Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Funkcje

/

Funkcja kwadratowa

Zabawy z funkcją kwadratową: wzory, zadania i wykresy

Zobacz

Zabawy z funkcją kwadratową: wzory, zadania i wykresy
user profile picture

Hania

@haniagadomska

·

128 Obserwujących

Obserwuj

Zweryfikowana notatka

Quadratic Functions and Their Properties - A comprehensive guide covering essential concepts, formulas, and applications of quadratic functions, including canonical forms, zeros, and inequalities.

• The guide explores Własności funkcji kwadratowej wzory (quadratic function properties and formulas), focusing on different representations and their characteristics.

• Detailed coverage of Postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form) and its relationship with other forms.

• Practical applications through Funkcja kwadratowa - zadania i rozwiązania (quadratic function problems and solutions).

• In-depth analysis of Miejsca zerowe funkcji kwadratowej (zeros of quadratic functions) and their significance.

13.01.2023

7376

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Properties of Quadratic Functions Based on Parameter 'a'

This section examines how the coefficient 'a' affects the shape and behavior of quadratic functions.

Definition: The coefficient 'a' determines both the opening direction and the "width" of the parabola.

Example:

  • When a > 0: Parabola opens upward
  • When a < 0: Parabola opens downward
  • Larger |a| values create narrower parabolas

Highlight: The value of 'a' never affects the domain of the function, which remains R.

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Forms of Quadratic Functions

A detailed exploration of the three main forms of quadratic functions.

Definition:

  • Postać ogólna (Standard form): f(x) = ax² + bx + c
  • Postać kanoniczna (Vertex form): f(x) = a(x-p)² + q
  • Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (Factored form): f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)

Highlight: Each form highlights different properties of the quadratic function:

  • Standard form shows the y-intercept
  • Vertex form shows the vertex coordinates
  • Factored form shows the zeros
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Converting Between Forms

This section covers the methods for converting between different forms of quadratic functions.

Example: To convert from standard to canonical form:

  1. Find p = -b/(2a)
  2. Calculate q by substituting x = p into the original function

Vocabulary:

  • Delta (Δ): The discriminant b² - 4ac
  • Zeros: The x-values where f(x) = 0
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Maximum and Minimum Values

Analysis of extreme values of quadratic functions.

Definition: The vertex represents either the maximum value (if a < 0) or minimum value (if a > 0) of the function.

Example: For a closed interval, find:

  1. Calculate the discriminant
  2. Find the vertex
  3. Compare values at endpoints and vertex
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Quadratic Inequalities

Solving quadratic inequalities through systematic steps.

Highlight: The solution process involves:

  1. Rearranging to standard form
  2. Finding zeros
  3. Creating a sign chart
  4. Determining intervals

Example: For 3x² - 6x - 16 ≥ 0:

  1. Find zeros: x = -4 or x = 2
  2. Solution: x ∈ (-∞, -4] ∪ [2, ∞)
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Word Problems and Applications

Practical applications of quadratic functions in real-world scenarios.

Example: Rectangle optimization problem:

  • Given a 42m perimeter
  • Find dimensions for maximum area
  • Solution: 10.5m × 10.5m gives maximum area of 110.25m²

Highlight: Real-world applications often involve:

  • Area optimization
  • Motion problems
  • Economic models
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Introduction to Quadratic Functions

This section introduces the fundamental concepts of quadratic functions and their basic properties.

Definition: A quadratic function is a polynomial function of degree 2, typically written as f(x) = ax².

Highlight: The domain of a quadratic function is always all real numbers (R), while the range depends on the direction of the parabola.

Example: For f(x) = x², the vertex is at (0,0), and the parabola opens upward.

Vocabulary:

  • Vertex (wierzchołek): The highest or lowest point of the parabola
  • Axis of symmetry (oś symetrii): The vertical line passing through the vertex

Podobne notatki

Know funkcja kwadratowa thumbnail

738

12926

2

funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

Know Wstęp do funkcji kwadratowej thumbnail

21

849

4/1

Wstęp do funkcji kwadratowej

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

Know Funkcja kwadratowa i jej postacie thumbnail

33

2031

1/2

Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

Know Funkcja kwadratowa thumbnail

176

7439

1/2

Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

Know Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań thumbnail

6

296

4/2

Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań

Przykładowe zadania z rozwiązywania równań kwadratowych i równań czwartego, trzeciego stopnia prowadzących również do drugiego stopnia

Know Zamiana postaci ogólnej thumbnail

20

609

1/2

Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Funkcje

/

Funkcja kwadratowa

Zabawy z funkcją kwadratową: wzory, zadania i wykresy

user profile picture

Hania

@haniagadomska

·

128 Obserwujących

Obserwuj

Zweryfikowana notatka

Quadratic Functions and Their Properties - A comprehensive guide covering essential concepts, formulas, and applications of quadratic functions, including canonical forms, zeros, and inequalities.

• The guide explores Własności funkcji kwadratowej wzory (quadratic function properties and formulas), focusing on different representations and their characteristics.

• Detailed coverage of Postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form) and its relationship with other forms.

• Practical applications through Funkcja kwadratowa - zadania i rozwiązania (quadratic function problems and solutions).

• In-depth analysis of Miejsca zerowe funkcji kwadratowej (zeros of quadratic functions) and their significance.

13.01.2023

7376

 

2/3

 

Matematyka

208

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Properties of Quadratic Functions Based on Parameter 'a'

This section examines how the coefficient 'a' affects the shape and behavior of quadratic functions.

Definition: The coefficient 'a' determines both the opening direction and the "width" of the parabola.

Example:

  • When a > 0: Parabola opens upward
  • When a < 0: Parabola opens downward
  • Larger |a| values create narrower parabolas

Highlight: The value of 'a' never affects the domain of the function, which remains R.

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Forms of Quadratic Functions

A detailed exploration of the three main forms of quadratic functions.

Definition:

  • Postać ogólna (Standard form): f(x) = ax² + bx + c
  • Postać kanoniczna (Vertex form): f(x) = a(x-p)² + q
  • Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (Factored form): f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)

Highlight: Each form highlights different properties of the quadratic function:

  • Standard form shows the y-intercept
  • Vertex form shows the vertex coordinates
  • Factored form shows the zeros
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Converting Between Forms

This section covers the methods for converting between different forms of quadratic functions.

Example: To convert from standard to canonical form:

  1. Find p = -b/(2a)
  2. Calculate q by substituting x = p into the original function

Vocabulary:

  • Delta (Δ): The discriminant b² - 4ac
  • Zeros: The x-values where f(x) = 0
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Maximum and Minimum Values

Analysis of extreme values of quadratic functions.

Definition: The vertex represents either the maximum value (if a < 0) or minimum value (if a > 0) of the function.

Example: For a closed interval, find:

  1. Calculate the discriminant
  2. Find the vertex
  3. Compare values at endpoints and vertex
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Quadratic Inequalities

Solving quadratic inequalities through systematic steps.

Highlight: The solution process involves:

  1. Rearranging to standard form
  2. Finding zeros
  3. Creating a sign chart
  4. Determining intervals

Example: For 3x² - 6x - 16 ≥ 0:

  1. Find zeros: x = -4 or x = 2
  2. Solution: x ∈ (-∞, -4] ∪ [2, ∞)
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Word Problems and Applications

Practical applications of quadratic functions in real-world scenarios.

Example: Rectangle optimization problem:

  • Given a 42m perimeter
  • Find dimensions for maximum area
  • Solution: 10.5m × 10.5m gives maximum area of 110.25m²

Highlight: Real-world applications often involve:

  • Area optimization
  • Motion problems
  • Economic models
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Introduction to Quadratic Functions

This section introduces the fundamental concepts of quadratic functions and their basic properties.

Definition: A quadratic function is a polynomial function of degree 2, typically written as f(x) = ax².

Highlight: The domain of a quadratic function is always all real numbers (R), while the range depends on the direction of the parabola.

Example: For f(x) = x², the vertex is at (0,0), and the parabola opens upward.

Vocabulary:

  • Vertex (wierzchołek): The highest or lowest point of the parabola
  • Axis of symmetry (oś symetrii): The vertical line passing through the vertex

Podobne notatki

Matematyka - funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

738

12926

19

Know funkcja kwadratowa thumbnail

Matematyka - Wstęp do funkcji kwadratowej

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

21

849

1

Know Wstęp do funkcji kwadratowej thumbnail

Matematyka - Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

33

2031

0

Know Funkcja kwadratowa i jej postacie thumbnail

Matematyka - Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

176

7439

1

Know Funkcja kwadratowa thumbnail

Matematyka - Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań

Przykładowe zadania z rozwiązywania równań kwadratowych i równań czwartego, trzeciego stopnia prowadzących również do drugiego stopnia

6

296

0

Know Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań thumbnail

Matematyka - Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

20

609

0

Know Zamiana postaci ogólnej thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.