Ciągi

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

1436

•

26 mar 2022

•

1 strona

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne - Wzory i Zadania PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Martyna Kramer

@martynakramer

Ciągi arytmetyczne i geometryczne to kluczowe zagadnienia w matematyce, często... Pokaż więcej

•cing arytmetycony
--
a
On-1 +On+!
aq.an
• ciag geometrycony
q=-anti
5n =
Weor na sume
9, (1-9)
1-9
Sn=na
zadania 1
190
Az = Q₁+25
a=Q₂ +4
z

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i zadania

Strona ta zawiera kompleksowe omówienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych, prezentując najważniejsze wzory oraz przykładowe zadania, które często pojawiają się na egzaminach maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym.

Ciąg arytmetyczny

Definition: Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Kluczowe wzory dla ciągu arytmetycznego:

Wzór na n-ty wyraz: an = a1 + $n-1$ r
Wzór na sumę n wyrazów: Sn = $n/2$ $a1 + an$

gdzie:

a1 - pierwszy wyraz ciągu
r - różnica ciągu
n - liczba wyrazów

Highlight: W ciągu arytmetycznym, każdy wyraz $oprócz pierwszego i ostatniego$ jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów.

Ciąg geometryczny

Definition: Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały.

Kluczowe wzory dla ciągu geometrycznego:

Wzór na n-ty wyraz: an = a1 * q^ $n-1$
Wzór na sumę n wyrazów: Dla q ≠ 1: Sn = a1 * $1 - q^n$ / $1 - q$ Dla q = 1: Sn = n * a1

gdzie:

a1 - pierwszy wyraz ciągu
q - iloraz ciągu
n - liczba wyrazów

Highlight: W ciągu geometrycznym, każdy wyraz $oprócz pierwszego i ostatniego$ jest średnią geometryczną swoich sąsiadów.

Przykładowe zadania

Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym $an$ dane są: a2 = 5 i a3 = 11. Oblicz a5.

Example: Rozwiązanie:

Obliczamy różnicę ciągu: r = a3 - a2 = 11 - 5 = 6

Znając a2 i r, możemy obliczyć a1: a1 = a2 - r = 5 - 6 = -1

Teraz możemy użyć wzoru na n-ty wyraz: a5 = a1 + $5-1$ r = -1 + 4*6 = 23

Odpowiedź: a5 = 23

Zadanie 2

W ciągu geometrycznym $an$ dane są: a1 = 3 i a2 = 24. Oblicz iloraz tego ciągu.

Example: Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ilorazu ciągu geometrycznego: q = a2 / a1

Podstawiamy dane: q = 24 / 3 = 8

Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi 8

Zadanie 3

W ciągu arytmetycznym $an$ dane są: a1 = 13 i a2 = 39. Oblicz wyraz a5.

Example: Rozwiązanie:

Obliczamy różnicę ciągu: r = a2 - a1 = 39 - 13 = 26

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz: a5 = a1 + $5-1$ r = 13 + 4*26 = 117

Odpowiedź: a5 = 117

Zadanie 4

W malejącym ciągu geometrycznym $an$ dane są: a1 = 2 i a2 = -4. Oblicz iloraz tego ciągu.

Example: Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ilorazu ciągu geometrycznego: q = a2 / a1

Podstawiamy dane: q = -4 / 2 = -2

Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi -2

Vocabulary:

Ciąg arytmetyczny - sekwencja liczb, w której różnica między kolejnymi wyrazami jest stała

Ciąg geometryczny - sekwencja liczb, w której iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały

Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu

Iloraz ciągu geometrycznego - stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu

Te przykłady i wzory stanowią solidną podstawę do rozwiązywania zadań z ciągów arytmetycznych i geometrycznych na egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym. Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie koncepcji i praktyka w rozwiązywaniu różnorodnych zadań.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Silnia

260

Ciągi

8462

Ciąg arytmetyczny

369

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

1436

•

26 mar 2022

•

1 strona

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne - Wzory i Zadania PDF

Martyna Kramer

@martynakramer

Ciągi arytmetyczne i geometryczne to kluczowe zagadnienia w matematyce, często pojawiające się na egzaminach maturalnych. Poniżej przedstawiono szczegółowe omówienie najważniejszych wzorów i przykładowych zadań:

• Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się stałą różnicą między kolejnymi wyrazami.
• Ciąg geometrycznyma stały iloraz... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i zadania

Ciąg arytmetyczny

Definition: Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Kluczowe wzory dla ciągu arytmetycznego:

Wzór na n-ty wyraz: an = a1 + $n-1$ r
Wzór na sumę n wyrazów: Sn = $n/2$ $a1 + an$

gdzie:

a1 - pierwszy wyraz ciągu
r - różnica ciągu
n - liczba wyrazów

Highlight: W ciągu arytmetycznym, każdy wyraz $oprócz pierwszego i ostatniego$ jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów.

Ciąg geometryczny

Definition: Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały.

Kluczowe wzory dla ciągu geometrycznego:

Wzór na n-ty wyraz: an = a1 * q^ $n-1$
Wzór na sumę n wyrazów: Dla q ≠ 1: Sn = a1 * $1 - q^n$ / $1 - q$ Dla q = 1: Sn = n * a1

gdzie:

a1 - pierwszy wyraz ciągu
q - iloraz ciągu
n - liczba wyrazów

Highlight: W ciągu geometrycznym, każdy wyraz $oprócz pierwszego i ostatniego$ jest średnią geometryczną swoich sąsiadów.

Przykładowe zadania

Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym $an$ dane są: a2 = 5 i a3 = 11. Oblicz a5.

Example: Rozwiązanie:

Obliczamy różnicę ciągu: r = a3 - a2 = 11 - 5 = 6

Znając a2 i r, możemy obliczyć a1: a1 = a2 - r = 5 - 6 = -1

Teraz możemy użyć wzoru na n-ty wyraz: a5 = a1 + $5-1$ r = -1 + 4*6 = 23

Odpowiedź: a5 = 23

Zadanie 2

W ciągu geometrycznym $an$ dane są: a1 = 3 i a2 = 24. Oblicz iloraz tego ciągu.

Example: Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ilorazu ciągu geometrycznego: q = a2 / a1

Podstawiamy dane: q = 24 / 3 = 8

Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi 8

Zadanie 3

W ciągu arytmetycznym $an$ dane są: a1 = 13 i a2 = 39. Oblicz wyraz a5.

Example: Rozwiązanie:

Obliczamy różnicę ciągu: r = a2 - a1 = 39 - 13 = 26

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz: a5 = a1 + $5-1$ r = 13 + 4*26 = 117

Odpowiedź: a5 = 117

Zadanie 4

W malejącym ciągu geometrycznym $an$ dane są: a1 = 2 i a2 = -4. Oblicz iloraz tego ciągu.

Example: Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ilorazu ciągu geometrycznego: q = a2 / a1

Podstawiamy dane: q = -4 / 2 = -2

Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi -2

Vocabulary:

Ciąg arytmetyczny - sekwencja liczb, w której różnica między kolejnymi wyrazami jest stała

Ciąg geometryczny - sekwencja liczb, w której iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały

Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu

Iloraz ciągu geometrycznego - stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Silnia

260

Ciągi

8462

Ciąg arytmetyczny

369

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS