Podstawowe postaci funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może być zapisana na trzy różne sposoby, a każdy z nich ma swoje zalety:

1. Postać ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie a, b, c to współczynniki trójmianu kwadratowego. Jest to najpopularniejsza forma zapisu funkcji kwadratowej.

2. Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie W = (p,q) to współrzędne wierzchołka paraboli. Ta postać jest idealna do określania ekstremum funkcji.

3. Postać iloczynowa: Zależy od delty $\Delta = b^2 - 4ac$:

   • Gdy $\Delta > 0$: $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$, gdzie $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe
   • Gdy $\Delta = 0$: $f(x) = a(x-x_0)^2$, gdzie $x_0$ to miejsce zerowe
   • Gdy $\Delta < 0$: nie ma postaci iloczynowej

Miejsca zerowe obliczamy za pomocą wzorów:

• $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $x_0 = \frac{-b}{2a}$ gdy $\Delta = 0$

💡 Warto zapamiętać! Wzór na deltę: $\Delta = b^2 - 4ac$ - to klucz do rozwiązywania równań kwadratowych i analizy funkcji kwadratowej.

Przekształcanie między postaciami jest przydatną umiejętnością. Najważniejsze wzory to:

• Z ogólnej na kanoniczną: $p = \frac{-b}{2a}$, $q = \frac{-\Delta}{4a}$
• Z kanonicznej na ogólną: rozwijamy wzór skróconego mnożenia
• Z ogólnej na iloczynową: obliczamy miejsca zerowe i podstawiamy do wzoru

Odczytywanie własności funkcji kwadratowej

Gdy masz wykres funkcji kwadratowej, możesz z niego odczytać wiele ważnych informacji. Spójrzmy na przykład:

Jeżeli znasz miejsca zerowe funkcji np. $x_1 = 2$ i $x_2 = 5$ oraz pewien punkt na wykresie (np. A(1,14)), możesz wyznaczyć wzór funkcji w postaci iloczynowej:

$f(x) = a(x-2)(x-5)$

Aby znaleźć wartość współczynnika a, podstaw współrzędne znanego punktu: $14 = a(1-2)(1-5) = a(-1)(-4) = 4a$ $a = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

Mając postać iloczynową, możesz łatwo przekształcić ją do postaci ogólnej poprzez wymnożenie: $f(x) = \frac{7}{2}(x-2)(x-5) = \frac{7}{2}(x^2 - 7x + 10) = \frac{7}{2}x^2 - \frac{49}{2}x + 35$

Natomiast by uzyskać postać kanoniczną, obliczasz współrzędne wierzchołka: $p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2+5}{2} = 3,5$ $q = f(p)$

💡 Pamiętaj! Współrzędne wierzchołka to najważniejszy punkt paraboli - tam funkcja osiąga swoją wartość minimalną (gdy a > 0) lub maksymalną (gdy a < 0).

Gdy funkcja jest już w postaci kanonicznej, łatwo określisz jej najważniejsze własności: wierzchołek, zbiór wartości, przedziały monotoniczności oraz to, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Analiza funkcji kwadratowej na podstawie wykresu

Z wykresu funkcji kwadratowej możesz odczytać wiele jej kluczowych własności:

Dziedzina funkcji kwadratowej to zawsze zbiór liczb rzeczywistych: $D = (-\infty, +\infty)$.

Zbiór wartości zależy od współczynnika a:

• Gdy a > 0: $Z = [q, +\infty)$
• Gdy a < 0: $Z = (-\infty, q]$

Miejsca zerowe to punkty, w których wykres przecina oś X. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie (f(x) > 0) lub ujemne (f(x) < 0) w określonych przedziałach, które można odczytać z wykresu.

Przykładowo, gdy znasz miejsca zerowe $x_1 = 2$ i $x_2 = 5$ oraz punkt A(1,14), możesz narysować parabolę i określić:

• Funkcja jest dodatnia dla $x \in (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$
• Funkcja jest ujemna dla $x \in (2, 5)$

Wierzchołek paraboli W = (p, q) można obliczyć jako: $p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 5}{2} = 3,5$

💡 Praktyczna wskazówka: Aby sprawdzić, czy twoje obliczenia są poprawne, podstaw współrzędną x wierzchołka do wzoru funkcji - powinieneś otrzymać wartość q.

Pamiętaj, że kształt paraboli zależy od znaku współczynnika a:

• Gdy a > 0: parabola jest skierowana ramionami do góry
• Gdy a < 0: parabola jest skierowana ramionami w dół

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Gdy znasz określone własności funkcji kwadratowej, możesz wyznaczyć jej wzór. Oto kilka typowych sytuacji:

Na podstawie własności funkcji:

Jeśli wiesz, że funkcja jest dodatnia dla $x \in (-8, -2)$ i osiąga wartość maksymalną $y_m = 2\frac{1}{4}$, możesz:

1. Ustalić, że a < 0 (bo funkcja ma maksimum)
2. Określić wierzchołek W = -5, $2\frac{1}{4}$
3. Zapisać funkcję w postaci kanonicznej: $f(x) = a(x + 5)^2 + 2\frac{1}{4}$
4. Wykorzystać dodatkowe informacje (np. miejsce zerowe) do wyznaczenia wartości a

Wartość największa i najmniejsza w przedziale domkniętym:

Aby znaleźć wartość największą/najmniejszą funkcji $f(x)$ w przedziale $[a, b]$:

1. Oblicz współrzędną x wierzchołka: $p = -\frac{b}{2a}$
2. Sprawdź, czy $p \in [a, b]$
3. Oblicz $f(p)$, $f(a)$ i $f(b)$
4. Wybierz odpowiednią wartość:
   • Gdy a > 0: wartość najmniejsza to minimum z tych trzech
   • Gdy a < 0: wartość największa to maksimum z tych trzech

💡 Uwaga! Pamiętaj, że ekstrema funkcji kwadratowej zawsze znajdują się w wierzchołku, ale jeśli wierzchołek leży poza badanym przedziałem, wartości największe/najmniejsze będą na krańcach przedziału.

Na przykład dla funkcji $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2$ w przedziale $[0, 3]$:

1. $p = 0$ (wierzchołek)
2. $p \in [0, 3]$, więc $f(0) = 2$
3. $f(3) = -1$
4. Wartość największa to 2, a najmniejsza to -1

Zadania optymalizacyjne

Zadania optymalizacyjne to praktyczne zastosowanie funkcji kwadratowej w realnych sytuacjach. Oto przykłady:

Przykład 1: Optymalizacja zysku

Firma stolarska produkuje wiatraki ogrodowe. Przychód tygodniowy to $P(x) = 251x$ zł, a koszty wynoszą $K(x) = x^2 + 21x + 170$ zł, gdzie x to liczba wyprodukowanych wiatraków.

Aby znaleźć liczbę wiatraków maksymalizującą zysk:

1. Zapisz funkcję zysku: $Z(x) = P(x) - K(x) = 251x - (x^2 + 21x + 170) = -x^2 + 230x - 170$
2. Wyznacz wartość x, dla której funkcja zysku osiąga maksimum: $x_m = \frac{-b}{2a} = \frac{-230}{-2} = 115$
3. Sprawdź, czy rozwiązanie mieści się w ograniczeniach (np. maksymalnie 150 wiatraków)
4. Oblicz maksymalny zysk: $Z(115)$

Przykład 2: Maksymalizacja powierzchni

Projektujemy kąpielisko prostokątne, używając 200 m liny do wyznaczenia trzech boków (czwarty bok to brzeg plaży).

1. Zależność między bokami: $2a + b = 200$, więc $b = 200 - 2a$
2. Powierzchnia: $P = a \cdot b = a \cdot (200 - 2a) = 200a - 2a^2$
3. Maksymalizacja powierzchni:
   • $P'(a) = 0$ daje $a = 50$ m
   • Czyli $b = 200 - 2 \cdot 50 = 100$ m

💡 Kluczowa zasada: W zadaniach optymalizacyjnych zawsze szukamy ekstremum funkcji kwadratowej, czyli jej wierzchołka. To pozwala nam znaleźć najlepsze rozwiązanie problemu.

Pamiętaj, że musisz uwzględnić wszystkie ograniczenia (np. $a > 0$, $b > 0$), aby rozwiązanie miało sens w kontekście danego problemu.

Praktyczne zastosowania funkcji kwadratowej

Funkcje kwadratowe pojawiają się w wielu realnych sytuacjach i pomagają rozwiązywać konkretne problemy.

Przykład 1: Wydajność pracy

Funkcja $f(x) = \frac{-x^2 + 6x + 21}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 10,5$ opisuje wydajność pracy robotnika w zależności od czasu pracy $x$ (w godzinach).

Aby znaleźć moment najwyższej wydajności:

1. Wyznacz wartość x, dla której funkcja osiąga maksimum: $x_m = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{-1} = 3$ godziny
2. Sprawdź, czy wartość mieści się w dopuszczalnym przedziale $np. 0-8 godzin$
3. Przenieś na rzeczywisty czas: Jeśli praca zaczyna się o 7:00, najwyższa wydajność będzie o 10:00

Przykład 2: Minimalizacja sumy kwadratów

Zadanie: przedstaw liczbę 30 jako różnicę dwóch liczb a i b tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

1. Mamy warunek: $a - b = 30$, czyli $a = 30 + b$
2. Minimalizujemy: $f(b) = a^2 + b^2 = (30 + b)^2 + b^2 = 2b^2 + 60b + 900$
3. Minimum funkcji: $b_m = \frac{-60}{2 \cdot 2} = -15$
4. Stąd: $a = 30 + (-15) = 15$
5. Odpowiedź: $30 = 15 - (-15)$

💡 Podpowiedź: W zadaniach praktycznych zawsze staraj się zapisać sytuację jako funkcję kwadratową jednej zmiennej, a następnie znajdź jej ekstremum.

Przykład 3: Problem maksymalizacji

W klasie 31 osób część zachorowała. Każdy zdrowy uczeń wysyła kartkę każdemu choremu. Ile osób zachorowało, jeśli liczba wysłanych kartek była największa?

1. Jeśli b osób zachorowało, to zdrowych jest a = 31 - b
2. Liczba kartek: $f(b) = a \cdot b = (31 - b) \cdot b = -b^2 + 31b$
3. Maksimum funkcji: $b_m = \frac{31}{2} \approx 15,5$
4. Ponieważ liczba osób musi być całkowita, sprawdzamy b = 15 i b = 16
5. Odpowiedź: 16 osób zachorowało

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe ma postać $ax^2 + bx + c = 0$ gdzie $a \neq 0$.

Rozwiązania zależą od wartości wyróżnika (delty): $\Delta = b^2 - 4ac$

• Gdy $\Delta > 0$ - równanie ma dwa różne rozwiązania: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Gdy $\Delta = 0$ - równanie ma jedno rozwiązanie (podwójny pierwiastek): $x_0 = \frac{-b}{2a}$
• Gdy $\Delta < 0$ - równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

Równanie nazywamy zupełnym, gdy zarówno b jak i c są różne od zera.

Przykłady rozwiązań:

1. $x^2 - 4 = 0$

   • Równanie niezupełne $b = 0$
   • $x^2 = 4$
   • $x = 2$ lub $x = -2$

2. $4x^2 - 12x + 9 = 0$

   • $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$
   • $\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$
   • $x_0 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

3. $2(x^2 + 4) = -3x$

   • Przekształcamy: $2x^2 + 8 + 3x = 0$
   • $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 9 - 64 = -55$
   • Brak rozwiązań rzeczywistych

💡 Szybka metoda: Jeśli równanie da się zapisać w postaci $x(ax + b) = 0$, to rozwiązaniami są $x = 0$ oraz $x = -\frac{b}{a}$.

Na przykład: $49x^2 = 4x$ można zapisać jako $49x^2 - 4x = 0$, czyli $x(49x - 4) = 0$. Stąd $x_1 = 0$ i $x_2 = \frac{4}{49}$.

Nierówności kwadratowe

Rozwiązując nierówności kwadratowe, musimy uwzględnić znak współczynnika a oraz wartości miejsc zerowych. Najczęściej rozwiązujemy je przez podział osi liczbowej na przedziały za pomocą miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Przykład rozwiązania:

Dla nierówności $(2 - 8x)(x + 1) > (1 - 4x)(x - 2)$:

1. Przekształcamy do postaci standardowej: $(2 - 8x)(x + 1) - (1 - 4x)(x - 2) > 0$ Po wymnożeniu i uporządkowaniu: $-4x^2 + x > 0$

2. Rozkładamy na czynniki: $x(-4x + 1) > 0$

3. Miejsca zerowe: $x_1 = 0$ i $x_2 = \frac{1}{4}$

4. Określamy przedziały i badamy znaki:

   • Dla $x < 0$: pierwszy czynnik ujemny, drugi dodatni → iloczyn ujemny
   • Dla $0 < x < \frac{1}{4}$: oba czynniki dodatnie → iloczyn dodatni
   • Dla $x > \frac{1}{4}$: pierwszy czynnik dodatni, drugi ujemny → iloczyn ujemny

5. Rozwiązanie: $x \in (0, \frac{1}{4})$

💡 Pamiętaj! Kluczowym krokiem jest podział osi liczbowej na przedziały za pomocą miejsc zerowych i sprawdzenie znaku funkcji kwadratowej w każdym z tych przedziałów.

Graficznie, rozwiązanie nierówności kwadratowej odpowiada znalezieniu przedziałów, w których wykres funkcji kwadratowej znajduje się powyżej osi OX (dla nierówności $f(x) > 0$) lub poniżej osi OX (dla nierówności $f(x) < 0$).

Metoda przedziałów jest szczególnie wygodna przy bardziej skomplikowanych nierównościach, gdy trzeba analizować znak iloczynu lub ilorazu wielu czynników.

Równania dwukwadratowe

Równania dwukwadratowe mają postać $ax^4 + bx^2 + c = 0$ i można je rozwiązać przez podstawienie $t = x^2$.

Przykład 1:

$x^4 - 5x^2 = -4$

1. Przekształcamy: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
2. Podstawiamy $t = x^2$ pamiętając, że $t \geq 0$: $t^2 - 5t + 4 = 0$
3. Obliczamy deltę: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
4. Rozwiązania: $t_1 = 4$ i $t_2 = 1$
5. Wracamy do zmiennej x: $x^2 = 1$ lub $x^2 = 4$
6. Końcowe rozwiązania: $x \in {-2, -1, 1, 2}$

Przykład 2:

$x^4 + 5x^2 = 14$

1. Przekształcamy: $x^4 + 5x^2 - 14 = 0$
2. Podstawiamy $t = x^2$: $t^2 + 5t - 14 = 0$
3. Obliczamy deltę: $\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
4. Rozwiązania: $t_1 = -7$ odrzucamy bo $t \geq 0$ i $t_2 = 2$
5. Końcowe rozwiązania: $x \in {-\sqrt{2}, \sqrt{2}}$

💡 Kluczowa zasada: W równaniach dwukwadratowych zawsze pamiętaj o warunku $t \geq 0$, który wynika z podstawienia $t = x^2$.

Przykład 3:

$x^4 - 25x^2 = 0$

1. Zapisujemy: $x^2(x^2 - 25) = 0$
2. Rozwiązania: $x^2 = 0$ lub $x^2 = 25$
3. Końcowe rozwiązania: $x \in {-5, 0, 5}$

Ta metoda działa również dla równań zawierających tylko parzyste potęgi zmiennej x, np. $ax^6 + bx^4 + cx^2 + d = 0$, gdzie zastosowalibyśmy podstawienie $t = x^2$ i rozwiązali równanie sześcienne.

Zadania z zastosowaniem równań i nierówności kwadratowych

Przykład 1: Obliczanie oprocentowania lokaty bankowej

Zadanie: 15000 zł wpłacono do banku na dwa lata. Po tym czasie kapitał urósł do 15606 zł. Jakie było roczne oprocentowanie lokaty?

Rozwiązanie:

1. Oznaczmy oprocentowanie jako x%
2. Po pierwszym roku kapitał wynosi: $15000 + \frac{x}{100} \cdot 15000 = 15000(1 + \frac{x}{100})$
3. Po drugim roku mamy: $15000(1 + \frac{x}{100})(1 + \frac{x}{100}) = 15000(1 + \frac{x}{100})^2 = 15606$
4. Po przekształceniach: $1,5x^2 + 300x - 606 = 0$
5. Po podzieleniu przez 10: $15x^2 + 3000x - 6060 = 0$
6. Obliczamy deltę: $\Delta = 3000^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-6060) = 9000000 + 363600 = 9363600$
7. $\sqrt{\Delta} = 3060$
8. Rozwiązania: $x_1 = 2$, $x_2 = -202$ (odrzucamy jako nierealne)

Odpowiedź: oprocentowanie wynosiło 2% rocznie.

Przykład 2: Obliczanie obniżek cenowych

Zadanie: Telewizor kosztujący początkowo 8000 zł został poddany dwóm kolejnym obniżkom o takim samym procencie. Po tych obniżkach kosztował 7220 zł. O jaki procent obniżano cenę?

Rozwiązanie:

1. Oznaczamy obniżkę jako x%
2. Po pierwszej obniżce cena wynosi: $8000 - \frac{x}{100} \cdot 8000 = 8000(1 - \frac{x}{100})$
3. Po drugiej obniżce: $8000(1 - \frac{x}{100})^2 = 7220$
4. Po przekształceniach: $0,8x^2 - 160x + 780 = 0$
5. Po pomnożeniu przez 10: $8x^2 - 1600x + 7800 = 0$
6. Obliczamy deltę: $\Delta = (-1600)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 7800 = 2560000 - 249600 = 2310400$
7. Rozwiązania: $x_1 = 195$, $x_2 = 5$

💡 Praktyczna porada: W zadaniach z procentami zawsze sprawdzaj, czy otrzymane rozwiązanie jest realistyczne. Obniżka o 195% jest niemożliwa, więc poprawną odpowiedzią jest 5%.

Odpowiedź: Cena była obniżana o 5% w każdej z dwóch obniżek.

W obu przykładach zastosowanie równań kwadratowych pozwoliło rozwiązać praktyczne problemy związane z finansami i obliczeniami procentowymi.