Otwórz aplikację

Przedmioty

Graniastosłup prosty - definicja, rodzaje, wzory i zadania

Otwórz

326

1

user profile picture

Natalia Strzępek

17.03.2022

Matematyka

Graniastosłup

Graniastosłup prosty - definicja, rodzaje, wzory i zadania

Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe to kluczowe figury geometryczne przestrzenne. Poznanie ich właściwości, wzorów na pola powierzchni i objętości jest niezbędne w matematyce szkolnej.

  • Graniastosłup to wielościan o dwóch równoległych podstawach i ścianach bocznych w kształcie równoległoboków.
  • Ostrosłup to wielościan z jedną podstawą i ścianami bocznymi w kształcie trójkątów.
  • Bryły obrotowe, takie jak walec, stożek i kula, powstają przez obrót figur płaskich wokół osi.
  • Znajomość kątów w bryłach jest kluczowa dla zrozumienia ich geometrii.
...

17.03.2022

12633

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zobacz

Stożek i jego charakterystyka

Stożek to bryła obrotowa otrzymana przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jego przyprostokątną. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia geometrii stożka.

Vocabulary: Spodek wysokości to środek podstawy stożka.

Definition: Tworząca stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka z brzegiem podstawy.

Znajomość wzorów na pola powierzchni stożka jest niezbędna do rozwiązywania zadań:

Highlight:

  • Pole boczne stożka: Pb = πrl
  • Pole całkowite stożka: Pc = πr² + πrl

gdzie r to promień podstawy, a l to długość tworzącej.

Objętość stożka jest równa objętości walca o takiej samej podstawie i wysokości, co można zapisać wzorem V = 1/3πr²h.

Example: Stożek o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 12 cm ma objętość V = 1/3 · π · 5² · 12 ≈ 314,16 cm³.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zobacz

Kula i jej właściwości

Kula to bryła obrotowa otrzymywana przez obrót koła wokół prostej zawierającej jego średnicę. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia geometrii kuli.

Vocabulary: Sfera to powierzchnia kuli, czyli zbiór punktów, których odległość od środka kuli jest równa jej promieniowi.

Znajomość wzorów na objętość i pole powierzchni kuli jest niezbędna:

Highlight:

  • Objętość kuli: V = 4/3πr³
  • Pole powierzchni kuli: P = 4πr²

gdzie r to promień kuli.

Example: Kula o promieniu 10 cm ma objętość V = 4/3 · π · 10³ ≈ 4188,79 cm³ i pole powierzchni P = 4 · π · 10² ≈ 1256,64 cm².

Warto zauważyć, że kula ma wiele zastosowań w praktyce, od piłek sportowych po planety w układzie słonecznym.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zobacz

Ostrosłupy i ich charakterystyka

Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Definition: Wysokość ostrosłupa to odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek ostrosłupa, a drugim - rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy (spodek wysokości).

Rozróżniamy różne rodzaje ostrosłupów:

  • Ostrosłup prosty - wszystkie jego krawędzie boczne mają tę samą długość.
  • Ostrosłup prawidłowy - ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym.

Vocabulary: Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego to kąt między ramionami trójkąta równoramiennego będącego jego ścianą boczną.

Szczególnym przypadkiem jest czworościan foremny - ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

Highlight: Wzór na wysokość czworościanu foremnego: H = a√(6)/3, gdzie a to długość krawędzi.

Objętość dowolnego ostrosłupa można obliczyć ze wzoru:

Highlight: V = 1/3 · Pp · H

gdzie Pp to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zobacz

Kąty w bryłach

Zrozumienie kątów w bryłach jest kluczowe dla pełnego opanowania geometrii przestrzennej.

Definition: Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt ostry, który ta prosta tworzy ze swoim rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

W graniastosłupach i ostrosłupach występują różne rodzaje kątów:

  • Kąt między przekątną graniastosłupa a jego podstawą
  • Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną jego ściany bocznej
  • Kąt między przekątną a krawędzią podstawy
  • Kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością jego ściany bocznej

Highlight: Wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego: α = (n-2) · 180° / n, gdzie n to liczba boków wielokąta.

Znajomość tych kątów jest niezbędna przy rozwiązywaniu bardziej zaawansowanych zadań z geometrii przestrzennej.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

12 633

17 mar 2022

5 strony

Graniastosłup prosty - definicja, rodzaje, wzory i zadania

Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe to kluczowe figury geometryczne przestrzenne. Poznanie ich właściwości, wzorów na pola powierzchni i objętości jest niezbędne w matematyce szkolnej.

  • Graniastosłup to wielościan o dwóch równoległych podstawach i ścianach bocznych w kształcie równoległoboków.
  • Ostrosłupto wielościan... Pokaż więcej
graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Stożek i jego charakterystyka

Stożek to bryła obrotowa otrzymana przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jego przyprostokątną. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia geometrii stożka.

Vocabulary: Spodek wysokości to środek podstawy stożka.

Definition: Tworząca stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka z brzegiem podstawy.

Znajomość wzorów na pola powierzchni stożka jest niezbędna do rozwiązywania zadań:

Highlight:

  • Pole boczne stożka: Pb = πrl
  • Pole całkowite stożka: Pc = πr² + πrl

gdzie r to promień podstawy, a l to długość tworzącej.

Objętość stożka jest równa objętości walca o takiej samej podstawie i wysokości, co można zapisać wzorem V = 1/3πr²h.

Example: Stożek o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 12 cm ma objętość V = 1/3 · π · 5² · 12 ≈ 314,16 cm³.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Kula i jej właściwości

Kula to bryła obrotowa otrzymywana przez obrót koła wokół prostej zawierającej jego średnicę. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia geometrii kuli.

Vocabulary: Sfera to powierzchnia kuli, czyli zbiór punktów, których odległość od środka kuli jest równa jej promieniowi.

Znajomość wzorów na objętość i pole powierzchni kuli jest niezbędna:

Highlight:

  • Objętość kuli: V = 4/3πr³
  • Pole powierzchni kuli: P = 4πr²

gdzie r to promień kuli.

Example: Kula o promieniu 10 cm ma objętość V = 4/3 · π · 10³ ≈ 4188,79 cm³ i pole powierzchni P = 4 · π · 10² ≈ 1256,64 cm².

Warto zauważyć, że kula ma wiele zastosowań w praktyce, od piłek sportowych po planety w układzie słonecznym.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ostrosłupy i ich charakterystyka

Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Definition: Wysokość ostrosłupa to odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek ostrosłupa, a drugim - rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy (spodek wysokości).

Rozróżniamy różne rodzaje ostrosłupów:

  • Ostrosłup prosty - wszystkie jego krawędzie boczne mają tę samą długość.
  • Ostrosłup prawidłowy - ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym.

Vocabulary: Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego to kąt między ramionami trójkąta równoramiennego będącego jego ścianą boczną.

Szczególnym przypadkiem jest czworościan foremny - ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

Highlight: Wzór na wysokość czworościanu foremnego: H = a√(6)/3, gdzie a to długość krawędzi.

Objętość dowolnego ostrosłupa można obliczyć ze wzoru:

Highlight: V = 1/3 · Pp · H

gdzie Pp to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Kąty w bryłach

Zrozumienie kątów w bryłach jest kluczowe dla pełnego opanowania geometrii przestrzennej.

Definition: Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt ostry, który ta prosta tworzy ze swoim rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

W graniastosłupach i ostrosłupach występują różne rodzaje kątów:

  • Kąt między przekątną graniastosłupa a jego podstawą
  • Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną jego ściany bocznej
  • Kąt między przekątną a krawędzią podstawy
  • Kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością jego ściany bocznej

Highlight: Wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego: α = (n-2) · 180° / n, gdzie n to liczba boków wielokąta.

Znajomość tych kątów jest niezbędna przy rozwiązywaniu bardziej zaawansowanych zadań z geometrii przestrzennej.

graniastostup
graniastostup-wielościan, którego
dwie ściany, zwane podstawami,
sa przystającymi wielokątami
zawartymi w płaszczyznach.
równo

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Graniastosłupy i ich właściwości

Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych. Pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami o wierzchołkach należących do podstaw.

Definicja: Graniastosłup prosty to taki, w którym ściany boczne są prostopadłe do podstaw.

Vocabulary: Prostopadłościan to graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt.

Warto zauważyć, że za podstawę prostopadłościanu możemy przyjąć jego dowolną ścianę. To ważne przy obliczaniu pola powierzchni i objętości.

Highlight: Wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: PC = 2ab + 2ac + 2bc

Jeśli podstawą graniastosłupa prostego jest wielokąt foremny, to taki graniastosłup nazywamy prawidłowym. Szczególnym przypadkiem jest sześcian - prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych.

Example: Wzór na pole powierzchni sześcianu: PC = 6a²

Ważnym elementem graniastosłupa jest jego przekątna - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i nie zawierający się w żadnej z jego ścian. Ciekawostką jest, że graniastosłup trójkątny nie ma przekątnych.

Highlight: Wzór na przekątną prostopadłościanu: d = √(a² + b² + c²)

Objętość graniastosłupa jest kluczowym parametrem. Dla prostopadłościanu wynosi V = abc, dla sześcianu V = a³, a dla dowolnego graniastosłupa V = Pp · H, gdzie Pp to pole podstawy, a H to wysokość.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS