Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Pochodne węglowodorów
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Świat substancji
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
13
1
mexiiee
30.11.2025
Matematyka
Ciągi określone rekurencyjnie
1264
•
30 lis 2025
•
mexiiee
@mexiiee_jor3
Ciągi określone rekurencyjnie to sposób opisywania ciągów liczbowych, w którym... Pokaż więcej
Ciąg określony rekurencyjnie to taki, w którym najpierw podajemy początkowe wyrazy (często tylko pierwszy), a następnie wzór pozwalający obliczyć każdy kolejny wyraz na podstawie poprzednich. Dzięki temu możemy generować kolejne elementy ciągu krok po kroku.
Aby ciąg był poprawnie zdefiniowany rekurencyjnie, muszą być spełnione dwa warunki. Po pierwsze, musimy określić skończony zbiór początkowych wyrazów ciągu. Po drugie, potrzebujemy wzoru, który pozwala obliczyć każdy kolejny wyraz na podstawie poprzednich.
Ciąg arytmetyczny to jeden z najpopularniejszych przykładów ciągu rekurencyjnego. W tym ciągu różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i oznaczana przez r. Początkowe wyrazy takiego ciągu można zapisać jako: a₁ = a, a₂ = a₁ + r, a₃ = a₂ + r itd.
Warto zapamiętać! Wzór rekurencyjny przypomina domino - znając pierwszy element i zasadę przejścia, możesz obliczyć dowolnie wiele kolejnych elementów ciągu.
Ciąg arytmetyczny można zapisać w formie wzoru rekurencyjnego w elegancki sposób. Wzór ten składa się z dwóch części: wartości pierwszego wyrazu a₁ = a oraz reguły, że każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r do poprzedniego: a = a(n) + r dla n = 1, 2, 3...
Podobnie możemy zapisać rekurencyjnie ciąg geometryczny, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą wartość q (iloraz ciągu). Jego początkowe wyrazy to: a, aq, aq², aq³... Wzór rekurencyjny dla takiego ciągu to: a₁ = a oraz a = a(n) · q dla n = 1, 2, 3...
Korzystając z tych wzorów rekurencyjnych, możesz łatwo obliczyć dowolny wyraz ciągu, jeśli znasz wyrazy poprzedzające. Jest to szczególnie przydatne, gdy nie masz dostępu do wzoru ogólnego na n-ty wyraz.
Pamiętaj! W ciągu arytmetycznym dodajemy stałą wartość r, a w ciągu geometrycznym mnożymy przez stałą wartość q. Te różnice w operacjach matematycznych prowadzą do zupełnie innych zachowań tych ciągów.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
mexiiee
@mexiiee_jor3
Ciągi określone rekurencyjnie to sposób opisywania ciągów liczbowych, w którym każdy kolejny wyraz zależy od wyrazów poprzednich. To jedno z podstawowych narzędzi matematycznych, które pozwala nam w elegancki sposób opisywać różnorodne sekwencje liczbowe.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ciąg określony rekurencyjnie to taki, w którym najpierw podajemy początkowe wyrazy (często tylko pierwszy), a następnie wzór pozwalający obliczyć każdy kolejny wyraz na podstawie poprzednich. Dzięki temu możemy generować kolejne elementy ciągu krok po kroku.
Aby ciąg był poprawnie zdefiniowany rekurencyjnie, muszą być spełnione dwa warunki. Po pierwsze, musimy określić skończony zbiór początkowych wyrazów ciągu. Po drugie, potrzebujemy wzoru, który pozwala obliczyć każdy kolejny wyraz na podstawie poprzednich.
Ciąg arytmetyczny to jeden z najpopularniejszych przykładów ciągu rekurencyjnego. W tym ciągu różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i oznaczana przez r. Początkowe wyrazy takiego ciągu można zapisać jako: a₁ = a, a₂ = a₁ + r, a₃ = a₂ + r itd.
Warto zapamiętać! Wzór rekurencyjny przypomina domino - znając pierwszy element i zasadę przejścia, możesz obliczyć dowolnie wiele kolejnych elementów ciągu.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ciąg arytmetyczny można zapisać w formie wzoru rekurencyjnego w elegancki sposób. Wzór ten składa się z dwóch części: wartości pierwszego wyrazu a₁ = a oraz reguły, że każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r do poprzedniego: a = a(n) + r dla n = 1, 2, 3...
Podobnie możemy zapisać rekurencyjnie ciąg geometryczny, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą wartość q (iloraz ciągu). Jego początkowe wyrazy to: a, aq, aq², aq³... Wzór rekurencyjny dla takiego ciągu to: a₁ = a oraz a = a(n) · q dla n = 1, 2, 3...
Korzystając z tych wzorów rekurencyjnych, możesz łatwo obliczyć dowolny wyraz ciągu, jeśli znasz wyrazy poprzedzające. Jest to szczególnie przydatne, gdy nie masz dostępu do wzoru ogólnego na n-ty wyraz.
Pamiętaj! W ciągu arytmetycznym dodajemy stałą wartość r, a w ciągu geometrycznym mnożymy przez stałą wartość q. Te różnice w operacjach matematycznych prowadzą do zupełnie innych zachowań tych ciągów.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
13
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Zrozumienie potęg: podstawowe wzory i operacje na potęgach, w tym mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Kluczowe pojęcia: podstawa potęgi, wykładnik potęgi, wartości potęg. Przykłady i zastosowania.
MatematykaNotatka z matematyki dla klasy 1 liceum zakres podstawowy działania na ułamkach
MatematykaZrozumienie rodzajów równań (sprzeczne, oznaczone, nieoznaczone) oraz systemów liczbowych (liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne). Dowiedz się, jak rozwiązywać równania i tworzyć wyrażenia algebraiczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZrozumienie ułamków algebraicznych i równań wymiernych. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki, a także jak rozwiązywać równania wymierne. Kluczowe koncepcje obejmują uproszczenie ułamków, dziedzinę równań oraz zasady rozszerzania i skracania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.
MatematykaZgłębiaj teorię zbiorów, w tym definicje, rodzaje zbiorów oraz operacje takie jak suma, różnica i iloczyn. Dowiedz się, jak przedstawiać zbiory i analizować ich elementy. Idealne dla studentów matematyki i logiki. Typ: Podsumowanie.
MatematykaZrozumienie podstawowych symboli, wyrażeń i formuł matematycznych. Ta mapa myśli obejmuje symbole zbiorów, operacje na zbiorach, przedziały oraz wzory skróconego mnożenia. Idealna dla uczniów pragnących uporządkować wiedzę z matematyki.
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
