Rozwiązywanie równań wymiernych

Równania wymierne to zaawansowany temat w algebrze, wymagający szczególnej uwagi przy rozwiązywaniu.

Example: Rozwiązanie równania (x+3)/(x-3) = 1/(x+2) dla D=R-{-2,3}

Przy rozwiązywaniu równań wymiernych, kluczowe jest:

1. Określenie dziedziny równania
2. Przekształcenie równania do standardowej postaci
3. Rozwiązanie otrzymanego równania wielomianowego
4. Sprawdzenie, czy otrzymane rozwiązania należą do dziedziny równania

Highlight: Zawsze sprawdzaj, czy otrzymane rozwiązania należą do dziedziny równania wymiernego.

Inny przykład równania wymiernego:

Example: 4x²-100=0/(5+x) ma rozwiązanie x₁=5, x₂=-5, ale dziedzina D=R-{-5}, więc ostatecznym rozwiązaniem jest tylko x=5.

Wyrażenia wymierne zadania często wymagają kombinacji różnych technik, takich jak skracanie, dodawanie/odejmowanie oraz rozwiązywanie równań. Praktyka jest kluczowa dla opanowania tych umiejętności.

Podstawowe wiadomości o wyrażeniach wymiernych

Wyrażenia wymierne to ułamki algebraiczne z wielomianami w liczniku i mianowniku. Kluczowym aspektem pracy z nimi jest określenie ich dziedziny.

Definition: Wyrażenie wymierne to ułamek, który ma w liczniku i mianowniku wielomiany.

Przy określaniu dziedziny wyrażenia wymiernego, należy pamiętać o podstawowej zasadzie:

Highlight: Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest różny od zera.

Przykłady określania dziedziny:

1. Dla wyrażenia (4x+1)/(6x-18), dziedzina to D=R-{3}
2. Dla wyrażenia 1/((x-5)(x+3)), dziedzina to D=R-{-3,5}

Skracanie wyrażeń wymiernych odbywa się podobnie jak w przypadku zwykłych ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie.

Example: (x²+2x-1)/(3x²) można skrócić do (x²+2x-1)/(3x²) = (x+3)/(3x) dla D=R-{0}

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych wymaga sprowadzenia do wspólnego mianownika, a następnie sumowania liczników.

Highlight: Wyrażenia wymierne dodajemy i odejmujemy jak zwykłe ułamki. Najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem sumujemy liczniki.

Równania wymierne to równania zawierające wyrażenia wymierne. Przy ich rozwiązywaniu należy pamiętać o określeniu dziedziny i uwzględnieniu wszystkich ograniczeń.