Przedmioty

Knowunity AI

Więcej

Dla firm

Kariera

Program dla Twórców

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Stałe i Warunki Całkowania

Stała całkowania (C)

MatematykaMatematyka915 wyświetleń·Zaktualizowano 5 lip 2026·6 strony

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

user profile picture
Emilka@emka3939

Czas na całki i równania różniczkowe! Te matematyczne narzędzia to...

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
1 / 6
1
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Zanim przejdziesz do całek, musisz opanować pochodne - to fundament wszystkiego! Pamiętaj, że pochodna stałej to zawsze 0, a pochodna x^n to nx^n−1n-1.

Wzory na potęgi to twoje codzienne narzędzia. Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie - dodajesz wykładniki an⋅am=a(n+m)a^n · a^m = a^(n+m). Gdy dzielisz - odejmujesz wykładniki. Potęga ujemna to po prostu 1 podzielone przez potęgę dodatnią.

Z logarytmami jest podobnie - log sumy to suma logarytmów, a logarytm iloczynu to różnica logarytmów. To wszystko będzie ci potrzebne przy całkowaniu!

💡 Wskazówka: Te wzory to jak alfabet w matematyce - musisz je znać na pamięć, żeby swobodnie rozwiązywać zadania!

2
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Podstawowe wzory całkowania

Całkowanie to odwrotność różniczkowania - jeśli F'xx = fxx, to ∫fxxdx = Fxx + c. Stała całkowania "c" pojawia się zawsze przy całkach nieoznaczonych!

Najważniejsze wzory: ∫x^n dx = x^n+1n+1/n+1n+1 + c, ∫1/x dx = ln|x| + c, oraz ∫e^x dx = e^x + c. Gdy masz stałą przed funkcją, wynosisz ją przed całkę.

Całkowanie przez podstawienie używasz, gdy funkcja jest zbyt skomplikowana. Podstawiasz t = jakieś wyrażenie, liczysz dt, podstawiasz i całkujesz. Na końcu wracasz do zmiennej x.

💡 Wskazówka: Jeśli widzisz funkcję złożoną jak√(2x+1)jak √(2x+1), od razu myśl o podstawieniu!

3
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Całkowanie przez części to twój as w rękawie przy iloczynach funkcji! Wzór: ∫fxx·g'xxdx = fxx·gxx - ∫f'xx·gxxdx. Najczęściej używasz go z logarytmami i funkcjami wykładniczymi.

Całki oznaczone mają granice całkowania i dają konkretną liczbę. Wzór: ∫[a→b]fxxdx = [Fxx][a→b] = Fbb - Faa. Nie ma tutaj stałej całkowania!

Praktyczne zastosowania to obliczanie pól powierzchni pod wykresami. Gdy funkcja jest pod osią x, pole będzie ujemne - wtedy bierzesz wartość bezwzględną.

💡 Wskazówka: W całkach oznaczonych zawsze podstawiaj najpierw górną granicę, potem odejmujesz wartość dla dolnej granicy!

4
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Obliczanie pól między wykresami

Gdy chcesz obliczyć pole między dwoma wykresami, najpierw znajdź punkty przecięcia funkcji. Następnie całkujesz różnicę funkcji: P = ∫[a→b](gxx - fxx)dx, gdzie gxx jest funkcją "górną".

W przykładzie z parabolą y = x² - 1 między x = -1 i x = 1, pole wynosi 4/3. Pamiętaj, że gdy parabola jest pod osią x, musisz odejmować od 0!

Punkty przecięcia znajdziesz przyrównując funkcje i rozwiązując równanie. Używasz delty i wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

💡 Wskazówka: Zawsze rysuj sobie szkic wykresów - od razu zobaczysz, która funkcja jest "na górze"!

5
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Równania różniczkowe - krok po kroku

Równania różniczkowe to równania z pochodnymi, ale nie panikuj - mają swój schemat rozwiązywania! Kluczem jest rozdzielenie zmiennych i przepisanie y' jako dy/dx.

Algorytm: 1) Rozdziel zmienne, 2) Przepisz y' = dy/dx, 3) Przerzuć dx na drugą stronę, 4) Całkuj obie strony, 5) Przekształć do postaci y = ..., 6) Podstaw warunek brzegowy, 7) Oblicz stałą c, 8) Zapisz ostateczną odpowiedź.

W przykładzie x + yy' = 0 z warunkiem y(2) = 2 otrzymujemy y = √−x2+8-x² + 8. Warunek brzegowy pozwala wyznaczyć stałą całkowania.

💡 Wskazówka: W równaniach różniczkowych zawsze sprawdź swoją odpowiedź - podstaw z powrotem do równania i zobacz czy się zgadza!

6
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Trudniejsze równania różniczkowe

Gdy masz równanie typu y' = ay², musisz pamiętać, że 1/y² w całce daje -1/y. Te równania wymagają więcej ostrożności przy podstawieniach.

W przykładzie y' = 2y + 1 z y(0) = 1 używamy podstawienia t = 2y + 1. Po całkowaniu otrzymujemy funkcję wykładniczą - to typowy rezultat dla tego typu równań.

Sprawdzanie odpowiedzi to zawsze dobry pomysł. Policz pochodną swojego wyniku i zobacz, czy spełnia pierwotne równanie różniczkowe.

💡 Wskazówka: Przy skomplikowanych równaniach rób podstawienia - zamień trudne wyrażenie na prostą zmienną t!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8910
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3800
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2875,678
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,7102
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3590
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6460
MatematykaMatematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3825,840
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6230
MatematykaMatematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

841,6682,536

Najpopularniejsze notatki

9
Język polskiJęzyk polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2517,271
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9780
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4033
K
BiologiaBiologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,4002
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,591374
Język polskiJęzyk polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4596,097
Język polskiJęzyk polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9274,302
Język polskiJęzyk polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,7027,869

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Stałe i Warunki Całkowania

Stała całkowania (C)

MatematykaMatematyka915 wyświetleń·Zaktualizowano 5 lip 2026·6 strony

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

user profile picture
Emilka@emka3939

Czas na całki i równania różniczkowe! Te matematyczne narzędzia to podstawa analizy matematycznej, która przyda ci się nie tylko na maturze, ale też w studiach technicznych.

1
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Zanim przejdziesz do całek, musisz opanować pochodne - to fundament wszystkiego! Pamiętaj, że pochodna stałej to zawsze 0, a pochodna x^n to nx^n−1n-1.

Wzory na potęgi to twoje codzienne narzędzia. Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie - dodajesz wykładniki an⋅am=a(n+m)a^n · a^m = a^(n+m). Gdy dzielisz - odejmujesz wykładniki. Potęga ujemna to po prostu 1 podzielone przez potęgę dodatnią.

Z logarytmami jest podobnie - log sumy to suma logarytmów, a logarytm iloczynu to różnica logarytmów. To wszystko będzie ci potrzebne przy całkowaniu!

💡 Wskazówka: Te wzory to jak alfabet w matematyce - musisz je znać na pamięć, żeby swobodnie rozwiązywać zadania!

2
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe wzory całkowania

Całkowanie to odwrotność różniczkowania - jeśli F'xx = fxx, to ∫fxxdx = Fxx + c. Stała całkowania "c" pojawia się zawsze przy całkach nieoznaczonych!

Najważniejsze wzory: ∫x^n dx = x^n+1n+1/n+1n+1 + c, ∫1/x dx = ln|x| + c, oraz ∫e^x dx = e^x + c. Gdy masz stałą przed funkcją, wynosisz ją przed całkę.

Całkowanie przez podstawienie używasz, gdy funkcja jest zbyt skomplikowana. Podstawiasz t = jakieś wyrażenie, liczysz dt, podstawiasz i całkujesz. Na końcu wracasz do zmiennej x.

💡 Wskazówka: Jeśli widzisz funkcję złożoną jak√(2x+1)jak √(2x+1), od razu myśl o podstawieniu!

3
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Całkowanie przez części to twój as w rękawie przy iloczynach funkcji! Wzór: ∫fxx·g'xxdx = fxx·gxx - ∫f'xx·gxxdx. Najczęściej używasz go z logarytmami i funkcjami wykładniczymi.

Całki oznaczone mają granice całkowania i dają konkretną liczbę. Wzór: ∫[a→b]fxxdx = [Fxx][a→b] = Fbb - Faa. Nie ma tutaj stałej całkowania!

Praktyczne zastosowania to obliczanie pól powierzchni pod wykresami. Gdy funkcja jest pod osią x, pole będzie ujemne - wtedy bierzesz wartość bezwzględną.

💡 Wskazówka: W całkach oznaczonych zawsze podstawiaj najpierw górną granicę, potem odejmujesz wartość dla dolnej granicy!

4
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Obliczanie pól między wykresami

Gdy chcesz obliczyć pole między dwoma wykresami, najpierw znajdź punkty przecięcia funkcji. Następnie całkujesz różnicę funkcji: P = ∫[a→b](gxx - fxx)dx, gdzie gxx jest funkcją "górną".

W przykładzie z parabolą y = x² - 1 między x = -1 i x = 1, pole wynosi 4/3. Pamiętaj, że gdy parabola jest pod osią x, musisz odejmować od 0!

Punkty przecięcia znajdziesz przyrównując funkcje i rozwiązując równanie. Używasz delty i wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

💡 Wskazówka: Zawsze rysuj sobie szkic wykresów - od razu zobaczysz, która funkcja jest "na górze"!

5
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania różniczkowe - krok po kroku

Równania różniczkowe to równania z pochodnymi, ale nie panikuj - mają swój schemat rozwiązywania! Kluczem jest rozdzielenie zmiennych i przepisanie y' jako dy/dx.

Algorytm: 1) Rozdziel zmienne, 2) Przepisz y' = dy/dx, 3) Przerzuć dx na drugą stronę, 4) Całkuj obie strony, 5) Przekształć do postaci y = ..., 6) Podstaw warunek brzegowy, 7) Oblicz stałą c, 8) Zapisz ostateczną odpowiedź.

W przykładzie x + yy' = 0 z warunkiem y(2) = 2 otrzymujemy y = √−x2+8-x² + 8. Warunek brzegowy pozwala wyznaczyć stałą całkowania.

💡 Wskazówka: W równaniach różniczkowych zawsze sprawdź swoją odpowiedź - podstaw z powrotem do równania i zobacz czy się zgadza!

6
of 6
* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Trudniejsze równania różniczkowe

Gdy masz równanie typu y' = ay², musisz pamiętać, że 1/y² w całce daje -1/y. Te równania wymagają więcej ostrożności przy podstawieniach.

W przykładzie y' = 2y + 1 z y(0) = 1 używamy podstawienia t = 2y + 1. Po całkowaniu otrzymujemy funkcję wykładniczą - to typowy rezultat dla tego typu równań.

Sprawdzanie odpowiedzi to zawsze dobry pomysł. Policz pochodną swojego wyniku i zobacz, czy spełnia pierwotne równanie różniczkowe.

💡 Wskazówka: Przy skomplikowanych równaniach rób podstawienia - zamień trudne wyrażenie na prostą zmienną t!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8910
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3800
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2875,678
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,7102
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3590
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6460
MatematykaMatematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3825,840
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6230
MatematykaMatematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

841,6682,536

Najpopularniejsze notatki

9
Język polskiJęzyk polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2517,271
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9780
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4033
K
BiologiaBiologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,4002
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,591374
Język polskiJęzyk polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4596,097
Język polskiJęzyk polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9274,302
Język polskiJęzyk polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,7027,869

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS