Wzajemne położenie dwóch okręgów - analiza i przykłady
Strona ta przedstawia szczegółową analizę wzajemnego położenia dwóch okręgów, prezentując różne możliwe konfiguracje oraz przykładowe zadanie z rozwiązaniem.
Vocabulary: Wzajemne położenie dwóch okręgów odnosi się do sposobu, w jaki dwa okręgi są usytuowane względem siebie w przestrzeni dwuwymiarowej.
Dokument omawia trzy główne typy wzajemnego położenia okręgów:
-
Okręgi styczne - mające jeden punkt wspólny
Definition: Okręgi styczne to takie, które dotykają się w jednym punkcie, ale nie przecinają się.
-
Okręgi przecinające się - mające dwa punkty wspólne
-
Okręgi rozłączne - niemające punktów wspólnych
Highlight: Okręgi rozłączne mogą być zewnętrzne gdyodległosˊcˊmiędzyichsˊrodkamijestwiększaniz˙sumapromieni lub wewnętrzne gdyjedenokrągzawierasięcałkowiciewewnątrzdrugiego.
Dokument prezentuje również kluczowe wzory matematyczne używane do określania wzajemnego położenia okręgów:
- Dla okręgów stycznych: |S₁S₂| = R + r stycznezewnętrznie lub |S₁S₂| = R - r stycznewewnętrznie
- Dla okręgów przecinających się: |R - r| < |S₁S₂| < R + r
- Dla okręgów rozłącznych: |S₁S₂| > R + r rozłącznezewnętrznie lub |S₁S₂| < R - r rozłącznewewnętrznie
Example: Zadanie 1 prezentuje praktyczne zastosowanie tych wzorów. Dane są dwa okręgi:
K₁: x−7² + y−2² = 49 sˊrodekS1(7,2, promień R = 7)
K₂: x+5² + y+3² = 25 sˊrodekS2(−5,−3, promień r = 5)
Rozwiązanie zadania obejmuje obliczenie odległości między środkami okręgów:
|S₁S₂| = √(−5−7² + −3−2²) = √(−12² + −5²) = √144+25 = √169 = 13
Następnie, porównując obliczoną odległość z sumą promieni R+r=7+5=12, można stwierdzić, że |S₁S₂| > R + r, co oznacza, że okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Highlight: Analiza wzajemnego położenia dwóch okręgów wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale także umiejętności ich praktycznego zastosowania w konkretnych zadaniach geometrycznych.
Ta strona stanowi cenne źródło wiedzy dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki, szczególnie w zakresie geometrii analitycznej i wzajemnego położenia okręgów.
