Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

Otwórz

weronika dąbkowska

2.04.2022

Matematyka

Ekstremum lokalne

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Własność funkcji

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie, gdzie funkcja zmienia kierunek z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Zrozumienie tego pojęcia jest niezbędne w analizie matematycznej i rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych.

Definicja obejmuje minimum i maksimum lokalne
Warunki konieczne i wystarczające dla istnienia ekstremów
Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji
Praktyczne zastosowania w rozwiązywaniu zadań matematycznych

2.04.2022

ekstremum lokalne
definicja punkty charakteryzujące wykres funkcji, w których funkcja
przechodzi z rosnącej w malejącą i odwrotnie.
Stobuloz

Zobacz

Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, należy postępować według następującego algorytmu:

Wyznaczamy pochodną funkcji.
Sprawdzamy warunek konieczny $f'(x$ = 0), aby znaleźć potencjalne punkty ekstremalne.
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres funkcji.
Identyfikujemy punkty, w których wykres przecina oś lub zmienia znak - tam znajdują się ekstrema.
Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach ekstremalnych.

Example: Rozważmy funkcję f $x$ = 4x⁴ - x³ - 2x² + 12x - 5 dla x ∈ R.

Obliczamy pochodną: f' $x$ = 16x³ - 3x² - 4x + 12
Rozwiązujemy równanie f' $x$ = 0: 16x³ - 3x² - 4x + 12 = 0 x $16x² - 3x - 4$ + 12 = 0 $x - 3$ $4x² + 12x - 4$ = 0 x = 3 lub x = 2 lub x = -2
Analizujemy zachowanie funkcji w otoczeniu znalezionych punktów.
Obliczamy wartości funkcji w punktach ekstremalnych: f $-2$ = -25 $minimum lokalne$ f $2$ = 7 $maksimum lokalne$ f $3$ = 25 $minimum lokalne$

Highlight: W tym przykładzie funkcja ma dwa minima lokalne i jedno maksimum lokalne, co pokazuje, że ekstrema lokalne funkcji mogą występować wielokrotnie na wykresie jednej funkcji.

Zrozumienie i umiejętność stosowania tych metod jest kluczowa dla rozwiązywania zadań z zakresu ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych oraz bardziej złożonych problemów optymalizacyjnych.

Podobne notatki

Know odczytywanie własności funkcji thumbnail

1008

1/2

odczytywanie własności funkcji

wartość funkcji, dziedzina, monotoniczność, miejsca zerowe, różnowartościowość funkcji, wartość najmniejsza i największa oraz wartości dodatnie i ujemne

207

5902

Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Matematyka - funkcje - odczytywanie własności funkcji z wykresu

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Własność funkcji

Matematyka

•

560

•

2 kwi 2022

•

2 strony

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

weronika dąbkowska

@weeronikka

Definicja obejmuje minimum i maksimum lokalne
Warunki konieczne i wystarczające... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, należy postępować według następującego algorytmu:

Wyznaczamy pochodną funkcji.
Sprawdzamy warunek konieczny $f'(x$ = 0), aby znaleźć potencjalne punkty ekstremalne.
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres funkcji.
Identyfikujemy punkty, w których wykres przecina oś lub zmienia znak - tam znajdują się ekstrema.
Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach ekstremalnych.

Example: Rozważmy funkcję f $x$ = 4x⁴ - x³ - 2x² + 12x - 5 dla x ∈ R.

Obliczamy pochodną: f' $x$ = 16x³ - 3x² - 4x + 12
Rozwiązujemy równanie f' $x$ = 0: 16x³ - 3x² - 4x + 12 = 0 x $16x² - 3x - 4$ + 12 = 0 $x - 3$ $4x² + 12x - 4$ = 0 x = 3 lub x = 2 lub x = -2
Analizujemy zachowanie funkcji w otoczeniu znalezionych punktów.
Obliczamy wartości funkcji w punktach ekstremalnych: f $-2$ = -25 $minimum lokalne$ f $2$ = 7 $maksimum lokalne$ f $3$ = 25 $minimum lokalne$

Highlight: W tym przykładzie funkcja ma dwa minima lokalne i jedno maksimum lokalne, co pokazuje, że ekstrema lokalne funkcji mogą występować wielokrotnie na wykresie jednej funkcji.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy ekstremów lokalnych funkcji

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie funkcji, gdzie następuje zmiana jej charakteru z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Rozróżniamy dwa rodzaje ekstremów lokalnych: minimum lokalne i maksimum lokalne.

Definicja: Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja osiąga wartość najmniejszą $minimum lokalne$ lub największą $maksimum lokalne$ w pewnym otoczeniu tego punktu.

Aby określić, czy funkcja ma ekstremum lokalne, stosujemy dwa kluczowe warunki:

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ i ma w tym punkcie ekstremum, to f' $x₀$ = 0.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale $a,b$ oraz: f' $x$ > 0 dla x ∈ $a,x₀$ i f' $x$ < 0 dla x ∈ $x₀,b$ , to funkcja ma maksimum w punkcie x₀. f' $x$ < 0 dla x ∈ $a,x₀$ i f' $x$ > 0 dla x ∈ $x₀,b$ , to funkcja ma minimum w punkcie x₀.

Highlight: Warto pamiętać, że wartość minimum lokalnego funkcji może być większa od wartości maksimum lokalnego tej samej funkcji.

Vocabulary: Punkt stacjonarny funkcji to punkt, w którym pochodna funkcji równa się zero, czyli f' $x$ = 0.

Zrozumienie tych pojęć jest kluczowe dla analizy funkcji i rozwiązywania zadań związanych z ekstremami lokalnymi funkcji.

Podobne notatki

odczytywanie własności funkcji

1008

Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu

5902

207

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS