Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

Zobacz

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!
user profile picture

Martyna Kramer

@martynakramer

·

787 Obserwujących

Obserwuj

Wielomiany i równania wielomianowe z parametrem to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie szkoły średniej. Poniżej znajduje się podsumowanie najważniejszych informacji na ten temat:

  • Rozwiązywanie równań wielomianowych z parametrem wymaga analizy różnych przypadków w zależności od wartości parametru.
  • Kluczowe jest wyznaczanie pierwiastków wielomianu i ich krotności, co pozwala określić zachowanie funkcji wielomianowej.
  • Ważną umiejętnością jest rozwiązywanie zadań z nierównościami wielomianowymi, które często wymagają analizy znaku wielomianu.

Główne zagadnienia obejmują:

  • Metody rozwiązywania równań wielomianowych z parametrem
  • Analiza liczby i rodzaju rozwiązań w zależności od parametru
  • Badanie własności funkcji wielomianowych
  • Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
  • Interpretacja geometryczna rozwiązań

28.03.2022

677

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 5: Solving Complex Polynomial Inequalities

This page covers more advanced techniques for solving polynomial inequalities:

  • Factoring higher-degree polynomials to solve inequalities
  • Handling inequalities with multiple factors
  • Techniques for simplifying and solving rational inequalities

Example: Solve the inequality 3x(x²-3x+2) < 0 by factoring and analyzing each term.

Highlight: When solving nierówności wielomianowe zadania, it's important to consider the behavior of the function at infinity and between each root.

Vocabulary: Nierówności wymierne refers to rational inequalities, which involve fractions of polynomials.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 6: Practice Problems and Advanced Applications

This final page provides practice problems and explores advanced applications of polynomial equations and inequalities:

  • Solving systems of polynomial inequalities
  • Applying polynomial inequalities to real-world problems
  • Techniques for handling absolute value inequalities involving polynomials

Example: Solve the inequality |x³ - 2x² + x| > 3x².

Highlight: Mastering wielomiany zadania z rozwiązaniami (polynomial problems with solutions) requires practice with a variety of problem types.

Vocabulary: Funkcje wielomianowe (polynomial functions) form the basis for understanding and solving polynomial inequalities.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 1: Introduction to Polynomial Equations with Parameters

This page introduces solving polynomial equations containing parameters. Key points include:

  • Equations may have different numbers of solutions depending on parameter values
  • Finding critical parameter values that change the number of solutions is important
  • Factoring and using the quadratic formula are essential techniques

Example: For the equation (10x + 10)(x² + (m+2)x + (m-1)²) = 0, the parameter m determines how many solutions exist.

Highlight: Analyzing the discriminant Δ = (m+2)² - 4(m-1)² < 0 helps determine the range of m for which the equation has only one solution.

Vocabulary: Wielomiany z parametrem refers to polynomial equations containing parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 2: Advanced Techniques for Polynomial Equations with Parameters

This page covers more complex polynomial equations with parameters:

  • Equations may have multiple parameters affecting the number and nature of solutions
  • Graphical interpretations can help visualize how parameters influence solutions
  • Solving systems of equations may be necessary to find parameter values

Example: For f(x) = (3x-9)(x² - 2(2k+1)x + (k+2)²), finding values of k that result in exactly two roots requires solving k² = 1.

Definition: A pierwiastek wielomianu (root of a polynomial) is a value of x that makes the polynomial equal to zero.

Highlight: The technique of equating coefficients is often useful when solving equations with multiple parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 4: Introduction to Polynomial Inequalities

This page introduces the concept of polynomial inequalities and methods for solving them:

  • Techniques for finding roots of polynomials and determining their multiplicities
  • Graphing polynomial functions and inequalities on a number line
  • Rules for determining the sign of a polynomial between its roots

Definition: A nierówność wielomianowa (polynomial inequality) is an inequality involving a polynomial expression.

Example: For (4+x)(3x+1)(2x-3) > 0, find the roots and determine the intervals where the inequality is satisfied.

Highlight: The "wavy line" method is a useful graphical technique for solving nierówności wielomianowe.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 3: Analyzing Polynomial Equations with Multiple Parameters

This page delves deeper into solving complex polynomial equations with multiple parameters:

  • Techniques for handling equations with two or more parameters are explored
  • The relationship between parameters and the number of distinct roots is examined
  • Methods for finding specific parameter values to achieve desired solution properties are discussed

Example: For the equation x² - (m-3)x² - m² = 0 to have 4 different roots, the parameter m must satisfy m² + 2m - 3 = 0.

Highlight: When dealing with wielomiany z parametrem, it's crucial to consider all possible cases and constraints on the parameters.

Vocabulary: Równania z parametrem zadania refers to problems involving equations with parameters.

Podobne notatki

Know Wielomiany, działania na wielomianach thumbnail

45

2126

1/2

Wielomiany, działania na wielomianach

Wielomiany

Know wielomiany thumbnail

186

5491

1/3

wielomiany

wielomiany

Know Twierdzenie Bèzouta thumbnail

10

337

1/2

Twierdzenie Bèzouta

twierdzenie Bézouta, twierdzenie twierdzenie reszcie , przykłady zadań źródło-matematyka 2 Nowa Era

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

34

1596

1/2

Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

30

1355

1/2

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

Know Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku thumbnail

31

1417

1/2

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

user profile picture

Martyna Kramer

@martynakramer

·

787 Obserwujących

Obserwuj

Wielomiany i równania wielomianowe z parametrem to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie szkoły średniej. Poniżej znajduje się podsumowanie najważniejszych informacji na ten temat:

  • Rozwiązywanie równań wielomianowych z parametrem wymaga analizy różnych przypadków w zależności od wartości parametru.
  • Kluczowe jest wyznaczanie pierwiastków wielomianu i ich krotności, co pozwala określić zachowanie funkcji wielomianowej.
  • Ważną umiejętnością jest rozwiązywanie zadań z nierównościami wielomianowymi, które często wymagają analizy znaku wielomianu.

Główne zagadnienia obejmują:

  • Metody rozwiązywania równań wielomianowych z parametrem
  • Analiza liczby i rodzaju rozwiązań w zależności od parametru
  • Badanie własności funkcji wielomianowych
  • Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
  • Interpretacja geometryczna rozwiązań

28.03.2022

677

 

1/2

 

Matematyka

20

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 5: Solving Complex Polynomial Inequalities

This page covers more advanced techniques for solving polynomial inequalities:

  • Factoring higher-degree polynomials to solve inequalities
  • Handling inequalities with multiple factors
  • Techniques for simplifying and solving rational inequalities

Example: Solve the inequality 3x(x²-3x+2) < 0 by factoring and analyzing each term.

Highlight: When solving nierówności wielomianowe zadania, it's important to consider the behavior of the function at infinity and between each root.

Vocabulary: Nierówności wymierne refers to rational inequalities, which involve fractions of polynomials.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 6: Practice Problems and Advanced Applications

This final page provides practice problems and explores advanced applications of polynomial equations and inequalities:

  • Solving systems of polynomial inequalities
  • Applying polynomial inequalities to real-world problems
  • Techniques for handling absolute value inequalities involving polynomials

Example: Solve the inequality |x³ - 2x² + x| > 3x².

Highlight: Mastering wielomiany zadania z rozwiązaniami (polynomial problems with solutions) requires practice with a variety of problem types.

Vocabulary: Funkcje wielomianowe (polynomial functions) form the basis for understanding and solving polynomial inequalities.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Introduction to Polynomial Equations with Parameters

This page introduces solving polynomial equations containing parameters. Key points include:

  • Equations may have different numbers of solutions depending on parameter values
  • Finding critical parameter values that change the number of solutions is important
  • Factoring and using the quadratic formula are essential techniques

Example: For the equation (10x + 10)(x² + (m+2)x + (m-1)²) = 0, the parameter m determines how many solutions exist.

Highlight: Analyzing the discriminant Δ = (m+2)² - 4(m-1)² < 0 helps determine the range of m for which the equation has only one solution.

Vocabulary: Wielomiany z parametrem refers to polynomial equations containing parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Advanced Techniques for Polynomial Equations with Parameters

This page covers more complex polynomial equations with parameters:

  • Equations may have multiple parameters affecting the number and nature of solutions
  • Graphical interpretations can help visualize how parameters influence solutions
  • Solving systems of equations may be necessary to find parameter values

Example: For f(x) = (3x-9)(x² - 2(2k+1)x + (k+2)²), finding values of k that result in exactly two roots requires solving k² = 1.

Definition: A pierwiastek wielomianu (root of a polynomial) is a value of x that makes the polynomial equal to zero.

Highlight: The technique of equating coefficients is often useful when solving equations with multiple parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Introduction to Polynomial Inequalities

This page introduces the concept of polynomial inequalities and methods for solving them:

  • Techniques for finding roots of polynomials and determining their multiplicities
  • Graphing polynomial functions and inequalities on a number line
  • Rules for determining the sign of a polynomial between its roots

Definition: A nierówność wielomianowa (polynomial inequality) is an inequality involving a polynomial expression.

Example: For (4+x)(3x+1)(2x-3) > 0, find the roots and determine the intervals where the inequality is satisfied.

Highlight: The "wavy line" method is a useful graphical technique for solving nierówności wielomianowe.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Analyzing Polynomial Equations with Multiple Parameters

This page delves deeper into solving complex polynomial equations with multiple parameters:

  • Techniques for handling equations with two or more parameters are explored
  • The relationship between parameters and the number of distinct roots is examined
  • Methods for finding specific parameter values to achieve desired solution properties are discussed

Example: For the equation x² - (m-3)x² - m² = 0 to have 4 different roots, the parameter m must satisfy m² + 2m - 3 = 0.

Highlight: When dealing with wielomiany z parametrem, it's crucial to consider all possible cases and constraints on the parameters.

Vocabulary: Równania z parametrem zadania refers to problems involving equations with parameters.

Podobne notatki

Matematyka - Wielomiany, działania na wielomianach

Wielomiany

45

2126

0

Know Wielomiany, działania na wielomianach thumbnail

Matematyka - wielomiany

wielomiany

186

5491

2

Know wielomiany thumbnail

Matematyka - Twierdzenie Bèzouta

twierdzenie Bézouta, twierdzenie twierdzenie reszcie , przykłady zadań źródło-matematyka 2 Nowa Era

10

337

0

Know Twierdzenie Bèzouta thumbnail

Matematyka - Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

34

1596

0

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

Matematyka - mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

30

1355

0

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

Matematyka - Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

31

1417

0

Know Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.