Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

Otwórz

21

0

user profile picture

Martyna Kramer

28.03.2022

Matematyka

Wielomiany Rozszerzenie z parametrem

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

Wielomiany i równania wielomianowe z parametrem to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie szkoły średniej. Poniżej znajduje się podsumowanie najważniejszych informacji na ten temat:

  • Rozwiązywanie równań wielomianowych z parametrem wymaga analizy różnych przypadków w zależności od wartości parametru.
  • Kluczowe jest wyznaczanie pierwiastków wielomianu i ich krotności, co pozwala określić zachowanie funkcji wielomianowej.
  • Ważną umiejętnością jest rozwiązywanie zadań z nierównościami wielomianowymi, które często wymagają analizy znaku wielomianu.

Główne zagadnienia obejmują:

  • Metody rozwiązywania równań wielomianowych z parametrem
  • Analiza liczby i rodzaju rozwiązań w zależności od parametru
  • Badanie własności funkcji wielomianowych
  • Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
  • Interpretacja geometryczna rozwiązań
...

28.03.2022

857

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 2: Advanced Techniques for Polynomial Equations with Parameters

This page covers more complex polynomial equations with parameters:

  • Equations may have multiple parameters affecting the number and nature of solutions
  • Graphical interpretations can help visualize how parameters influence solutions
  • Solving systems of equations may be necessary to find parameter values

Example: For fxx = 3x−93x-9x2−2(2k+1x² - 2(2k+1x + k+2k+2²), finding values of k that result in exactly two roots requires solving k² = 1.

Definition: A pierwiastek wielomianu rootofapolynomialroot of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to zero.

Highlight: The technique of equating coefficients is often useful when solving equations with multiple parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 3: Analyzing Polynomial Equations with Multiple Parameters

This page delves deeper into solving complex polynomial equations with multiple parameters:

  • Techniques for handling equations with two or more parameters are explored
  • The relationship between parameters and the number of distinct roots is examined
  • Methods for finding specific parameter values to achieve desired solution properties are discussed

Example: For the equation x² - m−3m-3x² - m² = 0 to have 4 different roots, the parameter m must satisfy m² + 2m - 3 = 0.

Highlight: When dealing with wielomiany z parametrem, it's crucial to consider all possible cases and constraints on the parameters.

Vocabulary: Równania z parametrem zadania refers to problems involving equations with parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 4: Introduction to Polynomial Inequalities

This page introduces the concept of polynomial inequalities and methods for solving them:

  • Techniques for finding roots of polynomials and determining their multiplicities
  • Graphing polynomial functions and inequalities on a number line
  • Rules for determining the sign of a polynomial between its roots

Definition: A nierówność wielomianowa polynomialinequalitypolynomial inequality is an inequality involving a polynomial expression.

Example: For 4+x4+x3x+13x+12x−32x-3 > 0, find the roots and determine the intervals where the inequality is satisfied.

Highlight: The "wavy line" method is a useful graphical technique for solving nierówności wielomianowe.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 5: Solving Complex Polynomial Inequalities

This page covers more advanced techniques for solving polynomial inequalities:

  • Factoring higher-degree polynomials to solve inequalities
  • Handling inequalities with multiple factors
  • Techniques for simplifying and solving rational inequalities

Example: Solve the inequality 3xx2−3x+2x²-3x+2 < 0 by factoring and analyzing each term.

Highlight: When solving nierówności wielomianowe zadania, it's important to consider the behavior of the function at infinity and between each root.

Vocabulary: Nierówności wymierne refers to rational inequalities, which involve fractions of polynomials.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zobacz

Page 6: Practice Problems and Advanced Applications

This final page provides practice problems and explores advanced applications of polynomial equations and inequalities:

  • Solving systems of polynomial inequalities
  • Applying polynomial inequalities to real-world problems
  • Techniques for handling absolute value inequalities involving polynomials

Example: Solve the inequality |x³ - 2x² + x| > 3x².

Highlight: Mastering wielomiany zadania z rozwiązaniami polynomialproblemswithsolutionspolynomial problems with solutions requires practice with a variety of problem types.

Vocabulary: Funkcje wielomianowe polynomialfunctionspolynomial functions form the basis for understanding and solving polynomial inequalities.

Podobne notatki

Know Pochodna funkcji thumbnail

5

656

3

Pochodna funkcji

Pochodna funkcji

Know wielomiany thumbnail

191

6408

1/3

wielomiany

wielomiany

Know Wielomiany thumbnail

16

3453

4/3

Wielomiany

Notatka z teorią o wielomianach

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

31

2031

1/2

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

Know WIELOMIANY thumbnail

47

4585

4/2

WIELOMIANY

ZADANIA MATURALNE

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

36

1999

1/2

Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

 

Matematyka

•

857

•

28 mar 2022

•

6 strony

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

user profile picture

Martyna Kramer

@martynakramer

Wielomiany i równania wielomianowe z parametrem to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie szkoły średniej. Poniżej znajduje się podsumowanie najważniejszych informacji na ten temat:

  • Rozwiązywanie równań wielomianowych z parametrem wymaga analizy różnych przypadków w zależności od wartości parametru.
  • Kluczowe jest... Pokaż więcej

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Advanced Techniques for Polynomial Equations with Parameters

This page covers more complex polynomial equations with parameters:

  • Equations may have multiple parameters affecting the number and nature of solutions
  • Graphical interpretations can help visualize how parameters influence solutions
  • Solving systems of equations may be necessary to find parameter values

Example: For fxx = 3x−93x-9x2−2(2k+1x² - 2(2k+1x + k+2k+2²), finding values of k that result in exactly two roots requires solving k² = 1.

Definition: A pierwiastek wielomianu rootofapolynomialroot of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to zero.

Highlight: The technique of equating coefficients is often useful when solving equations with multiple parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Analyzing Polynomial Equations with Multiple Parameters

This page delves deeper into solving complex polynomial equations with multiple parameters:

  • Techniques for handling equations with two or more parameters are explored
  • The relationship between parameters and the number of distinct roots is examined
  • Methods for finding specific parameter values to achieve desired solution properties are discussed

Example: For the equation x² - m−3m-3x² - m² = 0 to have 4 different roots, the parameter m must satisfy m² + 2m - 3 = 0.

Highlight: When dealing with wielomiany z parametrem, it's crucial to consider all possible cases and constraints on the parameters.

Vocabulary: Równania z parametrem zadania refers to problems involving equations with parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Introduction to Polynomial Inequalities

This page introduces the concept of polynomial inequalities and methods for solving them:

  • Techniques for finding roots of polynomials and determining their multiplicities
  • Graphing polynomial functions and inequalities on a number line
  • Rules for determining the sign of a polynomial between its roots

Definition: A nierówność wielomianowa polynomialinequalitypolynomial inequality is an inequality involving a polynomial expression.

Example: For 4+x4+x3x+13x+12x−32x-3 > 0, find the roots and determine the intervals where the inequality is satisfied.

Highlight: The "wavy line" method is a useful graphical technique for solving nierówności wielomianowe.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 5: Solving Complex Polynomial Inequalities

This page covers more advanced techniques for solving polynomial inequalities:

  • Factoring higher-degree polynomials to solve inequalities
  • Handling inequalities with multiple factors
  • Techniques for simplifying and solving rational inequalities

Example: Solve the inequality 3xx2−3x+2x²-3x+2 < 0 by factoring and analyzing each term.

Highlight: When solving nierówności wielomianowe zadania, it's important to consider the behavior of the function at infinity and between each root.

Vocabulary: Nierówności wymierne refers to rational inequalities, which involve fractions of polynomials.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 6: Practice Problems and Advanced Applications

This final page provides practice problems and explores advanced applications of polynomial equations and inequalities:

  • Solving systems of polynomial inequalities
  • Applying polynomial inequalities to real-world problems
  • Techniques for handling absolute value inequalities involving polynomials

Example: Solve the inequality |x³ - 2x² + x| > 3x².

Highlight: Mastering wielomiany zadania z rozwiązaniami polynomialproblemswithsolutionspolynomial problems with solutions requires practice with a variety of problem types.

Vocabulary: Funkcje wielomianowe polynomialfunctionspolynomial functions form the basis for understanding and solving polynomial inequalities.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Introduction to Polynomial Equations with Parameters

This page introduces solving polynomial equations containing parameters. Key points include:

  • Equations may have different numbers of solutions depending on parameter values
  • Finding critical parameter values that change the number of solutions is important
  • Factoring and using the quadratic formula are essential techniques

Example: For the equation 10x+1010x + 10x2+(m+2x² + (m+2x + m−1m-1²) = 0, the parameter m determines how many solutions exist.

Highlight: Analyzing the discriminant Δ = m+2m+2² - 4m−1m-1² < 0 helps determine the range of m for which the equation has only one solution.

Vocabulary: Wielomiany z parametrem refers to polynomial equations containing parameters.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS