Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory i zadania

Maria Łukaszewicz

26.09.2025

Matematyka

Ciągi

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

Ciąg arytmetyczny

2177

•

26 wrz 2025

•

4 strony

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory i zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Maria Łukaszewicz

@mari.luk

Ciągi liczbowe i ich własności- kompleksowe omówienie ciągów arytmetycznych... Pokaż więcej

1 / 4

<p>Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, którego długość jest określona. Każdy kolejny wyraz ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość. Aby

Ciągi arytmetyczne

Szczegółowe omówienie ciągów arytmetycznych i ich własności. Przedstawiono kluczowe wzory i definicje.

Definition: Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + $n-1$ ·r, gdzie r to różnica ciągu.

Example: Dla ciągu arytmetycznego spełniona jest zależność: a2 - a1 = a3 - a2

Quote: "Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0, malejący, gdy r<0."

Sumy ciągów i ciągi geometryczne

Przedstawienie wzorów na sumę ciągu arytmetycznego oraz wprowadzenie pojęcia ciągu geometrycznego.

Definition: Suma ciągu arytmetycznego: Sn = $n/2$ $a1 + an$ = $n/2$ $2a1 + (n-1)r$

Highlight: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu).

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego - stała liczba q, przez którą mnoży się każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Własności ciągów geometrycznych

Omówienie własności ciągów geometrycznych oraz warunków ich monotoniczności.

Definition: Ciąg geometryczny jest rosnący, gdy q>1, malejący, gdy 0<q<1.

Highlight: Wzór na sumę ciągu geometrycznego: Sn = a1 $1-qn$ / $1-q$ , gdzie q≠1

Example: W ciągu geometrycznym każdy wyraz $oprócz pierwszego$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: an = √ $an-1·an+1$

Vocabulary: Średnia geometryczna - pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.

Podstawowe pojęcia ciągów

Rozdział wprowadza fundamentalne pojęcia dotyczące ciągów liczbowych. Przedstawiono definicje i przykłady ciągów nieskończonych oraz skończonych.

Definition: Ciąg to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie.

Example: Przykład ciągu: an = 2n + 1, gdzie kolejne wyrazy to: 3, 5, 7, 9, ...

Highlight: Ciągi monotoniczne dzielą się na rosnące i malejące, gdzie dla ciągu rosnącego spełniona jest nierówność an < an+1.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - własność określająca zachowanie wartości kolejnych wyrazów ciągu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

matematyka matura podstawa 2020

898

Ciągi

1463

Ciąg arytmetyczny

372

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

Ciąg arytmetyczny

Matematyka

•

2177

•

26 wrz 2025

•

4 strony

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory i zadania

Maria Łukaszewicz

@mari.luk

Ciągi liczbowe i ich własności - kompleksowe omówienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych wraz z ich własnościami i wzorami.

• Ciąg arytmetyczny wzór ogólny definiuje się jako ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała
• Monotoniczność ciąguokreśla jego... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi arytmetyczne

Szczegółowe omówienie ciągów arytmetycznych i ich własności. Przedstawiono kluczowe wzory i definicje.

Definition: Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + $n-1$ ·r, gdzie r to różnica ciągu.

Example: Dla ciągu arytmetycznego spełniona jest zależność: a2 - a1 = a3 - a2

Quote: "Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0, malejący, gdy r<0."

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Sumy ciągów i ciągi geometryczne

Przedstawienie wzorów na sumę ciągu arytmetycznego oraz wprowadzenie pojęcia ciągu geometrycznego.

Definition: Suma ciągu arytmetycznego: Sn = $n/2$ $a1 + an$ = $n/2$ $2a1 + (n-1)r$

Highlight: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu).

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego - stała liczba q, przez którą mnoży się każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Własności ciągów geometrycznych

Omówienie własności ciągów geometrycznych oraz warunków ich monotoniczności.

Definition: Ciąg geometryczny jest rosnący, gdy q>1, malejący, gdy 0<q<1.

Highlight: Wzór na sumę ciągu geometrycznego: Sn = a1 $1-qn$ / $1-q$ , gdzie q≠1

Example: W ciągu geometrycznym każdy wyraz $oprócz pierwszego$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: an = √ $an-1·an+1$

Vocabulary: Średnia geometryczna - pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia ciągów

Rozdział wprowadza fundamentalne pojęcia dotyczące ciągów liczbowych. Przedstawiono definicje i przykłady ciągów nieskończonych oraz skończonych.

Definition: Ciąg to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie.

Example: Przykład ciągu: an = 2n + 1, gdzie kolejne wyrazy to: 3, 5, 7, 9, ...

Highlight: Ciągi monotoniczne dzielą się na rosnące i malejące, gdzie dla ciągu rosnącego spełniona jest nierówność an < an+1.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - własność określająca zachowanie wartości kolejnych wyrazów ciągu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące równań, funkcji, geometrii oraz ciągów. Idealny materiał do nauki i powtórki przed egzaminem.

Matematyka

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory, przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe wzory na różnice, ilorazy oraz sumy ciągów.

Matematyka

Ciąg Arytmetyczny: Wzory i Zastosowania

Zrozumienie ciągu arytmetycznego (an) z kluczowymi wzorami i definicjami. Dowiedz się, jak obliczać sumy i wyrazy ciągu arytmetycznego, a także zastosowania w zadaniach matematycznych. Idealne dla uczniów na poziomie podstawowym i rozszerzonym.

Matematyka

Matura Matematyka 2023

Zbiór zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 roku. Obejmuje zagadnienia takie jak funkcje, geometria, obliczanie objętości i pól powierzchni, a także działania na potęgach i rozwiązywanie nierówności. Idealne materiały do nauki i powtórki przed maturą.

Matematyka

Usuwanie Niewymierności Mianownika

Zrozumienie technik usuwania niewymierności z mianownika. Ta prezentacja omawia metody, takie jak skrócone mnożenie oraz przykłady zastosowania, aby uprościć wyrażenia algebraiczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Ciągi Liczb: Matura

Analiza zadań maturalnych dotyczących ciągów liczbowych. Dowiedz się, które liczby nie są wyrazami ciągu o wzorze ogólnym an = 4n + 2. Obejmuje przykłady, rozwiązania oraz kluczowe pojęcia z zakresu podstaw precalculus. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

Matematyka

Podobne notatki

matematyka matura podstawa 2020

898

Ciągi

1463

Ciąg arytmetyczny

372

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS