Postaci funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową można zapisać w trzech głównych postaciach:

1. Postać ogólna funkcji kwadratowej: y = ax² + bx + c
2. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: y = a(x - p)² + q
3. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: y = a(x - x₁)(x - x₂)

Każda z tych postaci ma swoje zalety i zastosowania w różnych sytuacjach matematycznych.

Definition: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to forma zapisu, która bezpośrednio wskazuje wierzchołek paraboli i ułatwia analizę jej właściwości.

Highlight: Nie każda funkcja kwadratowa posiada postać iloczynową - jest to możliwe tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

Example: Funkcja f(x) = x² - 4x + 3 może być zapisana w postaci iloczynowej jako f(x) = (x - 1)(x - 3).

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej zawsze przyjmuje kształt paraboli. Podstawowa funkcja f(x) = x² tworzy parabolę przechodzącą przez punkt (0,0) i otwartą do góry.

Funkcja w postaci kanonicznej f(x) = a(x - p)² + q jest przesunięciem podstawowej paraboli o wektor [p, q].

Highlight: Jak narysować wykres funkcji kwadratowej zależy od jej parametrów. Współczynnik 'a' określa kierunek otwarcia paraboli, a 'p' i 'q' jej przesunięcie.

Example: Dla funkcji f(x) = (x - 2)² - 3, parabola jest przesunięta o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w dół względem f(x) = x².

Vocabulary: Wykres funkcji kwadratowej online można łatwo wygenerować za pomocą specjalistycznych narzędzi internetowych, co ułatwia wizualizację i analizę funkcji.

Wierzchołek paraboli i jego wzory

Wzór na wierzchołek funkcji kwadratowej jest kluczowym elementem w analizie paraboli. Dla funkcji w postaci ogólnej y = ax² + bx + c, współrzędne wierzchołka paraboli są określone wzorami:

xw = -b / (2a) yw = (-b² + 4ac) / (4a)

Warto zauważyć, że dla funkcji w postaci kanonicznej y = a(x - p)² + q, wierzchołek znajduje się bezpośrednio w punkcie (p, q).

Highlight: Wzór na p i q w postaci kanonicznej bezpośrednio wskazuje współrzędne wierzchołka paraboli.

Example: Dla funkcji f(x) = 2(x - 3)² + 4, wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (3, 4).

Vocabulary: Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola osiąga swoje ekstremum (minimum dla a > 0 lub maksimum dla a < 0).