Twierdzenie Sinusów i Cosinusów - Zadania, Przykłady i Wzory

Otwórz

190

kuba_study

8.07.2022

Matematyka

Geometria płaska

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Przekształcanie wzorów na pole trójkąta

Twierdzenie Sinusów i Cosinusów - Zadania, Przykłady i Wzory

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Trójkąty i koła w geometrii płaskiej - kluczowe twierdzenia i wzory na pola figur

• Omówiono ważne twierdzenia dotyczące trójkątów, w tym stosunek długości boku do sinusa kąta trójkąta oraz twierdzenie cosinusów w geometrii płaskiej
• Przedstawiono różne wzory na obliczanie pola trójkąta
• Wyjaśniono pojęcie pola figury płaskiej i własności pól figur podobnych
• Zaprezentowano wzory na pole koła i jego wycinka, w tym zależność mówiącą, że pole wycinka koła proporcjonalne do kąta środkowego

...

8.07.2022

5024

Geometria plaska
W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest
staty i równy długości średn

Zobacz

Pola figur płaskich i podobieństwo

Pole figury płaskiej jest liczbą nieujemną. Pola figur przystających są równe przy tej samej jednostce miary. Jeśli figura składa się z dwóch figur o rozłącznych wnętrzach, jej pole jest sumą pól tych figur.

Definition: Figura przystająca to figura o takim samym kształcie i wielkości jak inna figura.

Stosunek pól trójkątów o tej samej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Ta zasada jest kluczowa w rozwiązywaniu wielu zadań geometrycznych.

Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa. Oznacza to, że jeśli skala podobieństwa wynosi k, to stosunek pól trójkątów podobnych wynosi k².

Highlight: Zrozumienie podobieństwa trójkątów i proporcji ich pól jest kluczowe w rozwiązywaniu zaawansowanych zadań geometrycznych.

Pole koła o promieniu r wyraża się wzorem P = πr². Jest to jeden z podstawowych wzorów w geometrii, często wykorzystywany w praktycznych zastosowaniach.

Pole wycinka koła jest proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środkowego. Wzór na pole wycinka koła to:

Pw = $α / 360°$ × πr²

gdzie α to miara kąta środkowego w stopniach, a r to promień koła.

Example: Dla wycinka koła o promieniu 5 cm i kącie środkowym 60°, pole wynosi: Pw = $60 / 360$ × π × 5² ≈ 13,09 cm²

Pole wycinka koła można również obliczyć, znając długość łuku. Wzór w tym przypadku to:

Pw = $l × r$ / 2

gdzie l to długość łuku, a r to promień koła.

Vocabulary: Wycinek koła to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem okręgu między nimi.

Podobne notatki

2879

Pola Czworokątów

Matematyka, pola czworokątów

192

7447

4/2

Wzory matematyka

Matura rozszerzona

6034

2/3

Okręgi i koła

Szybko o okręgach i kołach podstawowe definicje i wzory

576

14517

1/2

Wzory

Wzory matematyka

Know Planimetria, Stereometria thumbnail

2478

4/2

Planimetria, Stereometria

Notatka ogólna, powtórzenie do matury

1468

2/3

Pole trójkąta i koła

Notatka z poziomu liceum, zawiera najważniejsze wzory opisujące pole trojkata np. twierdzenie sinusów i cosinusów

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Przekształcanie wzorów na pole trójkąta

Matematyka

•

5024

•

8 lip 2022

•

2 strony

Twierdzenie Sinusów i Cosinusów - Zadania, Przykłady i Wzory

kuba_study

@kuba_study

Trójkąty i koła w geometrii płaskiej - kluczowe twierdzenia i wzory na pola figur

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pola figur płaskich i podobieństwo

Definition: Figura przystająca to figura o takim samym kształcie i wielkości jak inna figura.

Stosunek pól trójkątów o tej samej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Ta zasada jest kluczowa w rozwiązywaniu wielu zadań geometrycznych.

Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa. Oznacza to, że jeśli skala podobieństwa wynosi k, to stosunek pól trójkątów podobnych wynosi k².

Highlight: Zrozumienie podobieństwa trójkątów i proporcji ich pól jest kluczowe w rozwiązywaniu zaawansowanych zadań geometrycznych.

Pole koła o promieniu r wyraża się wzorem P = πr². Jest to jeden z podstawowych wzorów w geometrii, często wykorzystywany w praktycznych zastosowaniach.

Pole wycinka koła jest proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środkowego. Wzór na pole wycinka koła to:

Pw = $α / 360°$ × πr²

gdzie α to miara kąta środkowego w stopniach, a r to promień koła.

Example: Dla wycinka koła o promieniu 5 cm i kącie środkowym 60°, pole wynosi: Pw = $60 / 360$ × π × 5² ≈ 13,09 cm²

Pole wycinka koła można również obliczyć, znając długość łuku. Wzór w tym przypadku to:

Pw = $l × r$ / 2

gdzie l to długość łuku, a r to promień koła.

Vocabulary: Wycinek koła to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem okręgu między nimi.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenia sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów stanowi, że w dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwległego jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Jest to kluczowe narzędzie w rozwiązywaniu zadań z trygonometrii.

Twierdzenie cosinusów mówi, że w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między nimi. Wzór ten pozwala obliczyć długość boku trójkąta, znając długości dwóch pozostałych boków i kąt między nimi.

Highlight: Twierdzenie cosinusów jest szczególnie przydatne w rozwiązywaniu zadań z trójkątami, w których znamy długości dwóch boków i kąt między nimi.

Przedstawione są również wzory na cosinus kątów trójkąta, wykorzystujące długości boków. Te formuły są niezwykle pomocne w obliczeniach trygonometrycznych.

Example: Dla trójkąta o bokach a, b, c i kącie α naprzeciwko boku a, cosinus α można obliczyć ze wzoru: cos α = $b² + c² - a²$ / $2bc$

Pole trójkąta można obliczyć na wiele sposobów. Jeden z nich to iloczyn promienia okręgu wpisanego w trójkąt i połowy obwodu trójkąta. Inne popularne wzory to:

P = ½ah, gdzie a to podstawa, a h to wysokość
P = ½ab sin γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b
Wzór Herona: P = √ $p(p-a$ $p-b$ $p-c$ ), gdzie p to połowa obwodu trójkąta

Vocabulary: Pole trójkąta to miara powierzchni ograniczonej bokami trójkąta.

Podobne notatki

Pola Czworokątów

2879

Wzory matematyka

7447

192

Okręgi i koła

6034

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS