Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Metody Analizy Graficznej

Wykres funkcji

1,413

•

Zaktualizowano Mar 22, 2026

•

2 strony

Wykres funkcji - funkcje wymierne

П

Поляша

@_arwh

Funkcje wymierne to ważny dział matematyki, który pomoże Ci zrozumieć,... Pokaż więcej

Dzial III Funkcje wybresine Wykres funkcji. $f(x) = \frac{6}{x} \rightarrow y = \frac{6}{x}$ | x | -6 | -2 | -1 | 1 | 2 | 6 | |---|---|--

Wykresy funkcji wymiernych

Funkcja wymierna w najprostszej postaci to f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, gdzie a to stała. Wykres takiej funkcji składa się z dwóch części rozdzielonych asymptotą pionową w punkcie x = 0.

Kiedy analizujemy funkcję typu f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, musimy pamiętać o jej dziedzinie. Funkcja nie jest określona dla x = 0, więc D=R∖0D = R\setminus{0}. Wykres ma też asymptotę poziomą y = 0, do której zbliża się, gdy |x| rośnie.

Dla funkcji f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q wykres przesuwamy w górę (gdy q > 0) lub w dół (gdy q < 0) o q jednostek. Na przykład funkcja f(x)=4x+1f(x) = \frac{4}{x} + 1 ma asymptotę poziomą y = 1.

Zapamiętaj! Przekształcenia funkcji wymiernej można łatwo wizualizować:

  • f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q → przesunięcie wykresu w pionie o q jednostek
  • f(x)=ax−pf(x) = \frac{a}{x-p} → przesunięcie wykresu w poziomie o p jednostek
  • f(x)=ax−p+qf(x) = \frac{a}{x-p} + q → przesunięcie o p w prawo i o q w górę

Znak parametru a wpływa na położenie wykresu - gdy a > 0, funkcja jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a gdy a < 0 - w drugiej i czwartej.

Dzial III Funkcje wybresine Wykres funkcji. $f(x) = \frac{6}{x} \rightarrow y = \frac{6}{x}$ | x | -6 | -2 | -1 | 1 | 2 | 6 | |---|---|--

Przekształcenia funkcji wymiernych

Przesunięcie funkcji wymiernej w poziomie działa nieco inaczej niż możesz się spodziewać. Aby przesunąć wykres f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} o 2 jednostki w prawo, zapisujemy f(x)=ax−2f(x) = \frac{a}{x-2} a nie $\frac{a}{x+2}$!.

Podobnie przesunięcie w lewo o 4 jednostki daje funkcję f(x)=ax+4f(x) = \frac{a}{x+4}. Pamiętaj, że znak we wzorze jest przeciwny do kierunku przesunięcia.

Łącząc różne przekształcenia, możemy uzyskać bardziej złożone funkcje. Na przykład f(x)=2x−3+4f(x) = \frac{2}{x-3}+4 to funkcja f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} przesunięta o 3 jednostki w prawo i 4 jednostki w górę.

Uwaga! Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych zawsze określ:

  • asymptotę pionową x = p dla funkcji $\frac{a}{x-p}+q$
  • asymptotę poziomą y = q dla funkcji $\frac{a}{x-p}+q$

Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} asymptotami są osie układu współrzędnych x=0iy=0x = 0 i y = 0. Po przekształceniu, asymptoty też się przesuwają!



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Wykres funkcji

Funkcja wykładnicza

Funkcja Wykładnicza podstawa i rozszerzenie

MatematykaMatematyka
3

Właściwości Funkcji

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicje, dziedzina i zbiór wartości, monotoniczność oraz przykłady. Ta notatka zawiera kluczowe informacje na temat przyporządkowania elementów oraz miejsc zerowych funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicja, sposób przedstawiania (graf, tabela, opis słowny), dziedzina i zbiór wartości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Kluczowe pojęcia: funkcja, dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji: Przewodnik

Odkryj, jak szkicować wykresy funkcji w różnych dziedzinach. Zrozumienie właściwości funkcji, transformacji oraz zależności między dziedziną a wykresem. Idealne dla uczniów i studentów matematyki. Typ: przewodnik.

MatematykaMatematyka
1

Właściwości funkcji homograficznej

Zgłębiaj właściwości funkcji homograficznej, w tym jej postać, wykres oraz zachowanie w zależności od wartości parametru a. Dowiedz się, jak przesunięcia wpływają na dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich wykresów oraz właściwości. Notatka obejmuje definicje, asymptoty, dziedzinę funkcji oraz przykłady równań kwadratowych. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MatematykaMatematyka
8

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Zanurz się w szczegółową analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj genezę utworu, znaczenie tytułu oraz kluczowe wątki i postacie. Dowiedz się, jak Żeromski przedstawia przemiany społeczne i polityczne w Polsce po odzyskaniu niepodległości. Idealne dla studentów literatury i miłośników klasyki.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
2

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Metody Analizy Graficznej

Wykres funkcji

 

Matematyka

•

1,413

•

Zaktualizowano Mar 22, 2026

•

2 strony

Wykres funkcji - funkcje wymierne

П

Поляша

@_arwh

Funkcje wymierne to ważny dział matematyki, który pomoże Ci zrozumieć, jak zachowują się wyrażenia typu a/x. Poznasz ich wykresy, asymptoty i nauczysz się, jak przekształcenia wpływają na ich kształt.

Dzial III Funkcje wybresine Wykres funkcji. $f(x) = \frac{6}{x} \rightarrow y = \frac{6}{x}$ | x | -6 | -2 | -1 | 1 | 2 | 6 | |---|---|--

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Wykresy funkcji wymiernych

Funkcja wymierna w najprostszej postaci to f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, gdzie a to stała. Wykres takiej funkcji składa się z dwóch części rozdzielonych asymptotą pionową w punkcie x = 0.

Kiedy analizujemy funkcję typu f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, musimy pamiętać o jej dziedzinie. Funkcja nie jest określona dla x = 0, więc D=R∖0D = R\setminus{0}. Wykres ma też asymptotę poziomą y = 0, do której zbliża się, gdy |x| rośnie.

Dla funkcji f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q wykres przesuwamy w górę (gdy q > 0) lub w dół (gdy q < 0) o q jednostek. Na przykład funkcja f(x)=4x+1f(x) = \frac{4}{x} + 1 ma asymptotę poziomą y = 1.

Zapamiętaj! Przekształcenia funkcji wymiernej można łatwo wizualizować:

  • f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q → przesunięcie wykresu w pionie o q jednostek
  • f(x)=ax−pf(x) = \frac{a}{x-p} → przesunięcie wykresu w poziomie o p jednostek
  • f(x)=ax−p+qf(x) = \frac{a}{x-p} + q → przesunięcie o p w prawo i o q w górę

Znak parametru a wpływa na położenie wykresu - gdy a > 0, funkcja jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a gdy a < 0 - w drugiej i czwartej.

Dzial III Funkcje wybresine Wykres funkcji. $f(x) = \frac{6}{x} \rightarrow y = \frac{6}{x}$ | x | -6 | -2 | -1 | 1 | 2 | 6 | |---|---|--

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Przekształcenia funkcji wymiernych

Przesunięcie funkcji wymiernej w poziomie działa nieco inaczej niż możesz się spodziewać. Aby przesunąć wykres f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} o 2 jednostki w prawo, zapisujemy f(x)=ax−2f(x) = \frac{a}{x-2} a nie $\frac{a}{x+2}$!.

Podobnie przesunięcie w lewo o 4 jednostki daje funkcję f(x)=ax+4f(x) = \frac{a}{x+4}. Pamiętaj, że znak we wzorze jest przeciwny do kierunku przesunięcia.

Łącząc różne przekształcenia, możemy uzyskać bardziej złożone funkcje. Na przykład f(x)=2x−3+4f(x) = \frac{2}{x-3}+4 to funkcja f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} przesunięta o 3 jednostki w prawo i 4 jednostki w górę.

Uwaga! Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych zawsze określ:

  • asymptotę pionową x = p dla funkcji $\frac{a}{x-p}+q$
  • asymptotę poziomą y = q dla funkcji $\frac{a}{x-p}+q$

Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} asymptotami są osie układu współrzędnych x=0iy=0x = 0 i y = 0. Po przekształceniu, asymptoty też się przesuwają!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

17

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny egzamin próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Iloczynowa Forma Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie iloczynowej formy funkcji kwadratowej, w tym obliczanie miejsc zerowych oraz współczynników. Materiał obejmuje przykłady i ćwiczenia dotyczące wielomianów, równań kwadratowych oraz podstawowych zasad funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Wykresy Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich wykresów oraz właściwości. Notatka obejmuje definicje, asymptoty, dziedzinę funkcji oraz przykłady równań kwadratowych. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Analiza Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznej y = Ax + B / Cx + D, jej właściwości, dziedziny oraz wykresu. Dowiedz się, jak przekształcenia funkcji wpływają na jej kształt i położenie. Idealne dla studentów matematyki i analizy funkcji.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji Logarytmicznej

Zrozumienie właściwości funkcji logarytmicznej i wykładniczej oraz ich przekształceń. Obejmuje kluczowe zasady, takie jak log_a 1 = 0, log_a a = 1, oraz symetrie wykresów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Ekstrema Funkcji i Pochodne

Zrozum, jak wyznaczać ekstrema funkcji za pomocą pochodnych. Ta notatka zawiera kluczowe wzory, kroki do obliczania miejsc zerowych pochodnej oraz interpretację wyników. Idealna dla studentów matematyki, którzy chcą opanować temat pochodnych i ich zastosowań.

MatematykaMatematyka
4

Przesunięcia Wykresów Funkcji

Zrozumienie przesunięć wykresów funkcji w matematyce. Dowiedz się, jak przesuwać wykresy w poziomie i pionie oraz jak stosować symetrię względem osi. Kluczowe wzory i przykłady dla funkcji f(x) oraz g(x). Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki: Wykres funkcji

Funkcja wykładnicza

Funkcja Wykładnicza podstawa i rozszerzenie

MatematykaMatematyka
3

Właściwości Funkcji

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicje, dziedzina i zbiór wartości, monotoniczność oraz przykłady. Ta notatka zawiera kluczowe informacje na temat przyporządkowania elementów oraz miejsc zerowych funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicja, sposób przedstawiania (graf, tabela, opis słowny), dziedzina i zbiór wartości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Kluczowe pojęcia: funkcja, dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji: Przewodnik

Odkryj, jak szkicować wykresy funkcji w różnych dziedzinach. Zrozumienie właściwości funkcji, transformacji oraz zależności między dziedziną a wykresem. Idealne dla uczniów i studentów matematyki. Typ: przewodnik.

MatematykaMatematyka
1

Właściwości funkcji homograficznej

Zgłębiaj właściwości funkcji homograficznej, w tym jej postać, wykres oraz zachowanie w zależności od wartości parametru a. Dowiedz się, jak przesunięcia wpływają na dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich wykresów oraz właściwości. Notatka obejmuje definicje, asymptoty, dziedzinę funkcji oraz przykłady równań kwadratowych. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MatematykaMatematyka
8

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Zanurz się w szczegółową analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj genezę utworu, znaczenie tytułu oraz kluczowe wątki i postacie. Dowiedz się, jak Żeromski przedstawia przemiany społeczne i polityczne w Polsce po odzyskaniu niepodległości. Idealne dla studentów literatury i miłośników klasyki.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
2

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS