Otwórz aplikację

Przedmioty

Wzajemne położenie dwóch okręgów - Zadania i wzory

16

0

user profile picture

Martyna Kramer

29.03.2022

Matematyka

wzajemne położenie dwóch okręgów

1007

29 mar 2022

1 strona

Wzajemne położenie dwóch okręgów - Zadania i wzory

Wzajemne położenie dwóch okręgów to kluczowy temat w geometrii analitycznej.... Pokaż więcej

wzajemne położenie dwóch okręgów
~okręgi styczne
15,5₂1=R+F
~ okręgi przecinające się
~ okręgi rozłączne
2adanie 1.
Ⓒ
15,5₂1=R-1
|S₁ S₂|= IR

Wzajemne położenie dwóch okręgów - analiza i przykłady

Strona ta przedstawia szczegółową analizę wzajemnego położenia dwóch okręgów, prezentując różne możliwe konfiguracje oraz przykładowe zadanie z rozwiązaniem.

Vocabulary: Wzajemne położenie dwóch okręgów odnosi się do sposobu, w jaki dwa okręgi są usytuowane względem siebie w przestrzeni dwuwymiarowej.

Dokument omawia trzy główne typy wzajemnego położenia okręgów:

  1. Okręgi styczne - mające jeden punkt wspólny

    Definition: Okręgi styczne to takie, które dotykają się w jednym punkcie, ale nie przecinają się.

  2. Okręgi przecinające się - mające dwa punkty wspólne

  3. Okręgi rozłączne - niemające punktów wspólnych

    Highlight: Okręgi rozłączne mogą być zewnętrzne (gdy odległość między ich środkami jest większa niż suma promieni) lub wewnętrzne (gdy jeden okrąg zawiera się całkowicie wewnątrz drugiego).

Dokument prezentuje również kluczowe wzory matematyczne używane do określania wzajemnego położenia okręgów:

  • Dla okręgów stycznych: |S₁S₂| = R + r (styczne zewnętrznie) lub |S₁S₂| = R - r (styczne wewnętrznie)
  • Dla okręgów przecinających się: |R - r| < |S₁S₂| < R + r
  • Dla okręgów rozłącznych: |S₁S₂| > R + r (rozłączne zewnętrznie) lub |S₁S₂| < R - r (rozłączne wewnętrznie)

Example: Zadanie 1 prezentuje praktyczne zastosowanie tych wzorów. Dane są dwa okręgi: K₁: (x-7)² + (y-2)² = 49 (środek S₁(7,2), promień R = 7) K₂: (x+5)² + (y+3)² = 25 (środek S₂(-5,-3), promień r = 5)

Rozwiązanie zadania obejmuje obliczenie odległości między środkami okręgów:

|S₁S₂| = √((-5-7)² + (-3-2)²) = √((-12)² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13

Następnie, porównując obliczoną odległość z sumą promieni (R + r = 7 + 5 = 12), można stwierdzić, że |S₁S₂| > R + r, co oznacza, że okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Highlight: Analiza wzajemnego położenia dwóch okręgów wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale także umiejętności ich praktycznego zastosowania w konkretnych zadaniach geometrycznych.

Ta strona stanowi cenne źródło wiedzy dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki, szczególnie w zakresie geometrii analitycznej i wzajemnego położenia okręgów.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

1007

29 mar 2022

1 strona

Wzajemne położenie dwóch okręgów - Zadania i wzory

Wzajemne położenie dwóch okręgów to kluczowy temat w geometrii analitycznej. Omawia on różne sposoby, w jakie dwa okręgi mogą być względem siebie usytuowane w przestrzeni dwuwymiarowej.

  • Wzajemne położenie dwóch okręgów może być następujące:
  • Okręgi styczne (zewnętrznie lub wewnętrznie)
  • Okręgi przecinające... Pokaż więcej

wzajemne położenie dwóch okręgów
~okręgi styczne
15,5₂1=R+F
~ okręgi przecinające się
~ okręgi rozłączne
2adanie 1.
Ⓒ
15,5₂1=R-1
|S₁ S₂|= IR

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzajemne położenie dwóch okręgów - analiza i przykłady

Strona ta przedstawia szczegółową analizę wzajemnego położenia dwóch okręgów, prezentując różne możliwe konfiguracje oraz przykładowe zadanie z rozwiązaniem.

Vocabulary: Wzajemne położenie dwóch okręgów odnosi się do sposobu, w jaki dwa okręgi są usytuowane względem siebie w przestrzeni dwuwymiarowej.

Dokument omawia trzy główne typy wzajemnego położenia okręgów:

  1. Okręgi styczne - mające jeden punkt wspólny

    Definition: Okręgi styczne to takie, które dotykają się w jednym punkcie, ale nie przecinają się.

  2. Okręgi przecinające się - mające dwa punkty wspólne

  3. Okręgi rozłączne - niemające punktów wspólnych

    Highlight: Okręgi rozłączne mogą być zewnętrzne (gdy odległość między ich środkami jest większa niż suma promieni) lub wewnętrzne (gdy jeden okrąg zawiera się całkowicie wewnątrz drugiego).

Dokument prezentuje również kluczowe wzory matematyczne używane do określania wzajemnego położenia okręgów:

  • Dla okręgów stycznych: |S₁S₂| = R + r (styczne zewnętrznie) lub |S₁S₂| = R - r (styczne wewnętrznie)
  • Dla okręgów przecinających się: |R - r| < |S₁S₂| < R + r
  • Dla okręgów rozłącznych: |S₁S₂| > R + r (rozłączne zewnętrznie) lub |S₁S₂| < R - r (rozłączne wewnętrznie)

Example: Zadanie 1 prezentuje praktyczne zastosowanie tych wzorów. Dane są dwa okręgi: K₁: (x-7)² + (y-2)² = 49 (środek S₁(7,2), promień R = 7) K₂: (x+5)² + (y+3)² = 25 (środek S₂(-5,-3), promień r = 5)

Rozwiązanie zadania obejmuje obliczenie odległości między środkami okręgów:

|S₁S₂| = √((-5-7)² + (-3-2)²) = √((-12)² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13

Następnie, porównując obliczoną odległość z sumą promieni (R + r = 7 + 5 = 12), można stwierdzić, że |S₁S₂| > R + r, co oznacza, że okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Highlight: Analiza wzajemnego położenia dwóch okręgów wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale także umiejętności ich praktycznego zastosowania w konkretnych zadaniach geometrycznych.

Ta strona stanowi cenne źródło wiedzy dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki, szczególnie w zakresie geometrii analitycznej i wzajemnego położenia okręgów.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS