Pola figur płaskich i podobieństwo

Pole figury płaskiej jest liczbą nieujemną. Pola figur przystających są równe przy tej samej jednostce miary. Jeśli figura składa się z dwóch figur o rozłącznych wnętrzach, jej pole jest sumą pól tych figur.

Definition: Figura przystająca to figura o takim samym kształcie i wielkości jak inna figura.

Stosunek pól trójkątów o tej samej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Ta zasada jest kluczowa w rozwiązywaniu wielu zadań geometrycznych.

Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa. Oznacza to, że jeśli skala podobieństwa wynosi k, to stosunek pól trójkątów podobnych wynosi k².

Highlight: Zrozumienie podobieństwa trójkątów i proporcji ich pól jest kluczowe w rozwiązywaniu zaawansowanych zadań geometrycznych.

Pole koła o promieniu r wyraża się wzorem P = πr². Jest to jeden z podstawowych wzorów w geometrii, często wykorzystywany w praktycznych zastosowaniach.

Pole wycinka koła jest proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środkowego. Wzór na pole wycinka koła to:

Pw = (α / 360°) × πr²

gdzie α to miara kąta środkowego w stopniach, a r to promień koła.

Example: Dla wycinka koła o promieniu 5 cm i kącie środkowym 60°, pole wynosi: Pw = (60 / 360) × π × 5² ≈ 13,09 cm²

Pole wycinka koła można również obliczyć, znając długość łuku. Wzór w tym przypadku to:

Pw = (l × r) / 2

gdzie l to długość łuku, a r to promień koła.

Vocabulary: Wycinek koła to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem okręgu między nimi.

Twierdzenia sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów stanowi, że w dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwległego jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Jest to kluczowe narzędzie w rozwiązywaniu zadań z trygonometrii.

Twierdzenie cosinusów mówi, że w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między nimi. Wzór ten pozwala obliczyć długość boku trójkąta, znając długości dwóch pozostałych boków i kąt między nimi.

Highlight: Twierdzenie cosinusów jest szczególnie przydatne w rozwiązywaniu zadań z trójkątami, w których znamy długości dwóch boków i kąt między nimi.

Przedstawione są również wzory na cosinus kątów trójkąta, wykorzystujące długości boków. Te formuły są niezwykle pomocne w obliczeniach trygonometrycznych.

Example: Dla trójkąta o bokach a, b, c i kącie α naprzeciwko boku a, cosinus α można obliczyć ze wzoru: cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)

Pole trójkąta można obliczyć na wiele sposobów. Jeden z nich to iloczyn promienia okręgu wpisanego w trójkąt i połowy obwodu trójkąta. Inne popularne wzory to:

• P = ½ah, gdzie a to podstawa, a h to wysokość
• P = ½ab sin γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b
• Wzór Herona: P = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie p to połowa obwodu trójkąta

Vocabulary: Pole trójkąta to miara powierzchni ograniczonej bokami trójkąta.