Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i zadania

Strona ta zawiera kompleksowe omówienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych, prezentując najważniejsze wzory oraz przykładowe zadania, które często pojawiają się na egzaminach maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym.

Ciąg arytmetyczny

Definition: Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Kluczowe wzory dla ciągu arytmetycznego:

• Wzór na n-ty wyraz: an = a1 + (n-1)r
• Wzór na sumę n wyrazów: Sn = (n/2)(a1 + an)

gdzie:

• a1 - pierwszy wyraz ciągu
• r - różnica ciągu
• n - liczba wyrazów

Highlight: W ciągu arytmetycznym, każdy wyraz (oprócz pierwszego i ostatniego) jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów.

Ciąg geometryczny

Definition: Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały.

Kluczowe wzory dla ciągu geometrycznego:

• Wzór na n-ty wyraz: an = a1 * q^(n-1)
• Wzór na sumę n wyrazów:
  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
  • Dla q = 1: Sn = n * a1

gdzie:

• a1 - pierwszy wyraz ciągu
• q - iloraz ciągu
• n - liczba wyrazów

Highlight: W ciągu geometrycznym, każdy wyraz (oprócz pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną swoich sąsiadów.

Przykładowe zadania

Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a2 = 5 i a3 = 11. Oblicz a5.

Example: Rozwiązanie:

1. Obliczamy różnicę ciągu: r = a3 - a2 = 11 - 5 = 6
2. Znając a2 i r, możemy obliczyć a1: a1 = a2 - r = 5 - 6 = -1
3. Teraz możemy użyć wzoru na n-ty wyraz: a5 = a1 + (5-1)r = -1 + 4*6 = 23

Odpowiedź: a5 = 23

Zadanie 2

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 3 i a2 = 24. Oblicz iloraz tego ciągu.

Example: Rozwiązanie:

1. Korzystamy z definicji ilorazu ciągu geometrycznego: q = a2 / a1
2. Podstawiamy dane: q = 24 / 3 = 8

Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi 8

Zadanie 3

W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a1 = 13 i a2 = 39. Oblicz wyraz a5.

Example: Rozwiązanie:

1. Obliczamy różnicę ciągu: r = a2 - a1 = 39 - 13 = 26
2. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz: a5 = a1 + (5-1)r = 13 + 4*26 = 117

Odpowiedź: a5 = 117

Zadanie 4

W malejącym ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 2 i a2 = -4. Oblicz iloraz tego ciągu.

Example: Rozwiązanie:

1. Korzystamy z definicji ilorazu ciągu geometrycznego: q = a2 / a1
2. Podstawiamy dane: q = -4 / 2 = -2

Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi -2

Vocabulary:

• Ciąg arytmetyczny - sekwencja liczb, w której różnica między kolejnymi wyrazami jest stała
• Ciąg geometryczny - sekwencja liczb, w której iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały
• Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu
• Iloraz ciągu geometrycznego - stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu

Te przykłady i wzory stanowią solidną podstawę do rozwiązywania zadań z ciągów arytmetycznych i geometrycznych na egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym. Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie koncepcji i praktyka w rozwiązywaniu różnorodnych zadań.