Otwórz aplikację

Przedmioty

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej: Przewodnik po wykresach, punktach i własnościach

Otwórz

3060

27

user profile picture

Madzmel

7.05.2022

Matematyka

funkcja kwadratowa

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej: Przewodnik po wykresach, punktach i własnościach

Funkcje kwadratowe stanowią fundamentalny element matematyki, pozwalający na modelowanie wielu zjawisk w świecie rzeczywistym. Wzór funkcji kwadratowej może być przedstawiony w różnych postaciach, z których najważniejsze to postać ogólna funkcji kwadratowej (ax² + bx + c) oraz postać kanoniczna funkcji kwadratowej (a(x-p)² + q).

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej może odbywać się na kilka sposobów, w zależności od dostępnych informacji. Gdy znamy współrzędne wierzchołka paraboli (p,q) oraz punkt należący do wykresu, możemy wykorzystać postać kanoniczną funkcji kwadratowej. Współczynnik a w funkcji kwadratowej wyznaczamy wtedy poprzez podstawienie znanych punktów do wzoru. Jeśli dysponujemy trzema punktami należącymi do wykresu, stosujemy układ równań. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu wymaga odczytania współrzędnych wierzchołka oraz dodatkowego punktu.

Istotnym aspektem analizy funkcji kwadratowej jest znajdowanie jej wartości ekstremalnych. Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej zależy od współczynnika a oraz położenia wierzchołka paraboli. Gdy a > 0, wierzchołek wyznacza minimum funkcji, a gdy a < 0 - maksimum. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale wymaga porównania wartości funkcji w wierzchołku (jeśli należy do przedziału) oraz na krańcach przedziału. Warto pamiętać, że współczynnik b w funkcji kwadratowej wpływa na przesunięcie paraboli w poziomie, podczas gdy parametr c określa przesunięcie w pionie. Znajomość tych zależności pozwala na pełne zrozumienie zachowania funkcji kwadratowej i jej wykresu funkcji kwadratowej.

...

7.05.2022

64205

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej i jej własności

Postać ogólna funkcji kwadratowej to fxx = ax² + bx + c, gdzie a≠0. Każda funkcja kwadratowa może być przedstawiona w trzech równoważnych postaciach: ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej wymaga znajomości kluczowych parametrów.

Definicja: Funkcja kwadratowa to funkcja określona wzorem fxx = ax² + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a współczynnik a jest różny od zera.

Aby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej, możemy wykorzystać różne własności, takie jak miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka czy punkty należące do wykresu. Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie punktów? Potrzebujemy trzech punktów należących do paraboli lub kombinacji innych własności.

Przykład: Mając punkty A0,10,1, B2,52,5 i C1,2-1,2, możemy utworzyć układ równań:

  1. a·0² + b·0 + c = 1
  2. a·2² + b·2 + c = 5
  3. 1-1² - b + c = 2

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej zależy od współczynnika a oraz położenia wierzchołka paraboli. Dla a>0 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku, dla a<0 - wartość największą.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Własności funkcji kwadratowej i jej wykres

Wykres funkcji kwadratowej to parabola, której kształt i położenie zależą od współczynników a, b i c. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej fxx = axpx-p² + q pozwala łatwo odczytać współrzędne wierzchołka Wp,qp,q.

Highlight: Współczynnik a określa kierunek ramion paraboli:

  • dla a>0 ramiona skierowane są do góry
  • dla a<0 ramiona skierowane są w dół

Jak obliczyć współczynnik a w funkcji kwadratowej? Można to zrobić znając:

  • dwa punkty należące do paraboli i jej wierzchołek
  • trzy punkty należące do paraboli
  • miejsce zerowe i punkt należący do paraboli

Współczynnik b w funkcji kwadratowej wpływa na przesunięcie osi symetrii paraboli. Można go wyznaczyć ze wzoru b = -2ap, gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Zastosowania funkcji kwadratowej

Funkcje kwadratowe znajdują szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale jest często wykorzystywana w zadaniach optymalizacyjnych.

Przykład: Wyznaczanie maksymalnego zysku, minimalnych kosztów czy optymalnej wysokości w problemach fizycznych.

Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej bez przedziału zależy od współczynnika a:

  • Jeśli a>0, funkcja nie ma największej wartości, a najmniejszą przyjmuje w wierzchołku
  • Jeśli a<0, funkcja nie ma najmniejszej wartości, a największą przyjmuje w wierzchołku

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej zadania często wymagają:

  1. Wyznaczenia dziedziny funkcji
  2. Znalezienia wierzchołka paraboli
  3. Obliczenia wartości na krańcach przedziału
WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych

Wzór funkcji kwadratowej jest kluczowy przy rozwiązywaniu równań i nierówności kwadratowych. Jak obliczyć c w funkcji kwadratowej? Można to zrobić znając:

  • punkt należący do wykresu
  • miejsce przecięcia z osią OY
  • wartość funkcji dla x=0

Vocabulary: Delta ΔΔ - wyróżnik trójmianu kwadratowego, który określa liczbę miejsc zerowych funkcji:

  • Δ>0 - dwa miejsca zerowe
  • Δ=0 - jedno miejsce zerowe
  • Δ<0 - brak miejsc zerowych

P i q funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej fxx=axpx-p² + q określają położenie wierzchołka paraboli. Wzór na p i q można wyprowadzić z postaci ogólnej:

  • p = -b/2a2a
  • q = -Δ/4a4a
WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Rozwiązywanie Nierówności Kwadratowych i Wyznaczanie Dziedzin Funkcji

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej i rozwiązywanie nierówności kwadratowych to kluczowe zagadnienia matematyczne. Zrozumienie tych konceptów pozwala na analizę wielu praktycznych problemów.

Definicja: Nierówność kwadratowa to nierówność zawierająca zmienną w drugiej potędze, np. ax² + bx + c > 0, gdzie a, b, c są stałymi rzeczywistymi, a ≠ 0.

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych kluczowe jest określenie współczynnika a w funkcji kwadratowej oraz pozostałych parametrów. Metoda rozwiązania zależy od postaci nierówności - może być w postaci ogólnej funkcji kwadratowej ax2+bx+cax² + bx + c lub kanonicznej axpx-p² + q.

Przykład: Rozważmy nierówność x² - 6x + 9 ≤ -x + 5

  1. Przekształcamy na postać standardową: x² - 5x + 4 ≤ 0
  2. Wyznaczamy miejsca zerowe: x = 1 lub x = 4
  3. Określamy znak funkcji kwadratowej między miejscami zerowymi

Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale jest istotna przy analizie rozwiązań. Wierzchołek paraboli wyznacza ekstremum funkcji, co jest kluczowe przy określaniu przedziałów rozwiązań.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Wyznaczanie Dziedzin Funkcji i Parametryzacja

Przy wyznaczaniu dziedzin funkcji zawierających pierwiastki kwadratowe kluczowe jest uwzględnienie warunków ich istnienia. Wykres funkcji kwadratowej pomaga wizualnie zrozumieć ograniczenia dziedziny.

Wskazówka: Przy funkcjach z pierwiastkiem kwadratowym wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

Parametryzacja nierówności kwadratowych wymaga szczególnej uwagi przy analizie współczynników. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej axpx-p² + q jest szczególnie przydatna przy wyznaczaniu wartości parametrów dla określonych własności funkcji.

Przykład: Dla funkcji fxx = √2x2+x+82x² + x + 8 dziedzinę wyznaczamy z warunku: 2x² + x + 8 ≥ 0 Δ = 1 - 42288 = 1 - 64 < 0 Ponieważ Δ < 0 i współczynnik przy x² jest dodatni, nierówność jest spełniona dla wszystkich x ∈ R.

Analiza zbiorów rozwiązań wymaga łączenia wiedzy o nierównościach kwadratowych z teorią zbiorów, co pozwala na pełne zrozumienie zachowania funkcji w różnych przedziałach liczbowych.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Page 1: Methods for Determining Quadratic Function Formulas

This page introduces various approaches for wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności determiningthequadraticfunctionformulabasedonitspropertiesdetermining the quadratic function formula based on its properties.

Key methods covered: • Using zero points and y-intercept • Utilizing the vertex and another point • Analyzing the axis of symmetry and extreme values

Example: For a function with zero points at x=9 and x=-6, the factored form is fxx = ax9x-9x+6x+6.

Highlight: The vertex form fxx = axpx-p² + q is particularly useful when the vertex coordinates p,qp,q are known.

Vocabulary:

  • Oś symetrii - axis of symmetry
  • Miejsce zerowe - zero point
  • Wierzchołek - vertex

The page also includes several practice problems demonstrating how to apply these methods to find quadratic function formulas given specific properties.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zobacz

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

64 205

7 maj 2022

16 strony

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej: Przewodnik po wykresach, punktach i własnościach

Funkcje kwadratowe stanowią fundamentalny element matematyki, pozwalający na modelowanie wielu zjawisk w świecie rzeczywistym. Wzór funkcji kwadratowej może być przedstawiony w różnych postaciach, z których najważniejsze to postać ogólna funkcji kwadratowej (ax² + bx + c) oraz postać kanoniczna funkcji... Pokaż więcej

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej i jej własności

Postać ogólna funkcji kwadratowej to fxx = ax² + bx + c, gdzie a≠0. Każda funkcja kwadratowa może być przedstawiona w trzech równoważnych postaciach: ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej wymaga znajomości kluczowych parametrów.

Definicja: Funkcja kwadratowa to funkcja określona wzorem fxx = ax² + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a współczynnik a jest różny od zera.

Aby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej, możemy wykorzystać różne własności, takie jak miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka czy punkty należące do wykresu. Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie punktów? Potrzebujemy trzech punktów należących do paraboli lub kombinacji innych własności.

Przykład: Mając punkty A0,10,1, B2,52,5 i C1,2-1,2, możemy utworzyć układ równań:

  1. a·0² + b·0 + c = 1
  2. a·2² + b·2 + c = 5
  3. 1-1² - b + c = 2

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej zależy od współczynnika a oraz położenia wierzchołka paraboli. Dla a>0 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku, dla a<0 - wartość największą.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Własności funkcji kwadratowej i jej wykres

Wykres funkcji kwadratowej to parabola, której kształt i położenie zależą od współczynników a, b i c. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej fxx = axpx-p² + q pozwala łatwo odczytać współrzędne wierzchołka Wp,qp,q.

Highlight: Współczynnik a określa kierunek ramion paraboli:

  • dla a>0 ramiona skierowane są do góry
  • dla a<0 ramiona skierowane są w dół

Jak obliczyć współczynnik a w funkcji kwadratowej? Można to zrobić znając:

  • dwa punkty należące do paraboli i jej wierzchołek
  • trzy punkty należące do paraboli
  • miejsce zerowe i punkt należący do paraboli

Współczynnik b w funkcji kwadratowej wpływa na przesunięcie osi symetrii paraboli. Można go wyznaczyć ze wzoru b = -2ap, gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowania funkcji kwadratowej

Funkcje kwadratowe znajdują szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale jest często wykorzystywana w zadaniach optymalizacyjnych.

Przykład: Wyznaczanie maksymalnego zysku, minimalnych kosztów czy optymalnej wysokości w problemach fizycznych.

Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej bez przedziału zależy od współczynnika a:

  • Jeśli a>0, funkcja nie ma największej wartości, a najmniejszą przyjmuje w wierzchołku
  • Jeśli a<0, funkcja nie ma najmniejszej wartości, a największą przyjmuje w wierzchołku

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej zadania często wymagają:

  1. Wyznaczenia dziedziny funkcji
  2. Znalezienia wierzchołka paraboli
  3. Obliczenia wartości na krańcach przedziału
WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych

Wzór funkcji kwadratowej jest kluczowy przy rozwiązywaniu równań i nierówności kwadratowych. Jak obliczyć c w funkcji kwadratowej? Można to zrobić znając:

  • punkt należący do wykresu
  • miejsce przecięcia z osią OY
  • wartość funkcji dla x=0

Vocabulary: Delta ΔΔ - wyróżnik trójmianu kwadratowego, który określa liczbę miejsc zerowych funkcji:

  • Δ>0 - dwa miejsca zerowe
  • Δ=0 - jedno miejsce zerowe
  • Δ<0 - brak miejsc zerowych

P i q funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej fxx=axpx-p² + q określają położenie wierzchołka paraboli. Wzór na p i q można wyprowadzić z postaci ogólnej:

  • p = -b/2a2a
  • q = -Δ/4a4a
WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Nierówności Kwadratowych i Wyznaczanie Dziedzin Funkcji

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej i rozwiązywanie nierówności kwadratowych to kluczowe zagadnienia matematyczne. Zrozumienie tych konceptów pozwala na analizę wielu praktycznych problemów.

Definicja: Nierówność kwadratowa to nierówność zawierająca zmienną w drugiej potędze, np. ax² + bx + c > 0, gdzie a, b, c są stałymi rzeczywistymi, a ≠ 0.

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych kluczowe jest określenie współczynnika a w funkcji kwadratowej oraz pozostałych parametrów. Metoda rozwiązania zależy od postaci nierówności - może być w postaci ogólnej funkcji kwadratowej ax2+bx+cax² + bx + c lub kanonicznej axpx-p² + q.

Przykład: Rozważmy nierówność x² - 6x + 9 ≤ -x + 5

  1. Przekształcamy na postać standardową: x² - 5x + 4 ≤ 0
  2. Wyznaczamy miejsca zerowe: x = 1 lub x = 4
  3. Określamy znak funkcji kwadratowej między miejscami zerowymi

Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale jest istotna przy analizie rozwiązań. Wierzchołek paraboli wyznacza ekstremum funkcji, co jest kluczowe przy określaniu przedziałów rozwiązań.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wyznaczanie Dziedzin Funkcji i Parametryzacja

Przy wyznaczaniu dziedzin funkcji zawierających pierwiastki kwadratowe kluczowe jest uwzględnienie warunków ich istnienia. Wykres funkcji kwadratowej pomaga wizualnie zrozumieć ograniczenia dziedziny.

Wskazówka: Przy funkcjach z pierwiastkiem kwadratowym wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

Parametryzacja nierówności kwadratowych wymaga szczególnej uwagi przy analizie współczynników. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej axpx-p² + q jest szczególnie przydatna przy wyznaczaniu wartości parametrów dla określonych własności funkcji.

Przykład: Dla funkcji fxx = √2x2+x+82x² + x + 8 dziedzinę wyznaczamy z warunku: 2x² + x + 8 ≥ 0 Δ = 1 - 42288 = 1 - 64 < 0 Ponieważ Δ < 0 i współczynnik przy x² jest dodatni, nierówność jest spełniona dla wszystkich x ∈ R.

Analiza zbiorów rozwiązań wymaga łączenia wiedzy o nierównościach kwadratowych z teorią zbiorów, co pozwala na pełne zrozumienie zachowania funkcji w różnych przedziałach liczbowych.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Methods for Determining Quadratic Function Formulas

This page introduces various approaches for wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności determiningthequadraticfunctionformulabasedonitspropertiesdetermining the quadratic function formula based on its properties.

Key methods covered: • Using zero points and y-intercept • Utilizing the vertex and another point • Analyzing the axis of symmetry and extreme values

Example: For a function with zero points at x=9 and x=-6, the factored form is fxx = ax9x-9x+6x+6.

Highlight: The vertex form fxx = axpx-p² + q is particularly useful when the vertex coordinates p,qp,q are known.

Vocabulary:

  • Oś symetrii - axis of symmetry
  • Miejsce zerowe - zero point
  • Wierzchołek - vertex

The page also includes several practice problems demonstrating how to apply these methods to find quadratic function formulas given specific properties.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA
PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI
Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.(x-²)(x+6)
₁+1 (-∞0,1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS