Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

Ekstremum lokalne

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Własność funkcji

560

•

9 lip 2025

•

2 strony

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

weronika dąbkowska

@weeronikka

Ekstrema lokalne funkcjito kluczowe punkty na wykresie, gdzie funkcja... Pokaż więcej

ekstremum lokalne
definicja punkty charakteryzujące wykres funkcji, w których funkcja
przechodzi z rosnącej w malejącą i odwrotnie.
Stobuloz

Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, należy postępować według następującego algorytmu:

Wyznaczamy pochodną funkcji.
Sprawdzamy warunek konieczny $f'(x$ = 0), aby znaleźć potencjalne punkty ekstremalne.
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres funkcji.
Identyfikujemy punkty, w których wykres przecina oś lub zmienia znak - tam znajdują się ekstrema.
Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach ekstremalnych.

Example: Rozważmy funkcję f $x$ = 4x⁴ - x³ - 2x² + 12x - 5 dla x ∈ R.

Obliczamy pochodną: f' $x$ = 16x³ - 3x² - 4x + 12
Rozwiązujemy równanie f' $x$ = 0: 16x³ - 3x² - 4x + 12 = 0 x $16x² - 3x - 4$ + 12 = 0 $x - 3$ $4x² + 12x - 4$ = 0 x = 3 lub x = 2 lub x = -2
Analizujemy zachowanie funkcji w otoczeniu znalezionych punktów.
Obliczamy wartości funkcji w punktach ekstremalnych: f $-2$ = -25 $minimum lokalne$ f $2$ = 7 $maksimum lokalne$ f $3$ = 25 $minimum lokalne$

Highlight: W tym przykładzie funkcja ma dwa minima lokalne i jedno maksimum lokalne, co pokazuje, że ekstrema lokalne funkcji mogą występować wielokrotnie na wykresie jednej funkcji.

Zrozumienie i umiejętność stosowania tych metod jest kluczowa dla rozwiązywania zadań z zakresu ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych oraz bardziej złożonych problemów optymalizacyjnych.

Podstawy ekstremów lokalnych funkcji

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie funkcji, gdzie następuje zmiana jej charakteru z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Rozróżniamy dwa rodzaje ekstremów lokalnych: minimum lokalne i maksimum lokalne.

Definicja: Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja osiąga wartość najmniejszą $minimum lokalne$ lub największą $maksimum lokalne$ w pewnym otoczeniu tego punktu.

Aby określić, czy funkcja ma ekstremum lokalne, stosujemy dwa kluczowe warunki:

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ i ma w tym punkcie ekstremum, to f' $x₀$ = 0.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale $a,b$ oraz: f' $x$ > 0 dla x ∈ $a,x₀$ i f' $x$ < 0 dla x ∈ $x₀,b$ , to funkcja ma maksimum w punkcie x₀. f' $x$ < 0 dla x ∈ $a,x₀$ i f' $x$ > 0 dla x ∈ $x₀,b$ , to funkcja ma minimum w punkcie x₀.

Highlight: Warto pamiętać, że wartość minimum lokalnego funkcji może być większa od wartości maksimum lokalnego tej samej funkcji.

Vocabulary: Punkt stacjonarny funkcji to punkt, w którym pochodna funkcji równa się zero, czyli f' $x$ = 0.

Zrozumienie tych pojęć jest kluczowe dla analizy funkcji i rozwiązywania zadań związanych z ekstremami lokalnymi funkcji.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

odczytywanie własności funkcji

1010

Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu

5902

207

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Własność funkcji

Matematyka

•

560

•

9 lip 2025

•

2 strony

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

weronika dąbkowska

@weeronikka

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie, gdzie funkcja zmienia kierunek z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Zrozumienie tego pojęcia jest niezbędne w analizie matematycznej i rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych.

Definicja obejmuje minimum i maksimum lokalne
Warunki konieczne i wystarczające... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, należy postępować według następującego algorytmu:

Wyznaczamy pochodną funkcji.
Sprawdzamy warunek konieczny $f'(x$ = 0), aby znaleźć potencjalne punkty ekstremalne.
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres funkcji.
Identyfikujemy punkty, w których wykres przecina oś lub zmienia znak - tam znajdują się ekstrema.
Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach ekstremalnych.

Example: Rozważmy funkcję f $x$ = 4x⁴ - x³ - 2x² + 12x - 5 dla x ∈ R.

Obliczamy pochodną: f' $x$ = 16x³ - 3x² - 4x + 12
Rozwiązujemy równanie f' $x$ = 0: 16x³ - 3x² - 4x + 12 = 0 x $16x² - 3x - 4$ + 12 = 0 $x - 3$ $4x² + 12x - 4$ = 0 x = 3 lub x = 2 lub x = -2
Analizujemy zachowanie funkcji w otoczeniu znalezionych punktów.
Obliczamy wartości funkcji w punktach ekstremalnych: f $-2$ = -25 $minimum lokalne$ f $2$ = 7 $maksimum lokalne$ f $3$ = 25 $minimum lokalne$

Highlight: W tym przykładzie funkcja ma dwa minima lokalne i jedno maksimum lokalne, co pokazuje, że ekstrema lokalne funkcji mogą występować wielokrotnie na wykresie jednej funkcji.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy ekstremów lokalnych funkcji

Definicja: Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja osiąga wartość najmniejszą $minimum lokalne$ lub największą $maksimum lokalne$ w pewnym otoczeniu tego punktu.

Aby określić, czy funkcja ma ekstremum lokalne, stosujemy dwa kluczowe warunki:

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ i ma w tym punkcie ekstremum, to f' $x₀$ = 0.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale $a,b$ oraz: f' $x$ > 0 dla x ∈ $a,x₀$ i f' $x$ < 0 dla x ∈ $x₀,b$ , to funkcja ma maksimum w punkcie x₀. f' $x$ < 0 dla x ∈ $a,x₀$ i f' $x$ > 0 dla x ∈ $x₀,b$ , to funkcja ma minimum w punkcie x₀.

Highlight: Warto pamiętać, że wartość minimum lokalnego funkcji może być większa od wartości maksimum lokalnego tej samej funkcji.

Vocabulary: Punkt stacjonarny funkcji to punkt, w którym pochodna funkcji równa się zero, czyli f' $x$ = 0.

Zrozumienie tych pojęć jest kluczowe dla analizy funkcji i rozwiązywania zadań związanych z ekstremami lokalnymi funkcji.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

odczytywanie własności funkcji

1010

Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu

5902

207

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS