Jak Dzielić Wielomiany: Kalkulator i Zadania dla Ciebie!

Alishia Michaelson

3.09.2025

Matematyka

dzielenie wielomianów

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Dodawanie wielomianów

2650

•

3 wrz 2025

•

3 strony

Jak Dzielić Wielomiany: Kalkulator i Zadania dla Ciebie!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Alishia Michaelson

@alishiamichaelson

Dzielenie wielomianów(Polynomial Division) is a fundamental algebraic operation involving... Pokaż więcej

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

$1
Dzielenie wielomianów
HER
1. Mnożenie wielomianów przez liczbę.
3. (x³ + x²-8)= 3x²³² +21x² - 24
3
2. Muożenie wielomianów
"1
3
W(x) = x³

Polynomial Division Examples

This page provides detailed examples of dzielenie wielomianu przez dwumian (dividing a polynomial by a binomial) and more complex polynomial divisions.

Example problems solved:

a) $x³ + 2x² - 4x + 4$ ÷ $x - 1$ b) $x⁴ + x³ - 7x² - 13x - 6$ ÷ $x + 2$ c) $10x⁴ + 17x³ - 5x² - 10x + 3$ ÷ $2x + 3$

Example: For $x³ + 2x² - 4x + 4$ ÷ $x - 1$ , the solution is x² + 3x - 4 with no remainder.

Highlight: The page demonstrates the step-by-step process of dzielenie wielomianów (polynomial division), including how to check the results by multiplying the quotient by the divisor and adding any remainder.

Vocabulary: Dzielenie wielomianu przez dwumian Horner refers to a method of polynomial division named after William George Horner, which is an efficient algorithm for dividing polynomials.

Advanced Polynomial Division Problems

This page continues with more complex examples of dzielenie wielomianów $polynomial division$ , including higher-degree polynomials and different divisors.

Problems solved:

d) $3x⁵ - 7x⁴ - 11x³ + 16x² - 5x + 6$ ÷ $x - 3$ a) $3x³ + 5x² + 2x + 7$ ÷ $x + 1$ b) $x⁴ + x³ - 7x² - 13x - 6$ ÷ $x + 2$

Example: For $3x³ + 5x² + 2x + 7$ ÷ $x + 1$ , the solution is 3x² + 2x with a remainder of 7.

Highlight: These examples demonstrate dzielenie wielomianu przez wielomian stopnia większego od 1 (division of a polynomial by a polynomial of degree greater than 1) and dzielenie wielomianów z resztą (polynomial division with remainder).

Vocabulary: Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian refers to the polynomial remainder theorem, which is a useful tool in analyzing polynomial behavior.

Introduction to Polynomial Operations

This page introduces fundamental operations with polynomials, focusing on multiplication and division.

Multiplication of polynomials by a number: The example shows 3 $x³ + x² - 8$ = 3x³ + 3x² - 24
Multiplication of polynomials: Demonstrates the product of W $x$ = x³ + 2x² - 4x and V $x$ = -5x² + 8
Division of polynomials: Introduces the concept of polynomial division, showing the general form of the operation.

Definition: Polynomial divisibility is defined as follows: A polynomial W $x$ is divisible by polynomial P $x$ if there exists a polynomial Q $x$ such that W $x$ = P(x) • Q(x).

Highlight: Understanding polynomial divisibility is crucial for mastering more complex algebraic operations and problem-solving techniques.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

wielomiany

4966

143

dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

1966

wzory viete'a

2462

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Dodawanie wielomianów

Matematyka

•

2650

•

3 wrz 2025

•

3 strony

Jak Dzielić Wielomiany: Kalkulator i Zadania dla Ciebie!

Alishia Michaelson

@alishiamichaelson

Dzielenie wielomianów (Polynomial Division) is a fundamental algebraic operation involving the division of one polynomial by another. This process is crucial for simplifying complex expressions and solving higher-degree equations.

Key points:

Covers multiplication and division of polynomials
Explains divisibility of... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Polynomial Division Examples

This page provides detailed examples of dzielenie wielomianu przez dwumian (dividing a polynomial by a binomial) and more complex polynomial divisions.

Example problems solved:

a) $x³ + 2x² - 4x + 4$ ÷ $x - 1$ b) $x⁴ + x³ - 7x² - 13x - 6$ ÷ $x + 2$ c) $10x⁴ + 17x³ - 5x² - 10x + 3$ ÷ $2x + 3$

Example: For $x³ + 2x² - 4x + 4$ ÷ $x - 1$ , the solution is x² + 3x - 4 with no remainder.

Highlight: The page demonstrates the step-by-step process of dzielenie wielomianów (polynomial division), including how to check the results by multiplying the quotient by the divisor and adding any remainder.

Vocabulary: Dzielenie wielomianu przez dwumian Horner refers to a method of polynomial division named after William George Horner, which is an efficient algorithm for dividing polynomials.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Advanced Polynomial Division Problems

This page continues with more complex examples of dzielenie wielomianów $polynomial division$ , including higher-degree polynomials and different divisors.

Problems solved:

d) $3x⁵ - 7x⁴ - 11x³ + 16x² - 5x + 6$ ÷ $x - 3$ a) $3x³ + 5x² + 2x + 7$ ÷ $x + 1$ b) $x⁴ + x³ - 7x² - 13x - 6$ ÷ $x + 2$

Example: For $3x³ + 5x² + 2x + 7$ ÷ $x + 1$ , the solution is 3x² + 2x with a remainder of 7.

Highlight: These examples demonstrate dzielenie wielomianu przez wielomian stopnia większego od 1 (division of a polynomial by a polynomial of degree greater than 1) and dzielenie wielomianów z resztą (polynomial division with remainder).

Vocabulary: Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian refers to the polynomial remainder theorem, which is a useful tool in analyzing polynomial behavior.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Introduction to Polynomial Operations

This page introduces fundamental operations with polynomials, focusing on multiplication and division.

Multiplication of polynomials by a number: The example shows 3 $x³ + x² - 8$ = 3x³ + 3x² - 24
Multiplication of polynomials: Demonstrates the product of W $x$ = x³ + 2x² - 4x and V $x$ = -5x² + 8
Division of polynomials: Introduces the concept of polynomial division, showing the general form of the operation.

Definition: Polynomial divisibility is defined as follows: A polynomial W $x$ is divisible by polynomial P $x$ if there exists a polynomial Q $x$ such that W $x$ = P(x) • Q(x).

Highlight: Understanding polynomial divisibility is crucial for mastering more complex algebraic operations and problem-solving techniques.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

wielomiany

4966

143

dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

1966

wzory viete'a

2462

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS