Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory i zadania

Otwórz

Maria Łukaszewicz

17.07.2022

Matematyka

Ciągi

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory i zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Ciągi liczbowe i ich własności - kompleksowe omówienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych wraz z ich własnościami i wzorami.

• Ciąg arytmetyczny wzór ogólny definiuje się jako ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała
• Monotoniczność ciągu określa jego zachowanie - może być rosnący, malejący, niemalejący lub nierosnący
• Wzór na sumę ciągu arytmetycznego i wzór na sumę ciągu geometrycznego stanowią kluczowe formuły w analizie ciągów
• Szczególną uwagę poświęcono warunkom określającym typ ciągu oraz jego własności

...

17.07.2022

2149

<p>Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, którego długość jest określona. Każdy kolejny wyraz ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość. Aby

Zobacz

Ciągi arytmetyczne

Szczegółowe omówienie ciągów arytmetycznych i ich własności. Przedstawiono kluczowe wzory i definicje.

Definition: Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + $n-1$ ·r, gdzie r to różnica ciągu.

Example: Dla ciągu arytmetycznego spełniona jest zależność: a2 - a1 = a3 - a2

Quote: "Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0, malejący, gdy r<0."

Zobacz

Sumy ciągów i ciągi geometryczne

Przedstawienie wzorów na sumę ciągu arytmetycznego oraz wprowadzenie pojęcia ciągu geometrycznego.

Definition: Suma ciągu arytmetycznego: Sn = $n/2$ $a1 + an$ = $n/2$ $2a1 + (n-1)r$

Highlight: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz $oprócz pierwszego$ powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q $iloraz ciągu$ .

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego - stała liczba q, przez którą mnoży się każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Zobacz

Własności ciągów geometrycznych

Omówienie własności ciągów geometrycznych oraz warunków ich monotoniczności.

Definition: Ciąg geometryczny jest rosnący, gdy q>1, malejący, gdy 0<q<1.

Highlight: Wzór na sumę ciągu geometrycznego: Sn = a1 $1-qn$ / $1-q$ , gdzie q≠1

Example: W ciągu geometrycznym każdy wyraz $oprócz pierwszego$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: an = √ $an-1·an+1$

Vocabulary: Średnia geometryczna - pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.

Podobne notatki

369

4/1

Ciąg arytmetyczny

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

Know Matematyka - wzory ciągi liczbowe thumbnail

627

4/2

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

Różne wzory związane z działem Ciągi geometryczne i arytmetyczne

100

3960

Granica ciągu

Czym jest granica ciągu, jak się ją wyznacza (rozwiązane przykłady!), sztuczki, symbole nieoznaczone, twierdzenie o trzech ciągach

406

1/2

ciąg geometryczny

zadania maturalne, krok po kroku

197

7220

Ciągi

ciąg geometryczny, ciąg arytmetyczny, szereg geometryczny

260

Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

2149

•

17 lip 2022

•

4 strony

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory i zadania

Maria Łukaszewicz

@mari.luk

Ciągi liczbowe i ich własności - kompleksowe omówienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych wraz z ich własnościami i wzorami.

• Ciąg arytmetyczny wzór ogólny definiuje się jako ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała
• Monotoniczność ciąguokreśla jego... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi arytmetyczne

Szczegółowe omówienie ciągów arytmetycznych i ich własności. Przedstawiono kluczowe wzory i definicje.

Definition: Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + $n-1$ ·r, gdzie r to różnica ciągu.

Example: Dla ciągu arytmetycznego spełniona jest zależność: a2 - a1 = a3 - a2

Quote: "Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0, malejący, gdy r<0."

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Sumy ciągów i ciągi geometryczne

Przedstawienie wzorów na sumę ciągu arytmetycznego oraz wprowadzenie pojęcia ciągu geometrycznego.

Definition: Suma ciągu arytmetycznego: Sn = $n/2$ $a1 + an$ = $n/2$ $2a1 + (n-1)r$

Highlight: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz $oprócz pierwszego$ powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q $iloraz ciągu$ .

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego - stała liczba q, przez którą mnoży się każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Własności ciągów geometrycznych

Omówienie własności ciągów geometrycznych oraz warunków ich monotoniczności.

Definition: Ciąg geometryczny jest rosnący, gdy q>1, malejący, gdy 0<q<1.

Highlight: Wzór na sumę ciągu geometrycznego: Sn = a1 $1-qn$ / $1-q$ , gdzie q≠1

Example: W ciągu geometrycznym każdy wyraz $oprócz pierwszego$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: an = √ $an-1·an+1$

Vocabulary: Średnia geometryczna - pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia ciągów

Rozdział wprowadza fundamentalne pojęcia dotyczące ciągów liczbowych. Przedstawiono definicje i przykłady ciągów nieskończonych oraz skończonych.

Definition: Ciąg to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie.

Example: Przykład ciągu: an = 2n + 1, gdzie kolejne wyrazy to: 3, 5, 7, 9, ...

Highlight: Ciągi monotoniczne dzielą się na rosnące i malejące, gdzie dla ciągu rosnącego spełniona jest nierówność an < an+1.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - własność określająca zachowanie wartości kolejnych wyrazów ciągu.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

369

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

627

Granica ciągu

3960

100

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS