Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Pierwiastki i miejsca zerowe wielomianów

Miejsca zerowe/Pierwiastki

2,024

•

Zaktualizowano Mar 22, 2026

•

2 strony

Jak rozwiązywać nierówności wielomianowe - Poradnik

user profile picture

✨️Mamelia✨️

@mamelia

Nierówności wielomianowe to ważny temat w matematyce, który pozwala rozwiązywać... Pokaż więcej

# Nierórnosa wilamianswer → nierówności wielomianowe rozwiązuje się prawie tak samo jak nierówności z niewiadomą. Różnicą między tymi nieró

Nierówności wielomianowe - podstawy i rozwiązywanie

Nierówności wielomianowe rozwiązujemy podobnie jak zwykłe nierówności, ale z uwzględnieniem krotności pierwiastków. Krotność pierwiastka to po prostu potęga nawiasu, w którym znajduje się dany pierwiastek. Na przykład, w równaniu (x+2)3=0(x+2)^3=0 pierwiastek x=−2x=-2 ma krotność 3.

Kluczową zasadą podczas rysowania wykresu jest to, że gdy krotność pierwiastka jest parzysta, funkcja "odbija się" od osi wyników. Gdy krotność jest nieparzysta, funkcja "przebija" oś. Wykres zawsze zaczynamy rysować od prawej strony.

Zobaczmy to na przykładzie: dla nierówności x2(−2−x)(x−3)2<0x^2(-2-x)(x-3)^2 < 0 znajdujemy pierwiastki x=0x=0 (krotność 2), x=−2x=-2 (krotność 1) oraz x=3x=3 (krotność 2). Rysujemy je na osi, a następnie prowadzimy linię od prawej strony, pamiętając o zasadzie odbijania/przebijania. Ostatecznie otrzymujemy zbiór rozwiązań: x∈(−2,0)∪(0,3)x \in (-2,0) \cup (0,3).

Wskazówka: Pamiętaj o kolejności działań: znajdź pierwiastki, określ ich krotności, narysuj wykres i sprawdź, gdzie funkcja spełnia warunki nierówności. To naprawdę proste, gdy zrozumiesz mechanizm!

W drugim przykładzie x4+8x3≥−12x2x^4 + 8x^3 \geq -12x^2 po przekształceniach otrzymujemy x2(x2+8x+12)≥0x^2(x^2 + 8x + 12) \geq 0. Rozwiązując równanie kwadratowe, znajdujemy pierwiastki: x=0x=0 (krotność 2), x=−2x=-2 (krotność 1) i x=−6x=-6 (krotność 1). Analizując znak wielomianu, otrzymujemy odpowiedź: x∈(−∞,−6⟩∪⟨−2,+∞)x \in (-\infty,-6⟩ \cup ⟨-2,+\infty).

# Nierórnosa wilamianswer → nierówności wielomianowe rozwiązuje się prawie tak samo jak nierówności z niewiadomą. Różnicą między tymi nieró

Nierówności wielomianowe z zastosowaniem schematu Hornera

W bardziej złożonych przykładach, jak $4x^3 - 7x + 3 > 0$, możemy wykorzystać schemat Hornera do efektywnego rozkładu wielomianu. Zauważamy, że δ(1)=0\delta(1) = 0, co oznacza, że x=1x=1 jest pierwiastkiem wielomianu.

Stosując schemat Hornera, rozkładamy wielomian na czynniki: $4x^3 - 7x + 3 = x−1x-14x2+4x−34x^2 + 4x - 3.Następnierozwiązujemyroˊwnaniekwadratowe. Następnie rozwiązujemy równanie kwadratowe 4x^2 + 4x - 3 = 0,otrzymującpierwiastki, otrzymując pierwiastki x=\frac{1}{2}i i x=-\frac{3}{2}$.

Wszystkie znalezione pierwiastki to: x=1x=1, x=12x=\frac{1}{2} oraz x=−32x=-\frac{3}{2}, każdy o krotności 1. Analizując zachowanie funkcji przy przejściu przez te punkty i uwzględniając znak nierówności, otrzymujemy odpowiedź: x∈(−32,12)∪(1,+∞)x \in (-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty).

Ważne! Zwróć uwagę, że przy nieparzystej krotności pierwiastka funkcja zmienia znak (przebija oś), a przy parzystej - nie zmienia (odbija się). To klucz do poprawnego rozwiązywania nierówności wielomianowych!

Pamiętaj, że możesz zawsze sprawdzić swoje rozwiązanie, podstawiając kilka wartości z otrzymanych przedziałów do oryginalnej nierówności. Powinny one spełniać warunek nierówności, co potwierdzi poprawność twojego rozwiązania.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Miejsca zerowe/Pierwiastki

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie ogólna, kanoniczna i iloczynowa, obliczanie miejsc zerowych, wierzchołka oraz rysowanie wykresu. Przykłady zadań i kluczowe właściwości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Matematycznych

Zgłębiaj kluczowe aspekty analizy funkcji matematycznych, w tym dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz monotoniczność. Ta prezentacja zawiera przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania, które pomogą w zrozumieniu funkcji i ich wykresów.

MatematykaMatematyka
1

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie pojęcia funkcji matematycznej, jej reprezentacji graficznych, tabelarycznych oraz wzorów. Dowiedz się, jak określić miejsce zerowe funkcji i jakie są kluczowe elementy funkcji, takie jak dziedzina i przeciwdziedzina. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Rozwiązywanie Wielomianów

Odkryj metody rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych z parametrem. Materiał obejmuje właściwości funkcji, zastosowanie twierdzenia Bézouta oraz analizy wykresów. Idealne dla studentów matematyki, którzy chcą zgłębić temat wielomianów i ich zastosowań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Miejsca Zerowe Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej: warunki istnienia, liczba miejsc zerowych oraz ich obliczanie. Notatka zawiera przykłady oraz wyjaśnienia dotyczące funkcji kwadratowej w kontekście matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym.

MatematykaMatematyka
4

Równania Kwadratowe i Nierówności

Zrozumienie równań kwadratowych i nierówności: krok po kroku do obliczania miejsc zerowych, analizy postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej. Dowiedz się, jak obliczać deltę oraz rysować wykresy funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Praktyczny przewodnik po rozwiązywaniu równań wielomianowych. Zawiera szczegółowe przykłady, takie jak 6x^3 + 2x^2 = 0 oraz x^5 + 4x^3 = 0, z krok po kroku analizą metod. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MatematykaMatematyka
8

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Zanurz się w szczegółową analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj genezę utworu, znaczenie tytułu oraz kluczowe wątki i postacie. Dowiedz się, jak Żeromski przedstawia przemiany społeczne i polityczne w Polsce po odzyskaniu niepodległości. Idealne dla studentów literatury i miłośników klasyki.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Pierwiastki i miejsca zerowe wielomianów

Miejsca zerowe/Pierwiastki

 

Matematyka

•

2,024

•

Zaktualizowano Mar 22, 2026

•

2 strony

Jak rozwiązywać nierówności wielomianowe - Poradnik

user profile picture

✨️Mamelia✨️

@mamelia

Nierówności wielomianowe to ważny temat w matematyce, który pozwala rozwiązywać złożone zadania algebraiczne. Kluczową różnicą między zwykłymi nierównościami a wielomianowymi jest uwzględnianie krotności pierwiastków, co wpływa na zachowanie funkcji w pobliżu miejsc zerowych.

# Nierórnosa wilamianswer → nierówności wielomianowe rozwiązuje się prawie tak samo jak nierówności z niewiadomą. Różnicą między tymi nieró

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Nierówności wielomianowe - podstawy i rozwiązywanie

Nierówności wielomianowe rozwiązujemy podobnie jak zwykłe nierówności, ale z uwzględnieniem krotności pierwiastków. Krotność pierwiastka to po prostu potęga nawiasu, w którym znajduje się dany pierwiastek. Na przykład, w równaniu (x+2)3=0(x+2)^3=0 pierwiastek x=−2x=-2 ma krotność 3.

Kluczową zasadą podczas rysowania wykresu jest to, że gdy krotność pierwiastka jest parzysta, funkcja "odbija się" od osi wyników. Gdy krotność jest nieparzysta, funkcja "przebija" oś. Wykres zawsze zaczynamy rysować od prawej strony.

Zobaczmy to na przykładzie: dla nierówności x2(−2−x)(x−3)2<0x^2(-2-x)(x-3)^2 < 0 znajdujemy pierwiastki x=0x=0 (krotność 2), x=−2x=-2 (krotność 1) oraz x=3x=3 (krotność 2). Rysujemy je na osi, a następnie prowadzimy linię od prawej strony, pamiętając o zasadzie odbijania/przebijania. Ostatecznie otrzymujemy zbiór rozwiązań: x∈(−2,0)∪(0,3)x \in (-2,0) \cup (0,3).

Wskazówka: Pamiętaj o kolejności działań: znajdź pierwiastki, określ ich krotności, narysuj wykres i sprawdź, gdzie funkcja spełnia warunki nierówności. To naprawdę proste, gdy zrozumiesz mechanizm!

W drugim przykładzie x4+8x3≥−12x2x^4 + 8x^3 \geq -12x^2 po przekształceniach otrzymujemy x2(x2+8x+12)≥0x^2(x^2 + 8x + 12) \geq 0. Rozwiązując równanie kwadratowe, znajdujemy pierwiastki: x=0x=0 (krotność 2), x=−2x=-2 (krotność 1) i x=−6x=-6 (krotność 1). Analizując znak wielomianu, otrzymujemy odpowiedź: x∈(−∞,−6⟩∪⟨−2,+∞)x \in (-\infty,-6⟩ \cup ⟨-2,+\infty).

# Nierórnosa wilamianswer → nierówności wielomianowe rozwiązuje się prawie tak samo jak nierówności z niewiadomą. Różnicą między tymi nieró

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Nierówności wielomianowe z zastosowaniem schematu Hornera

W bardziej złożonych przykładach, jak $4x^3 - 7x + 3 > 0$, możemy wykorzystać schemat Hornera do efektywnego rozkładu wielomianu. Zauważamy, że δ(1)=0\delta(1) = 0, co oznacza, że x=1x=1 jest pierwiastkiem wielomianu.

Stosując schemat Hornera, rozkładamy wielomian na czynniki: $4x^3 - 7x + 3 = x−1x-14x2+4x−34x^2 + 4x - 3.Następnierozwiązujemyroˊwnaniekwadratowe. Następnie rozwiązujemy równanie kwadratowe 4x^2 + 4x - 3 = 0,otrzymującpierwiastki, otrzymując pierwiastki x=\frac{1}{2}i i x=-\frac{3}{2}$.

Wszystkie znalezione pierwiastki to: x=1x=1, x=12x=\frac{1}{2} oraz x=−32x=-\frac{3}{2}, każdy o krotności 1. Analizując zachowanie funkcji przy przejściu przez te punkty i uwzględniając znak nierówności, otrzymujemy odpowiedź: x∈(−32,12)∪(1,+∞)x \in (-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty).

Ważne! Zwróć uwagę, że przy nieparzystej krotności pierwiastka funkcja zmienia znak (przebija oś), a przy parzystej - nie zmienia (odbija się). To klucz do poprawnego rozwiązywania nierówności wielomianowych!

Pamiętaj, że możesz zawsze sprawdzić swoje rozwiązanie, podstawiając kilka wartości z otrzymanych przedziałów do oryginalnej nierówności. Powinny one spełniać warunek nierówności, co potwierdzi poprawność twojego rozwiązania.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

37

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny egzamin próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Równania Kwadratowe

Zrozumienie równań kwadratowych: teoria, przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Obejmuje właściwości funkcji, przekształcenia, miejsca zerowe oraz rozwiązywanie nierówności. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
2

Miejsca Zerowe Funkcji Kwadratowej

Zrozum, jak przekształcić funkcję kwadratową z postaci ogólnej do iloczynowej. Dowiedz się, jak obliczać miejsca zerowe oraz zastosować wzory na deltę. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Rozkład funkcji kwadratowej

Zrozumienie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej y = ax² + bx + c. Dowiedz się, jak przedstawiać trójmiany kwadratowe w postaci iloczynowej, identyfikować pierwiastki oraz stosować wzory do rozkładu na czynniki liniowe. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Optymalizacja funkcji kwadratowej

Przewodnik po optymalizacji funkcji kwadratowej. Dowiedz się, jak wyznaczyć wzór funkcji, określić dziedzinę oraz obliczyć wartości ekstremalne. Idealne dla studentów matematyki, którzy chcą zrozumieć zastosowanie funkcji kwadratowych w zadaniach optymalizacyjnych.

MatematykaMatematyka
2

Nierówności i Równania Kwadratowe

Zgłębiaj nierówności i równania kwadratowe! Dowiedz się o własnościach funkcji kwadratowej, miejscach zerowych, oraz sposobach przekształcania postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Przykłady zadań tekstowych oraz szczegółowe omówienie delty i jej zastosowania w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
2

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie ogólna, kanoniczna i iloczynowa, obliczanie miejsc zerowych oraz analiza wartości minimalnych i maksymalnych w przedziale. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki: Miejsca zerowe/Pierwiastki

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie ogólna, kanoniczna i iloczynowa, obliczanie miejsc zerowych, wierzchołka oraz rysowanie wykresu. Przykłady zadań i kluczowe właściwości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Matematycznych

Zgłębiaj kluczowe aspekty analizy funkcji matematycznych, w tym dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz monotoniczność. Ta prezentacja zawiera przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania, które pomogą w zrozumieniu funkcji i ich wykresów.

MatematykaMatematyka
1

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie pojęcia funkcji matematycznej, jej reprezentacji graficznych, tabelarycznych oraz wzorów. Dowiedz się, jak określić miejsce zerowe funkcji i jakie są kluczowe elementy funkcji, takie jak dziedzina i przeciwdziedzina. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Rozwiązywanie Wielomianów

Odkryj metody rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych z parametrem. Materiał obejmuje właściwości funkcji, zastosowanie twierdzenia Bézouta oraz analizy wykresów. Idealne dla studentów matematyki, którzy chcą zgłębić temat wielomianów i ich zastosowań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Miejsca Zerowe Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej: warunki istnienia, liczba miejsc zerowych oraz ich obliczanie. Notatka zawiera przykłady oraz wyjaśnienia dotyczące funkcji kwadratowej w kontekście matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym.

MatematykaMatematyka
4

Równania Kwadratowe i Nierówności

Zrozumienie równań kwadratowych i nierówności: krok po kroku do obliczania miejsc zerowych, analizy postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej. Dowiedz się, jak obliczać deltę oraz rysować wykresy funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Praktyczny przewodnik po rozwiązywaniu równań wielomianowych. Zawiera szczegółowe przykłady, takie jak 6x^3 + 2x^2 = 0 oraz x^5 + 4x^3 = 0, z krok po kroku analizą metod. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MatematykaMatematyka
8

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Zanurz się w szczegółową analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj genezę utworu, znaczenie tytułu oraz kluczowe wątki i postacie. Dowiedz się, jak Żeromski przedstawia przemiany społeczne i polityczne w Polsce po odzyskaniu niepodległości. Idealne dla studentów literatury i miłośników klasyki.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS