Równania prostych i odcinków - jak je wyznaczyć?

Otwórz

243

ania gorzejewska

3.11.2022

Matematyka

geometria analityczna matematyka

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w postaci kierunkowej

Równania prostych i odcinków - jak je wyznaczyć?

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Geometria analityczna: odcinki i proste w układzie współrzędnych. Kluczowe pojęcia obejmują długość odcinka, środek odcinka, równanie prostej oraz równanie okręgu. Dokument przedstawia wzory i definicje niezbędne do analizy geometrycznej figur na płaszczyźnie kartezjańskiej.

• Omówiono wzory na długość odcinka i współrzędne środka odcinka
• Przedstawiono różne formy równań prostej: kierunkowe, ogólne i przez dwa punkty
• Wyjaśniono warunki równoległości i prostopadłości prostych
• Zaprezentowano równanie okręgu w postaci kanonicznej i ogólnej

...

3.11.2022

10227

geometria
analityczna
odcinek w układzie wspołrzędnych
Drugość odcinka
Jeżeń A(X₁1₁) i B (x₂1 y₂) to arugość odcinka AB wyraża sie wzorem
I

Zobacz

Równoległość i prostopadłość prostych

Ten rozdział koncentruje się na warunkach równoległości i prostopadłości prostych w układzie współrzędnych, przedstawiając kluczowe definicje i wzory.

Równoległość prostych

Omówiono warunek równoległości prostych opisanych równaniami kierunkowymi.

Definicja: Proste o równaniach y = ax + b oraz y = a₁x + b₁ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a = a₁.

Prostopadłość prostych

Przedstawiono warunek prostopadłości prostych opisanych równaniami kierunkowymi.

Wzór: Proste y = ax + b oraz y = a₁x + b₁, gdzie a ≠ 0 i a₁ ≠ 0, są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a · a₁ = -1.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Zaprezentowano wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Wzór: Dla punktów $x₁, y₁$ i $x₂, y₂$ , gdzie x₁ ≠ x₂, równanie prostej ma postać: $y - y₁$ / $x - x₁$ = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$

Równanie ogólne prostej

Wprowadzono pojęcie równania ogólnego prostej.

Definicja: Równanie ogólne prostej ma postać Ax + By + C = 0, gdzie A² + B² ≠ 0.

Highlight: Równaniem ogólnym można opisać wszystkie proste w układzie współrzędnych, z wyjątkiem prostych prostopadłych do osi OX.

Równoległość i prostopadłość prostych w postaci ogólnej

Omówiono warunki równoległości i prostopadłości dla prostych opisanych równaniami ogólnymi.

Wzór: Proste Ax + By + C = 0 oraz A₁x + B₁y + C₁ = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy A/B = A₁/B₁.

Wzór: Proste Ax + By + C = 0 oraz A₁x + B₁y + C₁ = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy AA₁ + BB₁ = 0.

Zobacz

Równanie okręgu

Ten rozdział skupia się na równaniu okręgu w układzie współrzędnych, przedstawiając jego różne formy i interpretacje geometryczne.

Równanie kanoniczne okręgu

Wprowadzono pojęcie równania kanonicznego okręgu.

Wzór: $x - x₀$ ² + $y - y₀$ ² = r², gdzie $x₀, y₀$ to środek okręgu, a r to jego promień.

Równanie ogólne okręgu

Omówiono równanie ogólne okręgu i jego interpretację.

Wzór: x² + y² + ax + by + c = 0, gdzie a² + b² - 4c > 0.

Highlight: Z równania ogólnego okręgu można wyznaczyć współrzędne środka i promień:

Środek: S $-a/2, -b/2$

Promień: r = √ $(a² + b² - 4c$ / 4)

Interpretacja geometryczna

Wyjaśniono, jak odczytywać informacje geometryczne z równania okręgu.

Example: Dla okręgu o równaniu $x - 2$ ² + $y + 1$ ² = 9:

Środek: S $2, -1$

Promień: r = 3

Vocabulary:

Równanie kanoniczne okręgu: forma równania okręgu, z której łatwo odczytać środek i promień.

Równanie ogólne okręgu: alternatywna forma równania okręgu, często używana w obliczeniach algebraicznych.

Podobne notatki

Know geometria analityczna równanie ogólne prostej odległość punktu od prostej rozpoznanie prostych thumbnail

218

6135

4/2

geometria analityczna równanie ogólne prostej odległość punktu od prostej rozpoznanie prostych

geometria analityczna

391

8526

1/2

Geometria analityczna

Geometria analityczna matma

115

6797

4/5

Geometria analityczna

Wszystkie wzory z geometrii analitycznej

Know Funkcja liniowa- powtórka do matury thumbnail

100

2034

4/5

Funkcja liniowa- powtórka do matury

Przykładowe zadania z matur, rozwiązania krok po kroku

1894

1/2

geometria analityczna

2134

1/2

funkcje liniowe

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w postaci kierunkowej

Matematyka

•

10 227

•

3 lis 2022

•

3 strony

Równania prostych i odcinków - jak je wyznaczyć?

ania gorzejewska

@miaann

• Omówiono wzory na... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równoległość i prostopadłość prostych

Ten rozdział koncentruje się na warunkach równoległości i prostopadłości prostych w układzie współrzędnych, przedstawiając kluczowe definicje i wzory.

Równoległość prostych

Omówiono warunek równoległości prostych opisanych równaniami kierunkowymi.

Definicja: Proste o równaniach y = ax + b oraz y = a₁x + b₁ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a = a₁.

Prostopadłość prostych

Przedstawiono warunek prostopadłości prostych opisanych równaniami kierunkowymi.

Wzór: Proste y = ax + b oraz y = a₁x + b₁, gdzie a ≠ 0 i a₁ ≠ 0, są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a · a₁ = -1.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Zaprezentowano wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Wzór: Dla punktów $x₁, y₁$ i $x₂, y₂$ , gdzie x₁ ≠ x₂, równanie prostej ma postać: $y - y₁$ / $x - x₁$ = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$

Równanie ogólne prostej

Wprowadzono pojęcie równania ogólnego prostej.

Definicja: Równanie ogólne prostej ma postać Ax + By + C = 0, gdzie A² + B² ≠ 0.

Highlight: Równaniem ogólnym można opisać wszystkie proste w układzie współrzędnych, z wyjątkiem prostych prostopadłych do osi OX.

Równoległość i prostopadłość prostych w postaci ogólnej

Omówiono warunki równoległości i prostopadłości dla prostych opisanych równaniami ogólnymi.

Wzór: Proste Ax + By + C = 0 oraz A₁x + B₁y + C₁ = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy A/B = A₁/B₁.

Wzór: Proste Ax + By + C = 0 oraz A₁x + B₁y + C₁ = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy AA₁ + BB₁ = 0.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równanie okręgu

Ten rozdział skupia się na równaniu okręgu w układzie współrzędnych, przedstawiając jego różne formy i interpretacje geometryczne.

Równanie kanoniczne okręgu

Wprowadzono pojęcie równania kanonicznego okręgu.

Wzór: $x - x₀$ ² + $y - y₀$ ² = r², gdzie $x₀, y₀$ to środek okręgu, a r to jego promień.

Równanie ogólne okręgu

Omówiono równanie ogólne okręgu i jego interpretację.

Wzór: x² + y² + ax + by + c = 0, gdzie a² + b² - 4c > 0.

Highlight: Z równania ogólnego okręgu można wyznaczyć współrzędne środka i promień:

Środek: S $-a/2, -b/2$

Promień: r = √ $(a² + b² - 4c$ / 4)

Interpretacja geometryczna

Wyjaśniono, jak odczytywać informacje geometryczne z równania okręgu.

Example: Dla okręgu o równaniu $x - 2$ ² + $y + 1$ ² = 9:

Środek: S $2, -1$

Promień: r = 3

Vocabulary:

Równanie kanoniczne okręgu: forma równania okręgu, z której łatwo odczytać środek i promień.

Równanie ogólne okręgu: alternatywna forma równania okręgu, często używana w obliczeniach algebraicznych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Odcinek w układzie współrzędnych

Ten rozdział skupia się na podstawowych pojęciach związanych z odcinkami w układzie współrzędnych kartezjańskich. Omawia kluczowe wzory i definicje niezbędne do analizy geometrycznej.

Długość odcinka

Przedstawiono wzór na długość odcinka AB w układzie współrzędnych. Dla punktów A $x₁, y₁$ i B $x₂, y₂$ , długość odcinka wyraża się wzorem:

Wzór: |AB| = √ $(x₂ - x₁$ ² + $y₂ - y₁$ ²)

Środek odcinka

Omówiono sposób wyznaczania współrzędnych środka odcinka AB. Dla punktów A $x₁, y₁$ i B $x₂, y₂$ , współrzędne środka odcinka to:

Wzór: S $(x₁ + x₂$ /2, $y₁ + y₂$ /2)

Równanie kierunkowe prostej

Wprowadzono pojęcie równania kierunkowego prostej o postaci y = ax + b.

Definicja: Równanie kierunkowe prostej to równanie w formie y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny.

Highlight: Równanie kierunkowe można stosować tylko dla prostych, które nie są prostopadłe do osi OX.

Kąt nachylenia prostej

Wyjaśniono pojęcie kąta nachylenia prostej do osi OX.

Definicja: Kąt nachylenia prostej to kąt między dodatnią półosią OX a prostą, mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Wzór: Dla prostej y = ax + b, tangens kąta nachylenia α wynosi: tg α = a

Podobne notatki

geometria analityczna równanie ogólne prostej odległość punktu od prostej rozpoznanie prostych

6135

218

Geometria analityczna

8526

391

Geometria analityczna

6797

115

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS