Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Zabawy z funkcją kwadratową: wzory, zadania i wykresy

Otwórz

306

5

user profile picture

Hania

13.01.2023

Matematyka

Funkcja kwadratowa

Przedmioty

/

Matematyka

/

Funkcje

/

Funkcja kwadratowa

Zabawy z funkcją kwadratową: wzory, zadania i wykresy

Quadratic Functions and Their Properties - A comprehensive guide covering essential concepts, formulas, and applications of quadratic functions, including canonical forms, zeros, and inequalities.

• The guide explores Własności funkcji kwadratowej wzory (quadratic function properties and formulas), focusing on different representations and their characteristics.

• Detailed coverage of Postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form) and its relationship with other forms.

• Practical applications through Funkcja kwadratowa - zadania i rozwiązania (quadratic function problems and solutions).

• In-depth analysis of Miejsca zerowe funkcji kwadratowej (zeros of quadratic functions) and their significance.

...

13.01.2023

13608

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Properties of Quadratic Functions Based on Parameter 'a'

This section examines how the coefficient 'a' affects the shape and behavior of quadratic functions.

Definition: The coefficient 'a' determines both the opening direction and the "width" of the parabola.

Example:

  • When a > 0: Parabola opens upward
  • When a < 0: Parabola opens downward
  • Larger |a| values create narrower parabolas

Highlight: The value of 'a' never affects the domain of the function, which remains R.

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Forms of Quadratic Functions

A detailed exploration of the three main forms of quadratic functions.

Definition:

  • Postać ogólna StandardformStandard form: fxx = ax² + bx + c
  • Postać kanoniczna VertexformVertex form: fxx = ax−px-p² + q
  • Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej FactoredformFactored form: fxx = ax−x1x-x₁x−x2x-x₂

Highlight: Each form highlights different properties of the quadratic function:

  • Standard form shows the y-intercept
  • Vertex form shows the vertex coordinates
  • Factored form shows the zeros
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Converting Between Forms

This section covers the methods for converting between different forms of quadratic functions.

Example: To convert from standard to canonical form:

  1. Find p = -b/2a2a
  2. Calculate q by substituting x = p into the original function

Vocabulary:

  • Delta ΔΔ: The discriminant b² - 4ac
  • Zeros: The x-values where fxx = 0
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Maximum and Minimum Values

Analysis of extreme values of quadratic functions.

Definition: The vertex represents either the maximum value ifa<0if a < 0 or minimum value ifa>0if a > 0 of the function.

Example: For a closed interval, find:

  1. Calculate the discriminant
  2. Find the vertex
  3. Compare values at endpoints and vertex
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Quadratic Inequalities

Solving quadratic inequalities through systematic steps.

Highlight: The solution process involves:

  1. Rearranging to standard form
  2. Finding zeros
  3. Creating a sign chart
  4. Determining intervals

Example: For 3x² - 6x - 16 ≥ 0:

  1. Find zeros: x = -4 or x = 2
  2. Solution: x ∈ −∞,−4]∪[2,∞-∞, -4] ∪ [2, ∞
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zobacz

Word Problems and Applications

Practical applications of quadratic functions in real-world scenarios.

Example: Rectangle optimization problem:

  • Given a 42m perimeter
  • Find dimensions for maximum area
  • Solution: 10.5m × 10.5m gives maximum area of 110.25m²

Highlight: Real-world applications often involve:

  • Area optimization
  • Motion problems
  • Economic models

Podobne notatki

Know funkcja kwadratowa thumbnail

747

13323

2

funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

Know funkcja kwadratowa thumbnail

21

735

2

funkcja kwadratowa

.

Know Funkcja kwadratowa thumbnail

244

12570

1/2

Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

Know Funkcja kwadratowa, wzory, delta, miejsca zerowe thumbnail

26

3102

2

Funkcja kwadratowa, wzory, delta, miejsca zerowe

Wzory (funkcje kwadratowe: ogólna, kanoniczna, iloczynowa; delta) i miejsca zerowe

Know matematyka funkcja kwadratowa thumbnail

10

1782

2

matematyka funkcja kwadratowa

Matematyka. funkcja kwadratowa (postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej)

Know Funkcja kwadratowa - zastosowanie thumbnail

20

2392

2/3

Funkcja kwadratowa - zastosowanie

Zastosowanie funkcji kwadratowej + optymalizacja

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

 

Matematyka

•

13 608

•

13 sty 2023

•

7 strony

Zabawy z funkcją kwadratową: wzory, zadania i wykresy

user profile picture

Hania

@haniagadomska

Quadratic Functions and Their Properties - A comprehensive guide covering essential concepts, formulas, and applications of quadratic functions, including canonical forms, zeros, and inequalities.

• The guide explores Własności funkcji kwadratowej wzory(quadratic function properties and formulas), focusing on different... Pokaż więcej

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Properties of Quadratic Functions Based on Parameter 'a'

This section examines how the coefficient 'a' affects the shape and behavior of quadratic functions.

Definition: The coefficient 'a' determines both the opening direction and the "width" of the parabola.

Example:

  • When a > 0: Parabola opens upward
  • When a < 0: Parabola opens downward
  • Larger |a| values create narrower parabolas

Highlight: The value of 'a' never affects the domain of the function, which remains R.

<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Forms of Quadratic Functions

A detailed exploration of the three main forms of quadratic functions.

Definition:

  • Postać ogólna StandardformStandard form: fxx = ax² + bx + c
  • Postać kanoniczna VertexformVertex form: fxx = ax−px-p² + q
  • Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej FactoredformFactored form: fxx = ax−x1x-x₁x−x2x-x₂

Highlight: Each form highlights different properties of the quadratic function:

  • Standard form shows the y-intercept
  • Vertex form shows the vertex coordinates
  • Factored form shows the zeros
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Converting Between Forms

This section covers the methods for converting between different forms of quadratic functions.

Example: To convert from standard to canonical form:

  1. Find p = -b/2a2a
  2. Calculate q by substituting x = p into the original function

Vocabulary:

  • Delta ΔΔ: The discriminant b² - 4ac
  • Zeros: The x-values where fxx = 0
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Maximum and Minimum Values

Analysis of extreme values of quadratic functions.

Definition: The vertex represents either the maximum value ifa<0if a < 0 or minimum value ifa>0if a > 0 of the function.

Example: For a closed interval, find:

  1. Calculate the discriminant
  2. Find the vertex
  3. Compare values at endpoints and vertex
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Quadratic Inequalities

Solving quadratic inequalities through systematic steps.

Highlight: The solution process involves:

  1. Rearranging to standard form
  2. Finding zeros
  3. Creating a sign chart
  4. Determining intervals

Example: For 3x² - 6x - 16 ≥ 0:

  1. Find zeros: x = -4 or x = 2
  2. Solution: x ∈ −∞,−4]∪[2,∞-∞, -4] ∪ [2, ∞
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Word Problems and Applications

Practical applications of quadratic functions in real-world scenarios.

Example: Rectangle optimization problem:

  • Given a 42m perimeter
  • Find dimensions for maximum area
  • Solution: 10.5m × 10.5m gives maximum area of 110.25m²

Highlight: Real-world applications often involve:

  • Area optimization
  • Motion problems
  • Economic models
<p>Funkcja kwadratowa f(x)=x² opisuje parabolę, której dziedzina D= (-∞, + ∞ ) = R, a zbiór wartości ZW=&lt; 0, +∞ ). </p> <h2 id="postaogl

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Introduction to Quadratic Functions

This section introduces the fundamental concepts of quadratic functions and their basic properties.

Definition: A quadratic function is a polynomial function of degree 2, typically written as fxx = ax².

Highlight: The domain of a quadratic function is always all real numbers RR, while the range depends on the direction of the parabola.

Example: For fxx = x², the vertex is at 0,00,0, and the parabola opens upward.

Vocabulary:

  • Vertex wierzchołekwierzchołek: The highest or lowest point of the parabola
  • Axis of symmetry osˊsymetriioś symetrii: The vertical line passing through the vertex

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS