Jak obliczyć wierzchołek paraboli i narysować wykres funkcji kwadratowej

Otwórz

182

Gabu🎀

7.01.2023

Matematyka

funkcje kwadratowe

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Jak obliczyć wierzchołek paraboli i narysować wykres funkcji kwadratowej

Funkcje kwadratowe to kluczowy temat w matematyce, obejmujący analizę paraboli i ich właściwości. Główne aspekty to:

Wzór na wierzchołek paraboli w różnych postaciach funkcji kwadratowej
Znaczenie współczynników a, b, c oraz p i q
Różne formy zapisu funkcji kwadratowej: ogólna, kanoniczna i iloczynowa
Wpływ parametrów na kształt i położenie wykresu funkcji

Zrozumienie tych elementów pozwala na efektywną analizę i rozwiązywanie problemów związanych z funkcjami kwadratowymi.

7.01.2023

FUNKCJE KWADRATOWE
wierzchołek paraboli
2
parabola y = ax² + bx + c ma wierzchołek w
punkcję o współrzędnych :
(!a-0!)
b
Xw = 2a 9
Gdzie :
Y

Zobacz

Postaci funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową można zapisać w trzech głównych postaciach:

Postać ogólna funkcji kwadratowej: y = ax² + bx + c
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: y = a $x - p$ ² + q
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: y = a $x - x₁$ $x - x₂$

Każda z tych postaci ma swoje zalety i zastosowania w różnych sytuacjach matematycznych.

Definition: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to forma zapisu, która bezpośrednio wskazuje wierzchołek paraboli i ułatwia analizę jej właściwości.

Highlight: Nie każda funkcja kwadratowa posiada postać iloczynową - jest to możliwe tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

Example: Funkcja f $x$ = x² - 4x + 3 może być zapisana w postaci iloczynowej jako f $x$ = $x - 1$ $x - 3$ .

Zobacz

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej zawsze przyjmuje kształt paraboli. Podstawowa funkcja f $x$ = x² tworzy parabolę przechodzącą przez punkt $0,0$ i otwartą do góry.

Funkcja w postaci kanonicznej f $x$ = a $x - p$ ² + q jest przesunięciem podstawowej paraboli o wektor $p, q$ .

Highlight: Jak narysować wykres funkcji kwadratowej zależy od jej parametrów. Współczynnik 'a' określa kierunek otwarcia paraboli, a 'p' i 'q' jej przesunięcie.

Example: Dla funkcji f $x$ = $x - 2$ ² - 3, parabola jest przesunięta o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w dół względem f $x$ = x².

Vocabulary: Wykres funkcji kwadratowej online można łatwo wygenerować za pomocą specjalistycznych narzędzi internetowych, co ułatwia wizualizację i analizę funkcji.

Zobacz

Właściwości funkcji kwadratowej

Kluczowe właściwości funkcji kwadratowej zależą od jej współczynników:

Dla a > 0 parabola jest otwarta do góry, a dla a < 0 do dołu.
Symbol Δ $delta$ oznacza wyróżnik równania kwadratowego i jest kluczowy w analizie miejsc zerowych.
Współczynnik q określa zbiór wartości funkcji w zależności od a.
Współrzędne p i q wskazują położenie wierzchołka paraboli.

Definition: Oś symetrii paraboli to prosta x = p, gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka.

Highlight: Współczynnik b w funkcji kwadratowej wpływa na przesunięcie paraboli względem osi Y.

Vocabulary: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to zakres wartości, jakie może przyjmować funkcja dla wszystkich argumentów.

Zobacz

Zbiór wartości i ekstremum funkcji kwadratowej

Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od znaku współczynnika a:

Dla a < 0, zbiór wartości to $-∞, q$
Dla a > 0, zbiór wartości to $q, ∞$

Ekstremum funkcji $minimum lub maksimum$ zawsze występuje w wierzchołku paraboli:

Dla a < 0, funkcja osiąga maksimum równe q dla x = p
Dla a > 0, funkcja osiąga minimum równe q dla x = p

Highlight: Znajomość współrzędnych wierzchołka $p, q$ pozwala natychmiast określić ekstremum funkcji kwadratowej.

Example: Dla funkcji f $x$ = -2 $x - 3$ ² + 5, maksimum wynosi 5 i występuje dla x = 3.

Vocabulary: P i q funkcja kwadratowa to skrótowe określenie współrzędnych wierzchołka w postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Podobne notatki

659

12647

1/2

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa matematyka

Know Miejsca zerowe funkcji kwadratowej thumbnail

390

1/2

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

1906

4/5

matematyka matura 2024

Arkusz maturalny z matematyki z maja 2024

Know Wykres funkcji kwadratowej thumbnail

5946

1/2

Wykres funkcji kwadratowej

747

13323

funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

306

13608

4/2

Funkcja kwadratowa

✅własności ✅o czym mowi współczynnik a ✅postać ogólna,kanoniczna i iloczynowa ✅zmienianie postaci wzoru ✅nierówności kwadratowe ✅równania kwadratowe ✅zadania tekstowe przyklad

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Matematyka

•

9034

•

7 sty 2023

•

5 strony

Jak obliczyć wierzchołek paraboli i narysować wykres funkcji kwadratowej

Gabu🎀

@gabui

Funkcje kwadratowe to kluczowy temat w matematyce, obejmujący analizę paraboli i ich właściwości. Główne aspekty to:

Wzór na wierzchołek paraboli w różnych postaciach funkcji kwadratowej
Znaczenie współczynników a, b, c oraz p i q
Różne formy zapisu funkcji kwadratowej: ogólna,... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Postaci funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową można zapisać w trzech głównych postaciach:

Postać ogólna funkcji kwadratowej: y = ax² + bx + c
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: y = a $x - p$ ² + q
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: y = a $x - x₁$ $x - x₂$

Każda z tych postaci ma swoje zalety i zastosowania w różnych sytuacjach matematycznych.

Definition: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to forma zapisu, która bezpośrednio wskazuje wierzchołek paraboli i ułatwia analizę jej właściwości.

Highlight: Nie każda funkcja kwadratowa posiada postać iloczynową - jest to możliwe tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

Example: Funkcja f $x$ = x² - 4x + 3 może być zapisana w postaci iloczynowej jako f $x$ = $x - 1$ $x - 3$ .

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej zawsze przyjmuje kształt paraboli. Podstawowa funkcja f $x$ = x² tworzy parabolę przechodzącą przez punkt $0,0$ i otwartą do góry.

Funkcja w postaci kanonicznej f $x$ = a $x - p$ ² + q jest przesunięciem podstawowej paraboli o wektor $p, q$ .

Highlight: Jak narysować wykres funkcji kwadratowej zależy od jej parametrów. Współczynnik 'a' określa kierunek otwarcia paraboli, a 'p' i 'q' jej przesunięcie.

Example: Dla funkcji f $x$ = $x - 2$ ² - 3, parabola jest przesunięta o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w dół względem f $x$ = x².

Vocabulary: Wykres funkcji kwadratowej online można łatwo wygenerować za pomocą specjalistycznych narzędzi internetowych, co ułatwia wizualizację i analizę funkcji.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Właściwości funkcji kwadratowej

Kluczowe właściwości funkcji kwadratowej zależą od jej współczynników:

Dla a > 0 parabola jest otwarta do góry, a dla a < 0 do dołu.
Symbol Δ $delta$ oznacza wyróżnik równania kwadratowego i jest kluczowy w analizie miejsc zerowych.
Współczynnik q określa zbiór wartości funkcji w zależności od a.
Współrzędne p i q wskazują położenie wierzchołka paraboli.

Definition: Oś symetrii paraboli to prosta x = p, gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka.

Highlight: Współczynnik b w funkcji kwadratowej wpływa na przesunięcie paraboli względem osi Y.

Vocabulary: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to zakres wartości, jakie może przyjmować funkcja dla wszystkich argumentów.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zbiór wartości i ekstremum funkcji kwadratowej

Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od znaku współczynnika a:

Dla a < 0, zbiór wartości to $-∞, q$
Dla a > 0, zbiór wartości to $q, ∞$

Ekstremum funkcji $minimum lub maksimum$ zawsze występuje w wierzchołku paraboli:

Dla a < 0, funkcja osiąga maksimum równe q dla x = p
Dla a > 0, funkcja osiąga minimum równe q dla x = p

Highlight: Znajomość współrzędnych wierzchołka $p, q$ pozwala natychmiast określić ekstremum funkcji kwadratowej.

Example: Dla funkcji f $x$ = -2 $x - 3$ ² + 5, maksimum wynosi 5 i występuje dla x = 3.

Vocabulary: P i q funkcja kwadratowa to skrótowe określenie współrzędnych wierzchołka w postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wierzchołek paraboli i jego wzory

Wzór na wierzchołek funkcji kwadratowej jest kluczowym elementem w analizie paraboli. Dla funkcji w postaci ogólnej y = ax² + bx + c, współrzędne wierzchołka paraboli są określone wzorami:

xw = -b / $2a$ yw = $-b² + 4ac$ / $4a$

Warto zauważyć, że dla funkcji w postaci kanonicznej y = a $x - p$ ² + q, wierzchołek znajduje się bezpośrednio w punkcie $p, q$ .

Highlight: Wzór na p i q w postaci kanonicznej bezpośrednio wskazuje współrzędne wierzchołka paraboli.

Example: Dla funkcji f $x$ = 2 $x - 3$ ² + 4, wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $3, 4$ .

Vocabulary: Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola osiąga swoje ekstremum $minimum dla a > 0 lub maksimum dla a < 0$ .

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa

12647

659

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

390

matematyka matura 2024

1906

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS