obliczeń. Dowiedz się, jak stosować działania na pierwiastkach oraz różnice między stopniami parzystymi i nieparzystymi. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wielomiany i ich Właściwości

Zrozumienie wielomianów stopnia n oraz jednomianów. Dowiedz się, jak zapisać wyrażenia matematyczne w postaci a.x^n, poznaj wspóczynniki i zasady dotyczące wielomianów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Operacje na Wielomianach

Zrozum, jak dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany. Poznaj wzory skróconego mnożenia oraz ich zastosowanie w obliczeniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wielomiany i ich właściwości

Zrozumienie wielomianów: definicje, pierwiastki, równość i stopień. Dowiedz się, jak identyfikować różne typy wielomianów oraz ich kluczowe cechy. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: podsumowanie.

Matematyka

Analiza Funkcji Wymiernej

Zrozumienie funkcji wymiernej: wyznaczanie dziedziny, przykłady oraz obliczenia. Obejmuje szczegółowe zadania dotyczące funkcji wymiernych oraz ich właściwości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

stopień i współczynniki wielomianu

1132

pierwiastki n-tego stopnia

492

wielomiany

571

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS