Sprawdzanie punktów należących do wykresu funkcji kwadratowej

Żeby sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji kwadratowej, podstawiasz współrzędną x do wzoru i obliczasz y. Jeśli otrzymany wynik zgadza się ze współrzędną y punktu - bingo, punkt należy do wykresu!

Na przykład dla funkcji y = -⅔x² i punktu $-6, y$, podstawiasz: y = -⅔(-6)² = -⅔ · 36 = -24. Punkt (-6, -24) należy więc do wykresu.

Czasem musisz znaleźć współczynnik a w funkcji f(x) = ax². Wtedy podstawiasz współrzędne punktu do wzoru i rozwiązujesz równanie. Dla punktu (2, -8): -8 = a · 2², więc a = -2.

Szybka wskazówka: Zawsze pamiętaj o znakach! Podnoszenie liczby ujemnej do kwadratu daje wynik dodatni, ale współczynnik a może być ujemny.

Postać kanoniczna i właściwości funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to y = a$x - p$² + q, gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli. To super przydatna forma, bo od razu widzisz najważniejsze informacje o funkcji.

Żeby przepisać funkcję z postaci ogólnej do kanonicznej, obliczasz p = -b/2a, potem deltę Δ = b² - 4ac, a na koniec q = -Δ/4a. Na przykład dla f(x) = -2x² - 8x + 1 otrzymujesz y = -2$x + 2$² + 9.

Przedziały monotoniczności to miejsca, gdzie funkcja rośnie lub maleje. Dla paraboli "uśmiechniętej" (a > 0) funkcja maleje przed wierzchołkiem i rośnie po nim. Dla paraboli "smutnej" (a < 0) jest odwrotnie.

Oś symetrii paraboli ma równanie x = p, gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka. To prosta pionowa przechodzi przez środek paraboli.

Pro tip: Wierzchołek paraboli to najwyższy punkt (gdy a < 0) lub najniższy punkt (gdy a > 0). Stamtąd łatwo określisz zbiór wartości funkcji!