Położenie prostej względem okręgu

Czy wiesz, że prosta może "zachowywać się" względem okręgu na trzy różne sposoby? To naprawdę proste do zapamiętania!

Prosta rozłączna występuje, gdy odległość od środka O do prostej jest większa niż promień (x > r). Wtedy prosta i okrąg w ogóle się nie stykają.

Prosta styczna dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie. Tu odległość od środka do prostej równa się promieniowi $x = r$. Ważne: promień poprowadzony do punktu styczności jest zawsze prostopadły do stycznej!

Prosta sieczna przecina okrąg w dwóch punktach, gdy odległość od środka jest mniejsza niż promień (x < r). Pamiętaj, że odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z zewnętrznego punktu do okręgu mają zawsze tę samą długość.

Wskazówka: Jeśli promień przechodzi przez środek cięciwy, to jest do niej prostopadły - to bardzo przydatna właściwość na sprawdzianach!

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą układać się względem siebie na pięć sposobów - brzmi skomplikowanie, ale gdy zrozumiesz wzory, będzie łatwo!

Okręgi rozłączne zewnętrznie: |O₁O₂| > r₁ + r₂ (odległość między środkami jest większa niż suma promieni). Mają 4 wspólne styczne.

Okręgi styczne zewnętrznie: |O₁O₂| = r₁ + r₂ (dotykają się z zewnątrz). Mają 3 wspólne styczne.

Okręgi przecinające się: |r₁ - r₂| < |O₁O₂| < r₁ + r₂. Mają 2 wspólne styczne.

Okręgi styczne wewnętrznie: |O₁O₂| = |r₁ - r₂| ≠ 0 (jeden dotyka drugiego od wewnątrz). Mają 1 wspólną styczną.

Trick: Im więcej punktów wspólnych mają okręgi, tym mniej mają wspólnych stycznych!

Kąty w okręgu

Kąty w okręgu to temat, który zawsze pojawia się na maturze - ale nie martw się, podstawowe zależności są bardzo logiczne!

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu. Jeśli oba opierają się na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dokładnie dwa razy większy od wpisanego!

Kąt wpisany oparty na półokręgu to zawsze kąt prosty (90°) - to jedna z najważniejszych właściwości, którą musisz znać na pamięć.

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są zawsze równe. Kąt dopisany (z wierzchołkiem poza okręgiem) oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma z nim równą miarę.

Mnemotechnika: "Środkowy to podwójny wpisany" - zapamiętaj tę regułkę, a nigdy się nie pomylisz!