Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady

Otwórz

RiKe.<3

17.05.2022

Matematyka

pochodna funkcji

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie ze wzoru do interpretacji zagadnień

Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady

Pochodne funkcji to kluczowe zagadnienie w analizie matematycznej, umożliwiające badanie zmian funkcji. Obejmuje ono definicję pochodnej, jej interpretację geometryczną oraz reguły obliczania.

Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentu dąży do zera.
Geometrycznie pochodna reprezentuje nachylenie stycznej do wykresu funkcji.
Znajomość reguł różniczkowania, w tym pochodnej funkcji złożonej, jest kluczowa dla efektywnych obliczeń.

17.05.2022

przyrost argumentu funkcji (x=xoth)
(f(x)=f(x) = f(x+h)-f(x)] przyrost wartości funkci
√ (da x‡xo) - inny zapis
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
F

Zobacz

Reguły różniczkowania i pochodna funkcji złożonej

W tej części skupiamy się na regułach różniczkowania oraz koncepcji pochodnej funkcji złożonej. Znajomość tych zasad jest niezbędna do efektywnego obliczania pochodnych.

Pochodne wzory podstawowe obejmują:

Pochodna stałej: $c$ ' = 0
Pochodna funkcji liniowej: $cx$ ' = c
Pochodna sumy: $f(x$ + g $x$ )' = f' $x$ + g' $x$
Pochodna iloczynu: $f(x$ · g $x$ )' = f' $x$ · g $x$ + f $x$ · g' $x$
Pochodna ilorazu: $f(x$ / g $x$ )' = $f'(x$ · g $x$ - f $x$ · g' $x$ ) / $g(x$ )²

Highlight: Znajomość podstawowych pochodnych wzorów znacznie ułatwia obliczanie pochodnej funkcji.

Szczególnie istotna jest pochodna funkcji złożonej, która pozwala na różniczkowanie funkcji składających się z kilku operacji.

Definition: Pochodna funkcji złożonej $h(x$ = f $g(x$ )) wyraża się wzorem: h' $x$ = f' $g(x$ ) · g' $x$

Ta reguła, znana również jako reguła łańcuchowa, jest niezwykle przydatna w obliczaniu pochodnych przykładów bardziej skomplikowanych funkcji.

Example: Dla funkcji h $x$ = sin $x²$ , stosując regułę łańcuchową, otrzymujemy: h' $x$ = cos $x²$ · 2x

Kalkulator pochodnych może być pomocnym narzędziem do weryfikacji obliczeń, szczególnie w przypadku skomplikowanych funkcji złożonych. Jednak zrozumienie podstawowych zasad różniczkowania jest kluczowe dla rozwoju umiejętności matematycznych.

Praktyka w rozwiązywaniu działań na pochodnych zadania oraz pochodnej funkcji złożonej zadania jest niezbędna do pełnego opanowania tego tematu.

Podobne notatki

1201

1/2

funkcja wymierna

definicja, przykłady, dziedzina, wykres, postać kanoniczna funkcji wykładniczej

2275

funkcje i ich własności

poziom rozszerzony <3

1874

Funkcje - Pojęcie funkcji

Matematyka - funkcje - pojęcie funkcji

2233

2/3

funkcja wykładnicza

poziom podstawowy

Know Podstawowe własności wybranych funkcji thumbnail

1943

1/2

Podstawowe własności wybranych funkcji

Know zamiana postaci iloczynowej thumbnail

389

1/2

zamiana postaci iloczynowej

metoda zamiany postaci iloczynowej i przykład z wyjaśnieniem

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie ze wzoru do interpretacji zagadnień

Matematyka

•

667

•

17 maj 2022

•

2 strony

Pochodna funkcji: definicja, wzory i przykłady

RiKe.<3

@katczm_eunw

Pochodne funkcji to kluczowe zagadnienie w analizie matematycznej, umożliwiające badanie zmian funkcji. Obejmuje ono definicję pochodnej, jej interpretację geometryczną oraz reguły obliczania.

Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentu dąży do zera.
Geometrycznie pochodna reprezentuje nachylenie stycznej do... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Reguły różniczkowania i pochodna funkcji złożonej

W tej części skupiamy się na regułach różniczkowania oraz koncepcji pochodnej funkcji złożonej. Znajomość tych zasad jest niezbędna do efektywnego obliczania pochodnych.

Pochodne wzory podstawowe obejmują:

Pochodna stałej: $c$ ' = 0
Pochodna funkcji liniowej: $cx$ ' = c
Pochodna sumy: $f(x$ + g $x$ )' = f' $x$ + g' $x$
Pochodna iloczynu: $f(x$ · g $x$ )' = f' $x$ · g $x$ + f $x$ · g' $x$
Pochodna ilorazu: $f(x$ / g $x$ )' = $f'(x$ · g $x$ - f $x$ · g' $x$ ) / $g(x$ )²

Highlight: Znajomość podstawowych pochodnych wzorów znacznie ułatwia obliczanie pochodnej funkcji.

Szczególnie istotna jest pochodna funkcji złożonej, która pozwala na różniczkowanie funkcji składających się z kilku operacji.

Definition: Pochodna funkcji złożonej $h(x$ = f $g(x$ )) wyraża się wzorem: h' $x$ = f' $g(x$ ) · g' $x$

Ta reguła, znana również jako reguła łańcuchowa, jest niezwykle przydatna w obliczaniu pochodnych przykładów bardziej skomplikowanych funkcji.

Example: Dla funkcji h $x$ = sin $x²$ , stosując regułę łańcuchową, otrzymujemy: h' $x$ = cos $x²$ · 2x

Praktyka w rozwiązywaniu działań na pochodnych zadania oraz pochodnej funkcji złożonej zadania jest niezbędna do pełnego opanowania tego tematu.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

Pochodną funkcji w punkcie z definicji określa się jako granicę ilorazu różnicowego. Proces ten obejmuje analizę przyrostu argumentu funkcji $x→x₀+h$ oraz odpowiadającego mu przyrostu wartości funkcji $f(x+h)-f(x)$ .

Definicja: Pochodną funkcji w punkcie x₀ definiujemy jako: f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀+h$ - f $x₀$ ) / h

Interpretacja geometryczna pochodnej jest kluczowa dla zrozumienia jej znaczenia. Pochodna funkcji w punkcie odpowiada współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Highlight: Pochodna f' $x₀$ jest równa tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu funkcji w punkcie $x₀, f(x₀$ ) tworzy z osią OX.

Warto zauważyć, że istnienie pochodnej w punkcie implikuje ciągłość funkcji w tym punkcie, jednak odwrotna zależność nie zawsze zachodzi. Funkcja może być ciągła w punkcie, ale nie posiadać tam pochodnej.

Example: Dla funkcji liniowej y = ax + b, pochodna f' $x$ = a jest stała i równa współczynnikowi kierunkowemu prostej.

Obliczanie pochodnej z definicji może być czasochłonne, dlatego w praktyce często korzysta się z gotowych wzorów i reguł różniczkowania, które znacznie upraszczają proces obliczeniowy.

Podobne notatki

funkcja wymierna

1201

funkcje i ich własności

2275

Funkcje - Pojęcie funkcji

1874

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS