Przedmioty

Knowunity AI

Program dla Twórców

Więcej

Dla firm

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Metody Analizy Graficznej

Wykres funkcji

MatematykaMatematyka1591 wyświetleń·Zaktualizowano 21 lip 2026·2 strony

Wykres funkcji - funkcje wymierne

П
Поляша @_arwh

Funkcje wymierne to ważny dział matematyki, który pomoże Ci zrozumieć,...

1
of 2
Wykres funkcji – strona 1

Wykresy funkcji wymiernych

Funkcja wymierna w najprostszej postaci to f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, gdzie a to stała. Wykres takiej funkcji składa się z dwóch części rozdzielonych asymptotą pionową w punkcie x = 0.

Kiedy analizujemy funkcję typu f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, musimy pamiętać o jej dziedzinie. Funkcja nie jest określona dla x = 0, więc D=R∖{0}D = R\setminus\{0\}. Wykres ma też asymptotę poziomą y = 0, do której zbliża się, gdy |x| rośnie.

Dla funkcji f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q wykres przesuwamy w górę (gdy q > 0) lub w dół (gdy q < 0) o q jednostek. Na przykład funkcja f(x)=4x+1f(x) = \frac{4}{x} + 1 ma asymptotę poziomą y = 1.

Zapamiętaj! Przekształcenia funkcji wymiernej można łatwo wizualizować:

  • f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q → przesunięcie wykresu w pionie o q jednostek
  • f(x)=ax−pf(x) = \frac{a}{x-p} → przesunięcie wykresu w poziomie o p jednostek
  • f(x)=ax−p+qf(x) = \frac{a}{x-p} + q → przesunięcie o p w prawo i o q w górę

Znak parametru a wpływa na położenie wykresu - gdy a > 0, funkcja jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a gdy a < 0 - w drugiej i czwartej.

2
of 2
Wykres funkcji – strona 2

Przekształcenia funkcji wymiernych

Przesunięcie funkcji wymiernej w poziomie działa nieco inaczej niż możesz się spodziewać. Aby przesunąć wykres f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} o 2 jednostki w prawo, zapisujemy f(x)=ax−2f(x) = \frac{a}{x-2} (a nie ax+2\frac{a}{x+2}!).

Podobnie przesunięcie w lewo o 4 jednostki daje funkcję f(x)=ax+4f(x) = \frac{a}{x+4}. Pamiętaj, że znak we wzorze jest przeciwny do kierunku przesunięcia.

Łącząc różne przekształcenia, możemy uzyskać bardziej złożone funkcje. Na przykład f(x)=2x−3+4f(x) = \frac{2}{x-3}+4 to funkcja f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} przesunięta o 3 jednostki w prawo i 4 jednostki w górę.

Uwaga! Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych zawsze określ:

  • asymptotę pionową (x = p dla funkcji ax−p+q\frac{a}{x-p}+q)
  • asymptotę poziomą (y = q dla funkcji ax−p+q\frac{a}{x-p}+q)

Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} asymptotami są osie układu współrzędnych x=0iy=0x = 0 i y = 0. Po przekształceniu, asymptoty też się przesuwają!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Wykres funkcji

5
MatematykaMatematyka

Właściwości Funkcji

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicje, dziedzina i zbiór wartości, monotoniczność oraz przykłady. Ta notatka zawiera kluczowe informacje na temat przyporządkowania elementów oraz miejsc zerowych funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

12,71045
MatematykaMatematyka

Wykresy Funkcji: Przewodnik

Odkryj, jak szkicować wykresy funkcji w różnych dziedzinach. Zrozumienie właściwości funkcji, transformacji oraz zależności między dziedziną a wykresem. Idealne dla uczniów i studentów matematyki. Typ: przewodnik.

12,15342
MatematykaMatematyka

Funkcja wykładnicza

Funkcja Wykładnicza podstawa i rozszerzenie

32,65875
MatematykaMatematyka

Właściwości funkcji homograficznej

Zgłębiaj właściwości funkcji homograficznej, w tym jej postać, wykres oraz zachowanie w zależności od wartości parametru a. Dowiedz się, jak przesunięcia wpływają na dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

14,453111
MatematykaMatematyka

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicja, sposób przedstawiania (graf, tabela, opis słowny), dziedzina i zbiór wartości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Kluczowe pojęcia: funkcja, dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.

111,137258

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3840
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,4190
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,4115,675
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6560
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6300
Z
MatematykaMatematyka

Zapisywanie ułamków dziesiętnych

Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.

52,1470
M
MatematykaMatematyka

matematyka

tabliczka mnożenia

51,8604

Najpopularniejsze notatki

9
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4063
N
TechnikaTechnika

Nauka znaków drogowych

Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę

44,0182
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9840
Q
Język polskiJęzyk polski

Quiz-Dziady cz.2

Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!

83,6012
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8044
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,681377
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
C
Język angielskiJęzyk angielski

Czasowniki nieregularne w Past Simple

Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.

65,0340
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Metody Analizy Graficznej

Wykres funkcji

MatematykaMatematyka1591 wyświetleń·Zaktualizowano 21 lip 2026·2 strony

Wykres funkcji - funkcje wymierne

П
Поляша @_arwh

Funkcje wymierne to ważny dział matematyki, który pomoże Ci zrozumieć, jak zachowują się wyrażenia typu a/x. Poznasz ich wykresy, asymptoty i nauczysz się, jak przekształcenia wpływają na ich kształt.

1
of 2
Wykres funkcji – strona 1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wykresy funkcji wymiernych

Funkcja wymierna w najprostszej postaci to f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, gdzie a to stała. Wykres takiej funkcji składa się z dwóch części rozdzielonych asymptotą pionową w punkcie x = 0.

Kiedy analizujemy funkcję typu f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, musimy pamiętać o jej dziedzinie. Funkcja nie jest określona dla x = 0, więc D=R∖{0}D = R\setminus\{0\}. Wykres ma też asymptotę poziomą y = 0, do której zbliża się, gdy |x| rośnie.

Dla funkcji f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q wykres przesuwamy w górę (gdy q > 0) lub w dół (gdy q < 0) o q jednostek. Na przykład funkcja f(x)=4x+1f(x) = \frac{4}{x} + 1 ma asymptotę poziomą y = 1.

Zapamiętaj! Przekształcenia funkcji wymiernej można łatwo wizualizować:

  • f(x)=ax+qf(x) = \frac{a}{x} + q → przesunięcie wykresu w pionie o q jednostek
  • f(x)=ax−pf(x) = \frac{a}{x-p} → przesunięcie wykresu w poziomie o p jednostek
  • f(x)=ax−p+qf(x) = \frac{a}{x-p} + q → przesunięcie o p w prawo i o q w górę

Znak parametru a wpływa na położenie wykresu - gdy a > 0, funkcja jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a gdy a < 0 - w drugiej i czwartej.

2
of 2
Wykres funkcji – strona 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przekształcenia funkcji wymiernych

Przesunięcie funkcji wymiernej w poziomie działa nieco inaczej niż możesz się spodziewać. Aby przesunąć wykres f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} o 2 jednostki w prawo, zapisujemy f(x)=ax−2f(x) = \frac{a}{x-2} (a nie ax+2\frac{a}{x+2}!).

Podobnie przesunięcie w lewo o 4 jednostki daje funkcję f(x)=ax+4f(x) = \frac{a}{x+4}. Pamiętaj, że znak we wzorze jest przeciwny do kierunku przesunięcia.

Łącząc różne przekształcenia, możemy uzyskać bardziej złożone funkcje. Na przykład f(x)=2x−3+4f(x) = \frac{2}{x-3}+4 to funkcja f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} przesunięta o 3 jednostki w prawo i 4 jednostki w górę.

Uwaga! Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych zawsze określ:

  • asymptotę pionową (x = p dla funkcji ax−p+q\frac{a}{x-p}+q)
  • asymptotę poziomą (y = q dla funkcji ax−p+q\frac{a}{x-p}+q)

Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} asymptotami są osie układu współrzędnych x=0iy=0x = 0 i y = 0. Po przekształceniu, asymptoty też się przesuwają!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Wykres funkcji

5
MatematykaMatematyka

Właściwości Funkcji

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicje, dziedzina i zbiór wartości, monotoniczność oraz przykłady. Ta notatka zawiera kluczowe informacje na temat przyporządkowania elementów oraz miejsc zerowych funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

12,71045
MatematykaMatematyka

Wykresy Funkcji: Przewodnik

Odkryj, jak szkicować wykresy funkcji w różnych dziedzinach. Zrozumienie właściwości funkcji, transformacji oraz zależności między dziedziną a wykresem. Idealne dla uczniów i studentów matematyki. Typ: przewodnik.

12,15342
MatematykaMatematyka

Funkcja wykładnicza

Funkcja Wykładnicza podstawa i rozszerzenie

32,65875
MatematykaMatematyka

Właściwości funkcji homograficznej

Zgłębiaj właściwości funkcji homograficznej, w tym jej postać, wykres oraz zachowanie w zależności od wartości parametru a. Dowiedz się, jak przesunięcia wpływają na dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

14,453111
MatematykaMatematyka

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie funkcji matematycznych: definicja, sposób przedstawiania (graf, tabela, opis słowny), dziedzina i zbiór wartości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Kluczowe pojęcia: funkcja, dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.

111,137258

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3840
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,4190
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,4115,675
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6560
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6300
Z
MatematykaMatematyka

Zapisywanie ułamków dziesiętnych

Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.

52,1470
M
MatematykaMatematyka

matematyka

tabliczka mnożenia

51,8604

Najpopularniejsze notatki

9
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4063
N
TechnikaTechnika

Nauka znaków drogowych

Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę

44,0182
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9840
Q
Język polskiJęzyk polski

Quiz-Dziady cz.2

Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!

83,6012
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8044
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,681377
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
C
Język angielskiJęzyk angielski

Czasowniki nieregularne w Past Simple

Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.

65,0340
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS