Funkcja homograficzna - definicja i właściwości

Funkcja homograficzna to fundamentalne pojęcie w matematyce, które opisuje szczególny rodzaj funkcji wymiernej. Jej ogólna postać to y = (ax + b) / (cx + d), gdzie a, b, c, d są stałymi, a ad - bc ≠ 0.

Definition: Funkcja homograficzna to funkcja postaci y = (ax + b) / (cx + d), gdzie a, b, c, d są stałymi, a ad - bc ≠ 0.

Kluczowe właściwości funkcji homograficznej obejmują:

1. Wykres: Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

2. Dziedzina: Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu, w którym mianownik się zeruje.

Highlight: Dziedzina funkcji homograficznej to R - {-d/c}, gdzie c ≠ 0.

3. Asymptoty: Funkcja homograficzna posiada dwie asymptoty - poziomą i pionową.

Example: Dla funkcji y = 1 / (x - 2), asymptotą pionową jest prosta x = 2, a asymptotą poziomą jest y = 0.

4. Przesunięcie wykresu: Wykres funkcji homograficznej można przesunąć równolegle o wektor [p,q], co prowadzi do funkcji postaci y = a / (x - p) + q.

5. Zbiór wartości: Zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem pewnej wartości.

Vocabulary: Zbiór wartości funkcji homograficznej to zakres wszystkich możliwych wartości y, jakie funkcja może przyjąć.

6. Punkty przecięcia z osiami: Funkcja homograficzna może przecinać oś OX w punkcie (-d/c, 0), jeśli b ≠ 0, oraz oś OY w punkcie (0, b/d), jeśli d ≠ 0.

Zrozumienie funkcji homograficznej jest kluczowe dla dalszych studiów matematycznych, szczególnie w analizie matematycznej i algebrze. Umiejętność rysowania wykresów i analizy funkcji homograficznej jest często sprawdzana w zadaniach i na egzaminach.