Funkcja kwadratowa - definicje i przykłady

Emilia Tullin

15.11.2025

Matematyka

Funkcja kwadratowa

Matematyka

Równania krzywych stożkowych

Postać ogólna paraboli

1416

•

15 lis 2025

•

2 strony

Funkcja kwadratowa - definicje i przykłady

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Emilia Tullin

@emiliatullin

Funkcja kwadratowa to kluczowy element matematyki, który opiera się na... Pokaż więcej

Postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może być zapisana na trzy sposoby, które pomagają nam zrozumieć jej różne właściwości:

Postać ogólna: $y=ax²+bx+c$ $np. $y=2x²+3x+6$$ - najbardziej podstawowy zapis, od którego często zaczynamy pracę z funkcją.

Postać kanoniczna: $y=a(x-p)²+q$ $np. $y=4(x-3)²+6$$ - świetna do określenia współrzędnych wierzchołka $(p,q)$ oraz osi symetrii funkcji.

Postać iloczynowa: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ $np. $y=2(x-5)(x-10)$$ - pozwala łatwo odczytać miejsca zerowe funkcji $(x_1, x_2)$ .

💡 Pamiętaj, że gdy a>0, parabola jest skierowana ramionami do góry i ma minimum. Gdy a<0, parabola jest skierowana w dół i ma maksimum!

Ważne wzory, które pomogą Ci w pracy z funkcją kwadratową:

Delta: $\Delta=b²-4ac$
Współrzędne wierzchołka: $p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$
Miejsca zerowe: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ $gdy $\Delta \geq 0$$

Aby zamienić jedną postać w drugą, wykonujemy odpowiednie przekształcenia. Na przykład, z postaci kanonicznej do ogólnej rozwijamy nawiasy i grupujemy wyrazy. Z postaci iloczynowej do kanonicznej obliczamy wierzchołek paraboli.

Wartości ekstremalne i nierówności kwadratowe

Aby znaleźć wartość maksymalną lub minimalną funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $[a,b]$ , postępuj według prostego planu:

Znajdź współrzędną $p$ wierzchołka paraboli
Sprawdź, czy $p$ należy do przedziału $[a,b]$
Oblicz wartość funkcji w wierzchołku $f(p)=q$ oraz na końcach przedziału: $f(a)$ i $f(b)$
Porównaj te wartości, aby znaleźć ekstremum

Nierówności kwadratowe to wyrażenia typu $ax²+bx+c>0$ lub $ax²+bx+c≤0$ . Ich rozwiązanie zależy od znaku współczynnika $a$ oraz wartości delty $\Delta$ .

Gdy $\Delta>0$ i mamy dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ :

Dla $a>0$ : nierówność $ax²+bx+c>0$ jest spełniona dla $x \in (-\infty,x_1) \cup (x_2,\infty)$
Dla $a<0$ : nierówność $ax²+bx+c>0$ jest spełniona dla $x \in (x_1,x_2)$

⚠️ Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych zawsze zwracaj uwagę na znak współczynnika $a$ - to on decyduje o kształcie paraboli i wpływa na zbiór rozwiązań!

Przykład: Dla funkcji $f(x)=x²+5x-6$ w przedziale $[-3,1]$ wierzchołek ma współrzędną $p=-2,5$ , która należy do przedziału. Porównując wartości $f(-2,5)$ , $f(-3)$ i $f(1)$ , możemy określić, że minimum to $f(-2,5)=-12,25$ , a maksimum to $f(1)=0$ .

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

funkcja kwadratowa

1530

Funkcja kwadratowa i jej postacie

3141

Wstęp do funkcji kwadratowej

944

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Równania krzywych stożkowych

Postać ogólna paraboli

Matematyka

•

1416

•

15 lis 2025

•

2 strony

Funkcja kwadratowa - definicje i przykłady

Emilia Tullin

@emiliatullin

Funkcja kwadratowa to kluczowy element matematyki, który opiera się na wzorze z x w drugiej potędze. Możemy ją zapisać w trzech głównych postaciach, a każda z nich ma swoje zastosowanie przy rozwiązywaniu różnych problemów matematycznych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może być zapisana na trzy sposoby, które pomagają nam zrozumieć jej różne właściwości:

Postać ogólna: $y=ax²+bx+c$ $np. $y=2x²+3x+6$$ - najbardziej podstawowy zapis, od którego często zaczynamy pracę z funkcją.

Postać kanoniczna: $y=a(x-p)²+q$ $np. $y=4(x-3)²+6$$ - świetna do określenia współrzędnych wierzchołka $(p,q)$ oraz osi symetrii funkcji.

Postać iloczynowa: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ $np. $y=2(x-5)(x-10)$$ - pozwala łatwo odczytać miejsca zerowe funkcji $(x_1, x_2)$ .

💡 Pamiętaj, że gdy a>0, parabola jest skierowana ramionami do góry i ma minimum. Gdy a<0, parabola jest skierowana w dół i ma maksimum!

Ważne wzory, które pomogą Ci w pracy z funkcją kwadratową:

Delta: $\Delta=b²-4ac$
Współrzędne wierzchołka: $p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$
Miejsca zerowe: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ $gdy $\Delta \geq 0$$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartości ekstremalne i nierówności kwadratowe

Aby znaleźć wartość maksymalną lub minimalną funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $[a,b]$ , postępuj według prostego planu:

Znajdź współrzędną $p$ wierzchołka paraboli
Sprawdź, czy $p$ należy do przedziału $[a,b]$
Oblicz wartość funkcji w wierzchołku $f(p)=q$ oraz na końcach przedziału: $f(a)$ i $f(b)$
Porównaj te wartości, aby znaleźć ekstremum

Nierówności kwadratowe to wyrażenia typu $ax²+bx+c>0$ lub $ax²+bx+c≤0$ . Ich rozwiązanie zależy od znaku współczynnika $a$ oraz wartości delty $\Delta$ .

Gdy $\Delta>0$ i mamy dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ :

Dla $a>0$ : nierówność $ax²+bx+c>0$ jest spełniona dla $x \in (-\infty,x_1) \cup (x_2,\infty)$
Dla $a<0$ : nierówność $ax²+bx+c>0$ jest spełniona dla $x \in (x_1,x_2)$

⚠️ Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych zawsze zwracaj uwagę na znak współczynnika $a$ - to on decyduje o kształcie paraboli i wpływa na zbiór rozwiązań!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Równania Kwadratowe

Zrozumienie równań kwadratowych: analiza miejsc zerowych, postaci kanonicznej i iloczynowej oraz warunki dla różnych rozwiązań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Kluczowe pojęcia: funkcje kwadratowe, transformacje funkcji, dziedzina funkcji.

Matematyka

Postacie Funkcji Kwadratowej

Odkryj różne postacie funkcji kwadratowej: ogólną, kanoniczną i iloczynową. Dowiedz się, jak zamieniać między tymi postaciami oraz obliczać miejsca zerowe. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Funkcja Kwadratowa: Postać Kanoniczna

Zrozumienie funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Notatki obejmują definicję, właściwości, wierzchołek oraz os symetrii funkcji kwadratowej. Idealne dla uczniów na poziomie podstawowym i rozszerzonym, którzy chcą zgłębić temat funkcji kwadratowych i ich zastosowań w matematyce.

Matematyka

Wzory Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: wzory, miejsca zerowe, postać kanoniczna i ogólna, oraz analiza monotoniczności. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak delty, wierzchołki i symetria.

Matematyka

matematyka funkcja kwadratowa

Matematyka. funkcja kwadratowa (postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej)

Matematyka

Zamiana Funkcji Kwadratowej

Przewodnik po metodzie zamiany funkcji kwadratowej z postaci ogólnej na kanoniczną i iloczynową. Zawiera szczegółowe obliczenia delty oraz przykłady wyznaczania miejsc zerowych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

funkcja kwadratowa

1530

Funkcja kwadratowa i jej postacie

3141

Wstęp do funkcji kwadratowej

944

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS