Wielomiany - podstawy i twierdzenia

Wielomian stopnia n zapisujemy jako $H(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$, gdzie $a_n \neq 0$. W tym zapisie $a_n, a_{n-1},..., a_1, a_0$ to współczynniki wielomianu, a $a_0$ to wyraz wolny. Jeśli funkcja jest stale równa zero, nazywamy ją wielomianem zerowym i nie określamy jego stopnia.

Kiedy wielomian dla pewnej wartości x = a przyjmuje wartość 0, czyli H(a) = 0, mówimy, że a jest pierwiastkiem wielomianu. Zgodnie z twierdzeniem Bezout, liczba a jest pierwiastkiem wielomianu H wtedy i tylko wtedy, gdy H jest podzielny przez dwumian x-a. To bardzo przydatne przy rozkładaniu wielomianów na czynniki!

Ważne jest też twierdzenie o rozkładzie wielomianu: dla dowolnych wielomianów H i Q (gdzie Q ≠ 0) istnieją wielomiany P i R takie, że $H(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$, gdzie stopień R jest mniejszy od stopnia Q. Z kolei twierdzenie o reszcie mówi, że jeśli dzielimy H przez x-a, to reszta R = H(a).

💡 Wskazówka praktyczna: Szukając pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych, sprawdzaj tylko dzielniki wyrazu wolnego $a_0$ - to znacznie ogranicza liczbę wartości do sprawdzenia!

Przy szukaniu pierwiastków wymiernych postaci $\frac{p}{q}$ (gdzie p i q są względnie pierwsze) wielomianu o współczynnikach całkowitych, p musi być dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$, a q dzielnikiem współczynnika $a_n$. Mówimy o pierwiastku k-krotnym, jeśli w rozkładzie wielomianu na czynniki występuje $(x-a)^k$, ale nie występuje $(x-a)^{k+1}$.

Warto pamiętać też o wyrażeniach wymiernych - to ułamki postaci $\frac{V(x)}{H(x)}$, gdzie V i H są wielomianami, a H(x) ≠ 0.