Matematyka

Stałe i Warunki Całkowania

Stała całkowania (C)

828

•

12 lut 2026

•

6 strony

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

Emilka

@emka3939

Czas na całki i równania różniczkowe! Te matematyczne narzędzia to... Pokaż więcej

1 / 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Zanim przejdziesz do całek, musisz opanować pochodne - to fundament wszystkiego! Pamiętaj, że pochodna stałej to zawsze 0, a pochodna x^n to nx^ $n-1$ .

Wzory na potęgi to twoje codzienne narzędzia. Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie - dodajesz wykładniki $a^n · a^m = a^(n+m)$ . Gdy dzielisz - odejmujesz wykładniki. Potęga ujemna to po prostu 1 podzielone przez potęgę dodatnią.

Z logarytmami jest podobnie - log sumy to suma logarytmów, a logarytm iloczynu to różnica logarytmów. To wszystko będzie ci potrzebne przy całkowaniu!

💡 Wskazówka: Te wzory to jak alfabet w matematyce - musisz je znać na pamięć, żeby swobodnie rozwiązywać zadania!

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Podstawowe wzory całkowania

Całkowanie to odwrotność różniczkowania - jeśli F'(x) = f(x), to ∫f(x)dx = F(x) + c. Stała całkowania "c" pojawia się zawsze przy całkach nieoznaczonych!

Najważniejsze wzory: ∫x^n dx = x^ $n+1$ / $n+1$ + c, ∫1/x dx = ln|x| + c, oraz ∫e^x dx = e^x + c. Gdy masz stałą przed funkcją, wynosisz ją przed całkę.

Całkowanie przez podstawienie używasz, gdy funkcja jest zbyt skomplikowana. Podstawiasz t = jakieś wyrażenie, liczysz dt, podstawiasz i całkujesz. Na końcu wracasz do zmiennej x.

💡 Wskazówka: Jeśli widzisz funkcję złożoną $jak √(2x+1)$ , od razu myśl o podstawieniu!

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Całkowanie przez części to twój as w rękawie przy iloczynach funkcji! Wzór: ∫f(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) - ∫f'(x)·g(x)dx. Najczęściej używasz go z logarytmami i funkcjami wykładniczymi.

Całki oznaczone mają granice całkowania i dają konkretną liczbę. Wzór: ∫[a→b]f(x)dx = [F(x)][a→b] = F(b) - F(a). Nie ma tutaj stałej całkowania!

Praktyczne zastosowania to obliczanie pól powierzchni pod wykresami. Gdy funkcja jest pod osią x, pole będzie ujemne - wtedy bierzesz wartość bezwzględną.

💡 Wskazówka: W całkach oznaczonych zawsze podstawiaj najpierw górną granicę, potem odejmujesz wartość dla dolnej granicy!

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Obliczanie pól między wykresami

Gdy chcesz obliczyć pole między dwoma wykresami, najpierw znajdź punkty przecięcia funkcji. Następnie całkujesz różnicę funkcji: P = ∫[a→b] $g(x) - f(x)$ dx, gdzie g(x) jest funkcją "górną".

W przykładzie z parabolą y = x² - 1 między x = -1 i x = 1, pole wynosi 4/3. Pamiętaj, że gdy parabola jest pod osią x, musisz odejmować od 0!

Punkty przecięcia znajdziesz przyrównując funkcje i rozwiązując równanie. Używasz delty i wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

💡 Wskazówka: Zawsze rysuj sobie szkic wykresów - od razu zobaczysz, która funkcja jest "na górze"!

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Równania różniczkowe - krok po kroku

Równania różniczkowe to równania z pochodnymi, ale nie panikuj - mają swój schemat rozwiązywania! Kluczem jest rozdzielenie zmiennych i przepisanie y' jako dy/dx.

Algorytm: 1) Rozdziel zmienne, 2) Przepisz y' = dy/dx, 3) Przerzuć dx na drugą stronę, 4) Całkuj obie strony, 5) Przekształć do postaci y = ..., 6) Podstaw warunek brzegowy, 7) Oblicz stałą c, 8) Zapisz ostateczną odpowiedź.

W przykładzie x + yy' = 0 z warunkiem y(2) = 2 otrzymujemy y = √ $-x² + 8$ . Warunek brzegowy pozwala wyznaczyć stałą całkowania.

💡 Wskazówka: W równaniach różniczkowych zawsze sprawdź swoją odpowiedź - podstaw z powrotem do równania i zobacz czy się zgadza!

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Trudniejsze równania różniczkowe

Gdy masz równanie typu y' = ay², musisz pamiętać, że 1/y² w całce daje -1/y. Te równania wymagają więcej ostrożności przy podstawieniach.

W przykładzie y' = 2y + 1 z y(0) = 1 używamy podstawienia t = 2y + 1. Po całkowaniu otrzymujemy funkcję wykładniczą - to typowy rezultat dla tego typu równań.

Sprawdzanie odpowiedzi to zawsze dobry pomysł. Policz pochodną swojego wyniku i zobacz, czy spełnia pierwotne równanie różniczkowe.

💡 Wskazówka: Przy skomplikowanych równaniach rób podstawienia - zamień trudne wyrażenie na prostą zmienną t!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcje

2992

Odczytywanie własności funkcji

1490

Szkicowanie wykresu funkcji

1857

Więcej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Podstawowe wzory całkowania

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Obliczanie pól między wykresami

Równania różniczkowe - krok po kroku

Trudniejsze równania różniczkowe

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Funkcje

Odczytywanie własności funkcji

Szkicowanie wykresu funkcji

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Geometrii Przestrzennej

Stereoizomeria

Podstawy Logarytmów

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Dziady III: Mesjanizm i Konrad

Analiza Dziadów III

Konflikty w Antygonie

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Analiza Ksiąg Biblijnych

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawowe wzory całkowania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Obliczanie pól między wykresami

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Równania różniczkowe - krok po kroku

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Trudniejsze równania różniczkowe

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Właściwości Funkcji

Monotoniczność Funkcji

Wykresy Funkcji: Przewodnik

Hiperbola i Asymptoty

Przekształcenia Wykresów Funkcji

Definicja i Właściwości Funkcji

Podobne notatki

Funkcje

Odczytywanie własności funkcji

Szkicowanie wykresu funkcji

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Geometrii Przestrzennej

Stereoizomeria

Podstawy Logarytmów

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy