Matematyka

Równania krzywych stożkowych

Postać ogólna paraboli

1,477

•

Zaktualizowano Mar 12, 2026

•

2 strony

Funkcja kwadratowa - definicje i przykłady

Emilia Tullin

@emiliatullin

Funkcja kwadratowa to kluczowy element matematyki, który opiera się na... Pokaż więcej

Postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może być zapisana na trzy sposoby, które pomagają nam zrozumieć jej różne właściwości:

Postać ogólna: $y=ax²+bx+c$ $np. $y=2x²+3x+6$$ - najbardziej podstawowy zapis, od którego często zaczynamy pracę z funkcją.

Postać kanoniczna: $y=a(x-p)²+q$ $np. $y=4(x-3)²+6$$ - świetna do określenia współrzędnych wierzchołka $(p,q)$ oraz osi symetrii funkcji.

Postać iloczynowa: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ $np. $y=2(x-5)(x-10)$$ - pozwala łatwo odczytać miejsca zerowe funkcji $(x_1, x_2)$ .

💡 Pamiętaj, że gdy a>0, parabola jest skierowana ramionami do góry i ma minimum. Gdy a<0, parabola jest skierowana w dół i ma maksimum!

Ważne wzory, które pomogą Ci w pracy z funkcją kwadratową:

Delta: $\Delta=b²-4ac$
Współrzędne wierzchołka: $p=-\frac{b}{2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$
Miejsca zerowe: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ $gdy $\Delta \geq 0$$

Aby zamienić jedną postać w drugą, wykonujemy odpowiednie przekształcenia. Na przykład, z postaci kanonicznej do ogólnej rozwijamy nawiasy i grupujemy wyrazy. Z postaci iloczynowej do kanonicznej obliczamy wierzchołek paraboli.

Wartości ekstremalne i nierówności kwadratowe

Aby znaleźć wartość maksymalną lub minimalną funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $[a,b]$ , postępuj według prostego planu:

Znajdź współrzędną $p$ wierzchołka paraboli
Sprawdź, czy $p$ należy do przedziału $[a,b]$
Oblicz wartość funkcji w wierzchołku $f(p)=q$ oraz na końcach przedziału: $f(a)$ i $f(b)$
Porównaj te wartości, aby znaleźć ekstremum

Nierówności kwadratowe to wyrażenia typu $ax²+bx+c>0$ lub $ax²+bx+c≤0$ . Ich rozwiązanie zależy od znaku współczynnika $a$ oraz wartości delty $\Delta$ .

Gdy $\Delta>0$ i mamy dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ :

Dla $a>0$ : nierówność $ax²+bx+c>0$ jest spełniona dla $x \in (-\infty,x_1) \cup (x_2,\infty)$
Dla $a<0$ : nierówność $ax²+bx+c>0$ jest spełniona dla $x \in (x_1,x_2)$

⚠️ Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych zawsze zwracaj uwagę na znak współczynnika $a$ - to on decyduje o kształcie paraboli i wpływa na zbiór rozwiązań!

Przykład: Dla funkcji $f(x)=x²+5x-6$ w przedziale $[-3,1]$ wierzchołek ma współrzędną $p=-2,5$ , która należy do przedziału. Porównując wartości $f(-2,5)$ , $f(-3)$ i $f(1)$ , możemy określić, że minimum to $f(-2,5)=-12,25$ , a maksimum to $f(1)=0$ .

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa i jej postacie

3187