Funkcja Kwadratowa: Narysuj i Oblicz Własności oraz Wykres

Otwórz

Madzmel

7.10.2022

Matematyka

Podstawowe własności wybranych funkcji

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie ze wzoru do interpretacji zagadnień

Funkcja Kwadratowa: Narysuj i Oblicz Własności oraz Wykres

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

The quadratic function and its properties are essential mathematical concepts used extensively in algebra and real-world applications. This comprehensive guide covers fundamental aspects of quadratic functions, their graphs, and related mathematical concepts.

• The Funkcja kwadratowa is defined by the equation y=ax²+bx+c, where a≠0 and a,b,c are real numbers
• Key components include the Wykres funkcji kwadratowej (parabola), vertex form, and various properties
• The guide covers Własności funkcji kwadratowej wzory and practical applications
• Essential concepts include domain, range, and graphical representations

...

7.10.2022

1943

Podstawowe własności wybranych funkcji
FUNKCJA KWADRATOWA
Funkcją kwadratową nazywamy funkcje którą można przedstawić wzorem y=ax^2+bx+ c, g

Zobacz

Page 2: Properties and Graphing of Quadratic Functions

This page delves deeper into the properties of quadratic functions and techniques for graphing them.

Key points:

The canonical form y=a $x-p$ ^2+q is useful for identifying the vertex of the parabola
Any quadratic function can be converted between general and canonical forms
The axis of symmetry of the parabola is given by x=p
The vertex of the parabola is the point $p,q$

Vocabulary: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej refers to the canonical form of a quadratic function, expressed as y=a $x-p$ ^2+q.

Example: For the function f $x$ =3x^2-42x, we can find the vertex by determining p= $0+14$ /2=7 and q=f $7$ =-147, resulting in the vertex $7,-147$ .

The page also covers techniques for graphing quadratic functions, including identifying key points such as the y-intercept, vertex, and axis of symmetry.

Highlight: To graph a quadratic function, it's essential to identify the vertex, y-intercept, and the direction of the parabola's opening.

Zobacz

Page 3: Applications and Inverse Proportionality

This page discusses applications of quadratic functions and introduces the concept of inverse proportionality.

Key points:

Inverse proportionality is defined by the equation y=a/x, where x≠0 and a≠0
The graph of an inverse proportion is a hyperbola
Inverse proportions have specific properties regarding their domain and range

Definition: Proporcjonalność odwrotna $inverse proportionality$ is a relationship defined by the equation y=a/x, where x≠0 and a≠0. The constant 'a' is called the coefficient of inverse proportionality.

Highlight: The graph of an inverse proportion is a hyperbola, which has two separate branches in different quadrants of the coordinate plane.

The page also covers properties of inverse proportions:

If a>0, the graph lies in the first and third quadrants
If a<0, the graph lies in the second and fourth quadrants
The domain and range exclude zero

Example: In the equation xy= $x-2$ $y+3$ , we can determine if it represents an inverse proportion by solving for x and y.

This page emphasizes the practical applications of quadratic functions and inverse proportionality in real-world scenarios.

Zobacz

Page 3: Applications and Inverse Proportionality

This page covers practical applications of quadratic functions and introduces inverse proportionality. The Funkcja kwadratowa zastosowania demonstrates real-world uses.

Definition: Inverse proportionality is defined by y=a/x, where x≠0 and a≠0.

Highlight: The graph of an inverse proportion is a hyperbola.

Example: When a>0, the hyperbola lies in quadrants I and III; when a<0, it lies in quadrants II and IV.

Zobacz

Page 4: Exponential Functions

This section introduces exponential functions and their properties. The exponential function is defined as y=aˣ, where a>0 and a≠1.

Definition: An exponential function has the form y=aˣ, where a is positive and not equal to 1.

Highlight: The domain of exponential functions includes all real numbers.

Example: For y=2ˣ, the function increases exponentially when x increases.

Podobne notatki

1201

1/2

funkcja wymierna

definicja, przykłady, dziedzina, wykres, postać kanoniczna funkcji wykładniczej

667

pochodna funkcji

wzory z tematów: • pochodna funkcji w punkcie • funkcja pochodna (w tym wzór stycznej) • działania na pochodnych • pochodna funkcji złożonej

1874

Funkcje - Pojęcie funkcji

Matematyka - funkcje - pojęcie funkcji

2275

funkcje i ich własności

poziom rozszerzony <3

2233

2/3

funkcja wykładnicza

poziom podstawowy

Know zamiana postaci iloczynowej thumbnail

389

1/2

zamiana postaci iloczynowej

metoda zamiany postaci iloczynowej i przykład z wyjaśnieniem

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie ze wzoru do interpretacji zagadnień

Matematyka

•

1943

•

7 paź 2022

•

5 strony

Funkcja Kwadratowa: Narysuj i Oblicz Własności oraz Wykres

Madzmel

@madzmel

• The Funkcja kwadratowais defined by the... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Properties and Graphing of Quadratic Functions

This page delves deeper into the properties of quadratic functions and techniques for graphing them.

Key points:

The canonical form y=a $x-p$ ^2+q is useful for identifying the vertex of the parabola
Any quadratic function can be converted between general and canonical forms
The axis of symmetry of the parabola is given by x=p
The vertex of the parabola is the point $p,q$

Vocabulary: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej refers to the canonical form of a quadratic function, expressed as y=a $x-p$ ^2+q.

Example: For the function f $x$ =3x^2-42x, we can find the vertex by determining p= $0+14$ /2=7 and q=f $7$ =-147, resulting in the vertex $7,-147$ .

The page also covers techniques for graphing quadratic functions, including identifying key points such as the y-intercept, vertex, and axis of symmetry.

Highlight: To graph a quadratic function, it's essential to identify the vertex, y-intercept, and the direction of the parabola's opening.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Applications and Inverse Proportionality

This page discusses applications of quadratic functions and introduces the concept of inverse proportionality.

Key points:

Inverse proportionality is defined by the equation y=a/x, where x≠0 and a≠0
The graph of an inverse proportion is a hyperbola
Inverse proportions have specific properties regarding their domain and range

Definition: Proporcjonalność odwrotna $inverse proportionality$ is a relationship defined by the equation y=a/x, where x≠0 and a≠0. The constant 'a' is called the coefficient of inverse proportionality.

Highlight: The graph of an inverse proportion is a hyperbola, which has two separate branches in different quadrants of the coordinate plane.

The page also covers properties of inverse proportions:

If a>0, the graph lies in the first and third quadrants
If a<0, the graph lies in the second and fourth quadrants
The domain and range exclude zero

Example: In the equation xy= $x-2$ $y+3$ , we can determine if it represents an inverse proportion by solving for x and y.

This page emphasizes the practical applications of quadratic functions and inverse proportionality in real-world scenarios.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Applications and Inverse Proportionality

This page covers practical applications of quadratic functions and introduces inverse proportionality. The Funkcja kwadratowa zastosowania demonstrates real-world uses.

Definition: Inverse proportionality is defined by y=a/x, where x≠0 and a≠0.

Highlight: The graph of an inverse proportion is a hyperbola.

Example: When a>0, the hyperbola lies in quadrants I and III; when a<0, it lies in quadrants II and IV.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Exponential Functions

This section introduces exponential functions and their properties. The exponential function is defined as y=aˣ, where a>0 and a≠1.

Definition: An exponential function has the form y=aˣ, where a is positive and not equal to 1.

Highlight: The domain of exponential functions includes all real numbers.

Example: For y=2ˣ, the function increases exponentially when x increases.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Introduction to Quadratic Functions

This page introduces the concept of funkcja kwadratowa and its basic properties.

Key points:

A quadratic function is defined as y=ax^2+bx+c, where a≠0
The domain of a quadratic function is all real numbers
The graph of a quadratic function is a parabola
The parabola's orientation depends on the sign of 'a'
The y-intercept of the parabola is at point $0,c$

Definition: A funkcja kwadratowa is a function that can be expressed in the form y=ax^2+bx+c, where a, b, and c are real numbers and a≠0.

Highlight: The shape and orientation of the parabola are determined by the coefficient 'a'. When a>0, the parabola opens upward, and when a<0, it opens downward.

Example: In the function y=x^2-2√2x^2-8, we can identify a=1-2√2, b=0, and c=-8.

The page also introduces the canonical form of a quadratic function, y=a $x-p$ ^2+q, where $p,q$ represents the vertex of the parabola.

Podobne notatki

funkcja wymierna

1201

pochodna funkcji

667

Funkcje - Pojęcie funkcji

1874

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS