Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

SchoolAI

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Pierwiastki i miejsca zerowe wielomianów

Miejsca zerowe/Pierwiastki

Matematyka

5 gru 2025

1014

6 strony

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

user profile picture

Martyna Kramer @martynakramer

Wielomiany i równania wielomianowe z parametrem to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie szkoły średniej. Poniżej znajduje się... Pokaż więcej

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Page 2 Advanced Techniques for Polynomial Equations with Parameters

This page covers more complex polynomial equations with parameters

  • Equations may have multiple parameters affecting the number and nature of solutions
  • Graphical interpretations can help visualize how parameters influence solutions
  • Solving systems of equations may be necessary to find parameter values

Example For f(x) = 3x−93x-9x2−2(2k+1)x+(k+2)2x² - 2(2k+1)x + (k+2)², finding values of k that result in exactly two roots requires solving k² = 1.

Definition A pierwiastek wielomianu (root of a polynomial) is a value of x that makes the polynomial equal to zero.

Highlight The technique of equating coefficients is often useful when solving equations with multiple parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Page 3 Analyzing Polynomial Equations with Multiple Parameters

This page delves deeper into solving complex polynomial equations with multiple parameters

  • Techniques for handling equations with two or more parameters are explored
  • The relationship between parameters and the number of distinct roots is examined
  • Methods for finding specific parameter values to achieve desired solution properties are discussed

Example For the equation x² - m−3m-3x² - m² = 0 to have 4 different roots, the parameter m must satisfy m² + 2m - 3 = 0.

Highlight When dealing with wielomiany z parametrem, it's crucial to consider all possible cases and constraints on the parameters.

Vocabulary Równania z parametrem zadania refers to problems involving equations with parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Page 4 Introduction to Polynomial Inequalities

This page introduces the concept of polynomial inequalities and methods for solving them

  • Techniques for finding roots of polynomials and determining their multiplicities
  • Graphing polynomial functions and inequalities on a number line
  • Rules for determining the sign of a polynomial between its roots

Definition A nierówność wielomianowa (polynomial inequality) is an inequality involving a polynomial expression.

Example For 4+x4+x3x+13x+12x−32x-3 > 0, find the roots and determine the intervals where the inequality is satisfied.

Highlight The "wavy line" method is a useful graphical technique for solving nierówności wielomianowe.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Page 5 Solving Complex Polynomial Inequalities

This page covers more advanced techniques for solving polynomial inequalities

  • Factoring higher-degree polynomials to solve inequalities
  • Handling inequalities with multiple factors
  • Techniques for simplifying and solving rational inequalities

Example Solve the inequality 3xx2−3x+2x²-3x+2 < 0 by factoring and analyzing each term.

Highlight When solving nierówności wielomianowe zadania, it's important to consider the behavior of the function at infinity and between each root.

Vocabulary Nierówności wymierne refers to rational inequalities, which involve fractions of polynomials.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Page 6 Practice Problems and Advanced Applications

This final page provides practice problems and explores advanced applications of polynomial equations and inequalities

  • Solving systems of polynomial inequalities
  • Applying polynomial inequalities to real-world problems
  • Techniques for handling absolute value inequalities involving polynomials

Example Solve the inequality |x³ - 2x² + x| > 3x².

Highlight Mastering wielomiany zadania z rozwiązaniami (polynomial problems with solutions) requires practice with a variety of problem types.

Vocabulary Funkcje wielomianowe (polynomial functions) form the basis for understanding and solving polynomial inequalities.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Page 1 Introduction to Polynomial Equations with Parameters

This page introduces solving polynomial equations containing parameters. Key points include

  • Equations may have different numbers of solutions depending on parameter values
  • Finding critical parameter values that change the number of solutions is important
  • Factoring and using the quadratic formula are essential techniques

Example For the equation 10x+1010x + 10x2+(m+2)x+(m−1)2x² + (m+2)x + (m-1)² = 0, the parameter m determines how many solutions exist.

Highlight Analyzing the discriminant Δ = m+2m+2² - 4m−1m-1² < 0 helps determine the range of m for which the equation has only one solution.

Vocabulary Wielomiany z parametrem refers to polynomial equations containing parameters.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

23

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Funkcje Homograficzne i Ułamki

Zgłębiaj funkcje homograficzne oraz twierdzenie o średnich (geometryczna, arytmetyczna, kwadratowa). Dowiedz się, jak obliczać asymptoty i operacje na ułamkach algebraicznych. Idealne dla studentów matematyki na poziomie średnim. Typ: wykład.

MatematykaMatematyka
4

Teoria Wielomianów

Zgłębiaj teorię wielomianów, w tym twierdzenie Bézouta, tożsamości specjalne oraz zasady dzielenia z resztą. Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności i stosować skrócone mnożenie. Idealne dla studentów matematyki na poziomie średnim i wyższym.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Wymiernej

Zrozumienie funkcji wymiernej: wyznaczanie dziedziny, przykłady oraz obliczenia. Obejmuje szczegółowe zadania dotyczące funkcji wymiernych oraz ich właściwości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie działań na pierwiastkach, w tym mnożenie, dzielenie oraz wyciąganie czynników przed znak pierwiastka. Przykłady dla pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Bézouta i Wielomiany

Zrozumienie twierdzenia Bézouta oraz jego zastosowania w dzieleniu wielomianów. Przykłady zadań ilustrujące, jak znaleźć pierwiastki wielomianów i obliczyć reszty z dzielenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Mnożenie i Dzielenie Ułamków

Zrozum zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych. Przykłady ilustrujące operacje na ułamkach oraz techniki uproszczenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Pierwiastki i miejsca zerowe wielomianów

Miejsca zerowe/Pierwiastki

 

Matematyka

•

1014

•

5 gru 2025

•

6 strony

Równania wielomianowe z parametrem - jak je rozwiązywać!

user profile picture

Martyna Kramer

@martynakramer

Wielomiany i równania wielomianowe z parametrem to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie szkoły średniej. Poniżej znajduje się podsumowanie najważniejszych informacji na ten temat:

  • Rozwiązywanie równań wielomianowych z parametrem wymaga analizy różnych przypadków w zależności od wartości parametru.
  • Kluczowe jest... Pokaż więcej

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Advanced Techniques for Polynomial Equations with Parameters

This page covers more complex polynomial equations with parameters:

  • Equations may have multiple parameters affecting the number and nature of solutions
  • Graphical interpretations can help visualize how parameters influence solutions
  • Solving systems of equations may be necessary to find parameter values

Example: For f(x) = 3x−93x-9x2−2(2k+1)x+(k+2)2x² - 2(2k+1)x + (k+2)², finding values of k that result in exactly two roots requires solving k² = 1.

Definition: A pierwiastek wielomianu (root of a polynomial) is a value of x that makes the polynomial equal to zero.

Highlight: The technique of equating coefficients is often useful when solving equations with multiple parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Analyzing Polynomial Equations with Multiple Parameters

This page delves deeper into solving complex polynomial equations with multiple parameters:

  • Techniques for handling equations with two or more parameters are explored
  • The relationship between parameters and the number of distinct roots is examined
  • Methods for finding specific parameter values to achieve desired solution properties are discussed

Example: For the equation x² - m−3m-3x² - m² = 0 to have 4 different roots, the parameter m must satisfy m² + 2m - 3 = 0.

Highlight: When dealing with wielomiany z parametrem, it's crucial to consider all possible cases and constraints on the parameters.

Vocabulary: Równania z parametrem zadania refers to problems involving equations with parameters.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Introduction to Polynomial Inequalities

This page introduces the concept of polynomial inequalities and methods for solving them:

  • Techniques for finding roots of polynomials and determining their multiplicities
  • Graphing polynomial functions and inequalities on a number line
  • Rules for determining the sign of a polynomial between its roots

Definition: A nierówność wielomianowa (polynomial inequality) is an inequality involving a polynomial expression.

Example: For 4+x4+x3x+13x+12x−32x-3 > 0, find the roots and determine the intervals where the inequality is satisfied.

Highlight: The "wavy line" method is a useful graphical technique for solving nierówności wielomianowe.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 5: Solving Complex Polynomial Inequalities

This page covers more advanced techniques for solving polynomial inequalities:

  • Factoring higher-degree polynomials to solve inequalities
  • Handling inequalities with multiple factors
  • Techniques for simplifying and solving rational inequalities

Example: Solve the inequality 3xx2−3x+2x²-3x+2 < 0 by factoring and analyzing each term.

Highlight: When solving nierówności wielomianowe zadania, it's important to consider the behavior of the function at infinity and between each root.

Vocabulary: Nierówności wymierne refers to rational inequalities, which involve fractions of polynomials.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 6: Practice Problems and Advanced Applications

This final page provides practice problems and explores advanced applications of polynomial equations and inequalities:

  • Solving systems of polynomial inequalities
  • Applying polynomial inequalities to real-world problems
  • Techniques for handling absolute value inequalities involving polynomials

Example: Solve the inequality |x³ - 2x² + x| > 3x².

Highlight: Mastering wielomiany zadania z rozwiązaniami (polynomial problems with solutions) requires practice with a variety of problem types.

Vocabulary: Funkcje wielomianowe (polynomial functions) form the basis for understanding and solving polynomial inequalities.

zadanie 7 1x³-81=x²+2x+4 1x³-81-x²-2x-4x0 1 x ³-8>0 x³-8-x²-2x-4-0 x-x²-2x-12 =0 W(3)=0 11-11-21-42 12 3 6 311 24 O 2°) x³-8 <0 X€ (-0,2) -x

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Introduction to Polynomial Equations with Parameters

This page introduces solving polynomial equations containing parameters. Key points include:

  • Equations may have different numbers of solutions depending on parameter values
  • Finding critical parameter values that change the number of solutions is important
  • Factoring and using the quadratic formula are essential techniques

Example: For the equation 10x+1010x + 10x2+(m+2)x+(m−1)2x² + (m+2)x + (m-1)² = 0, the parameter m determines how many solutions exist.

Highlight: Analyzing the discriminant Δ = m+2m+2² - 4m−1m-1² < 0 helps determine the range of m for which the equation has only one solution.

Vocabulary: Wielomiany z parametrem refers to polynomial equations containing parameters.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

23

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Funkcje Homograficzne i Ułamki

Zgłębiaj funkcje homograficzne oraz twierdzenie o średnich (geometryczna, arytmetyczna, kwadratowa). Dowiedz się, jak obliczać asymptoty i operacje na ułamkach algebraicznych. Idealne dla studentów matematyki na poziomie średnim. Typ: wykład.

MatematykaMatematyka
4

Teoria Wielomianów

Zgłębiaj teorię wielomianów, w tym twierdzenie Bézouta, tożsamości specjalne oraz zasady dzielenia z resztą. Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności i stosować skrócone mnożenie. Idealne dla studentów matematyki na poziomie średnim i wyższym.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Wymiernej

Zrozumienie funkcji wymiernej: wyznaczanie dziedziny, przykłady oraz obliczenia. Obejmuje szczegółowe zadania dotyczące funkcji wymiernych oraz ich właściwości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie działań na pierwiastkach, w tym mnożenie, dzielenie oraz wyciąganie czynników przed znak pierwiastka. Przykłady dla pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Bézouta i Wielomiany

Zrozumienie twierdzenia Bézouta oraz jego zastosowania w dzieleniu wielomianów. Przykłady zadań ilustrujące, jak znaleźć pierwiastki wielomianów i obliczyć reszty z dzielenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Mnożenie i Dzielenie Ułamków

Zrozum zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych. Przykłady ilustrujące operacje na ułamkach oraz techniki uproszczenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS