Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Funkcje

/

Własność funkcji

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

Zobacz

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych
user profile picture

weronika dąbkowska

@weeronikka

·

1495 Obserwujących

Obserwuj

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie, gdzie funkcja zmienia kierunek z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Zrozumienie tego pojęcia jest niezbędne w analizie matematycznej i rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych.

  • Definicja obejmuje minimum i maksimum lokalne
  • Warunki konieczne i wystarczające dla istnienia ekstremów
  • Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji
  • Praktyczne zastosowania w rozwiązywaniu zadań matematycznych

2.04.2022

444

ekstremum lokalne definicja punkty charakteryzujące wykres funkcji, w których funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą i odwrotnie. Stobuloz

Zobacz

Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, należy postępować według następującego algorytmu:

  1. Wyznaczamy pochodną funkcji.
  2. Sprawdzamy warunek konieczny (f'(x) = 0), aby znaleźć potencjalne punkty ekstremalne.
  3. Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres funkcji.
  4. Identyfikujemy punkty, w których wykres przecina oś lub zmienia znak - tam znajdują się ekstrema.
  5. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach ekstremalnych.

Example: Rozważmy funkcję f(x) = 4x⁴ - x³ - 2x² + 12x - 5 dla x ∈ R.

  1. Obliczamy pochodną: f'(x) = 16x³ - 3x² - 4x + 12
  2. Rozwiązujemy równanie f'(x) = 0: 16x³ - 3x² - 4x + 12 = 0 x(16x² - 3x - 4) + 12 = 0 (x - 3)(4x² + 12x - 4) = 0 x = 3 lub x = 2 lub x = -2
  3. Analizujemy zachowanie funkcji w otoczeniu znalezionych punktów.
  4. Obliczamy wartości funkcji w punktach ekstremalnych: f(-2) = -25 (minimum lokalne) f(2) = 7 (maksimum lokalne) f(3) = 25 (minimum lokalne)

Highlight: W tym przykładzie funkcja ma dwa minima lokalne i jedno maksimum lokalne, co pokazuje, że ekstrema lokalne funkcji mogą występować wielokrotnie na wykresie jednej funkcji.

Zrozumienie i umiejętność stosowania tych metod jest kluczowa dla rozwiązywania zadań z zakresu ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych oraz bardziej złożonych problemów optymalizacyjnych.

ekstremum lokalne definicja punkty charakteryzujące wykres funkcji, w których funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą i odwrotnie. Stobuloz

Zobacz

Podstawy ekstremów lokalnych funkcji

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie funkcji, gdzie następuje zmiana jej charakteru z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Rozróżniamy dwa rodzaje ekstremów lokalnych: minimum lokalne i maksimum lokalne.

Definicja: Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum lokalne) lub największą (maksimum lokalne) w pewnym otoczeniu tego punktu.

Aby określić, czy funkcja ma ekstremum lokalne, stosujemy dwa kluczowe warunki:

  1. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ i ma w tym punkcie ekstremum, to f'(x₀) = 0.

  2. Warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz:

    • f'(x) > 0 dla x ∈ (a,x₀) i f'(x) < 0 dla x ∈ (x₀,b), to funkcja ma maksimum w punkcie x₀.
    • f'(x) < 0 dla x ∈ (a,x₀) i f'(x) > 0 dla x ∈ (x₀,b), to funkcja ma minimum w punkcie x₀.

Highlight: Warto pamiętać, że wartość minimum lokalnego funkcji może być większa od wartości maksimum lokalnego tej samej funkcji.

Vocabulary: Punkt stacjonarny funkcji to punkt, w którym pochodna funkcji równa się zero, czyli f'(x) = 0.

Zrozumienie tych pojęć jest kluczowe dla analizy funkcji i rozwiązywania zadań związanych z ekstremami lokalnymi funkcji.

Podobne notatki

Know Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu thumbnail

199

5045

1

Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Matematyka - funkcje - odczytywanie własności funkcji z wykresu

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Funkcje

/

Własność funkcji

Jak Wyznaczyć Ekstrema Lokalnych Funkcji Dwóch Zmiennych i Trzech Zmiennych

user profile picture

weronika dąbkowska

@weeronikka

·

1495 Obserwujących

Obserwuj

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie, gdzie funkcja zmienia kierunek z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Zrozumienie tego pojęcia jest niezbędne w analizie matematycznej i rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych.

  • Definicja obejmuje minimum i maksimum lokalne
  • Warunki konieczne i wystarczające dla istnienia ekstremów
  • Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji
  • Praktyczne zastosowania w rozwiązywaniu zadań matematycznych

2.04.2022

444

 

1/2

 

Matematyka

19

ekstremum lokalne definicja punkty charakteryzujące wykres funkcji, w których funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą i odwrotnie. Stobuloz

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Metody wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji

Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, należy postępować według następującego algorytmu:

  1. Wyznaczamy pochodną funkcji.
  2. Sprawdzamy warunek konieczny (f'(x) = 0), aby znaleźć potencjalne punkty ekstremalne.
  3. Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres funkcji.
  4. Identyfikujemy punkty, w których wykres przecina oś lub zmienia znak - tam znajdują się ekstrema.
  5. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach ekstremalnych.

Example: Rozważmy funkcję f(x) = 4x⁴ - x³ - 2x² + 12x - 5 dla x ∈ R.

  1. Obliczamy pochodną: f'(x) = 16x³ - 3x² - 4x + 12
  2. Rozwiązujemy równanie f'(x) = 0: 16x³ - 3x² - 4x + 12 = 0 x(16x² - 3x - 4) + 12 = 0 (x - 3)(4x² + 12x - 4) = 0 x = 3 lub x = 2 lub x = -2
  3. Analizujemy zachowanie funkcji w otoczeniu znalezionych punktów.
  4. Obliczamy wartości funkcji w punktach ekstremalnych: f(-2) = -25 (minimum lokalne) f(2) = 7 (maksimum lokalne) f(3) = 25 (minimum lokalne)

Highlight: W tym przykładzie funkcja ma dwa minima lokalne i jedno maksimum lokalne, co pokazuje, że ekstrema lokalne funkcji mogą występować wielokrotnie na wykresie jednej funkcji.

Zrozumienie i umiejętność stosowania tych metod jest kluczowa dla rozwiązywania zadań z zakresu ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych oraz bardziej złożonych problemów optymalizacyjnych.

ekstremum lokalne definicja punkty charakteryzujące wykres funkcji, w których funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą i odwrotnie. Stobuloz

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy ekstremów lokalnych funkcji

Ekstrema lokalne funkcji to kluczowe punkty na wykresie funkcji, gdzie następuje zmiana jej charakteru z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Rozróżniamy dwa rodzaje ekstremów lokalnych: minimum lokalne i maksimum lokalne.

Definicja: Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum lokalne) lub największą (maksimum lokalne) w pewnym otoczeniu tego punktu.

Aby określić, czy funkcja ma ekstremum lokalne, stosujemy dwa kluczowe warunki:

  1. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ i ma w tym punkcie ekstremum, to f'(x₀) = 0.

  2. Warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz:

    • f'(x) > 0 dla x ∈ (a,x₀) i f'(x) < 0 dla x ∈ (x₀,b), to funkcja ma maksimum w punkcie x₀.
    • f'(x) < 0 dla x ∈ (a,x₀) i f'(x) > 0 dla x ∈ (x₀,b), to funkcja ma minimum w punkcie x₀.

Highlight: Warto pamiętać, że wartość minimum lokalnego funkcji może być większa od wartości maksimum lokalnego tej samej funkcji.

Vocabulary: Punkt stacjonarny funkcji to punkt, w którym pochodna funkcji równa się zero, czyli f'(x) = 0.

Zrozumienie tych pojęć jest kluczowe dla analizy funkcji i rozwiązywania zadań związanych z ekstremami lokalnymi funkcji.

Podobne notatki

Matematyka - Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Matematyka - funkcje - odczytywanie własności funkcji z wykresu

199

5045

2

Know Funkcje - Odczytywanie własności funkcji z wykresu thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.