geometria płaska - okręgi i koła

Alternatywny zapis:

wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. -ortocentrum Cechy przystawania trójkątów: 1) bbb - jeśli długości trzech boków w jednym trójkącie są odpowiednio równe długościom trzech boków w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. 2) bkb - jeżeli dwa boki i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm bokom i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. 3) kbk - jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. 1) bbb 2) bkb 3) kbk Ośrodkowych w trójkącie - dzieli każdą z nich w stosunku 1 : 2 Twierdzenie Pitagorasa - jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. с b2 = c2 a² + b Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa - jeżeli długości boków a, b, c trójkąta spełniają zależność a² + b²= c², to trójkąt jest prostokątny, przy czym bok długości c leży naprzeciw kąta prostego. - w dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w punkcie, który A -środek ciężkoś trójkąta Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta AOA, lub ich przedłużenia przetniemy dwiema prostymi równoległymi AA, i BB₁, to stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na ramieniu OA lub na jego przedłużeniu jest równy stosunkowi. długości odpowiednich odcinków na ramieniu OA, lub na jego przedłużeniu. 0 K||L B A 4 |AA BB₁| ||OB| Przy założeniach twierdzenia Talesa stosunek długości odcinków utworzonych na obu prostych równoległych jest równy stosunkowi długości tych odcinków na każdym z ramion, których końcem jest wierzchołek kąta o |OA|_ 10A,1 |OB|||0B₂| 2C BA Twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta Jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do boku trzeciego i jego długość jest równa połowie długości boku trzeciego. P a² +6² 7c² OL2 LOA |OA| 10A OA JOA |AB| ||A₂B₂₁|| IOBI OB 0 sostokątny + b² <.c² svornortoką try 2 IK # A K||L Cechy podobieństwa trójkątów: 1) bbb jeśli długości boków trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta IA.B. IB.CIACI A₁B₁C₁, czyli BCA to te trójkąty są podobne ΤΑΒΙ 2) bkb - jeśli długości dwóch boków trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch IB.41 boków trójkąta A₁B₁C₁, czyli ABC, oraz kąty między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne. IABI 3) kkk - jeśli dwa kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe dwóm kątom trójkąta A, B, C₁, to te trójkąty są podobne 1) 666 2) bkb 3)kkk Suma wszystkich kątów wewnętrznych jest stała i wynosi 720° DE AB B 8₁ |DE| = = = |AB| 126 h a vownobocznego h A 20 a latz a√3 2 o a 4. Geometria płaska okręgi i koła Powtórzenie wiadomości z geometrii z klasy 1. 4.1. Wyznacz miary dwóch kątów przyległych, jeśli jeden z nich jest cztery razy większy od drugiego. x+4α = 180° 5:10 x= 36° 4-36=144° 4.2. Punkt O jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów CAB i ABC w trójką- cie ABC. Wyznacz miarę kąta wklęsłego AOB, jeśli: a) <BAC|+|ABC| = 130° b) <ACB=100°. 4.3. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i B. Kąt rozwarty prze- cięcia się tych dwusiecznych jest równy 137°. Ob- licz miarę kąta ACB. 4.4. Na rysunku obok zaznaczone są kąty zewnętrzne trójkąta a, ß, y. Wiedząc że a + y = 217°, oblicz ß. afɣ=217° 35% 67% 78 35 - A 2=180-90-3P 2=51 A 480- 128% a 180° - +180²-√ + 180° - B = 180° 360 - (x + 8 + 8) = 0 +8+B=360 4.5. Dany jest trójkąt ABC oraz prosta k, równoległa do podstawy AB i przecho- dząca przez wierzchołek C. Na podstawie danych na rysunku poniżej, wyznacz kąty trójkąta ABC. a) b) A-130=65 180-66= 415 8=84° A 137 +137=274 360-279-36-43 480-137 = 43 *+8=43' (137 B 20 +2 B + AC 480° 2.43 +44CB=4 4.6. Dany jest kąt ostry BAC, <BAC| = 39°, oraz punkt P, leżący na zewnątrz tego kąta. Z punktu P poprowadzono dwie proste: jedną równoległą do ramienia AB, a drugą prostopadłą do ramienia AC. Oblicz miarę kąta ostrego przecięcia się tych prostych. B. 86 +4ACB=180 *4GB = 34° A 180°-100=80° * CAB+ & ABC= 80° 1-80-40° 180°-40=140 360-140220 217+8=360 p=143° D 4.7. Wykaż, że w dowolnym trapezie dwusieczne kątów przy tym samym ramieniu są do siebie prostopadłe. x +B=90° 2x +2180° = 180' - 30 8 = 180° - (+B) 8 = 50° D 4.8. Korzystając z danych na rysunku poniżej wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem. a) c) 180° -128 = 52 > 26 4.9. Na rysunkach poniżej proste a i b są równoległe. Oblicz x. a) b) 10 X 90° +64=454° 180-154-26 12 SxEd2 x = 29 4.10. Proste AB i A,B, przecinają się w punkcie O. Proste te przecięto prostymi równoległymi AA,, BB, i CC₁ - jak na ry- sunku obok. Oblicz: d) f) 17 10 4:45 4 a) CC₁, jeśli |C,0 = 4 cm, |OA| = 3 cm, AA₁ = 2 cm b) OC₁, jeśli |OA₁ = 1,8 dm, |AC| = 11,2 dm, |OC| = 5,4 dm x=3 X 12-x 6x = 3(12-x) 8x=36 x=y X³3 do c) OB, jeśli CC₁ = 4 dm, BB₁ = 56 cm, |C₁B| = 12 dm d) |CA₁, jeśli |AA₁ = 2 cm, |BB| = 5 cm, A,B₁ = 4,5 cm, CC₁ = 4 cm. d) x+4,5 = 2 c) = 1240 x=9 442- 1807 4.11. Czy na rysunku poniżej proste a i b są równoległe? Odpowiedź uzasadnij. a) b) c) a 7,5 2y 5 李 A 4.12. Wyznacz wszystkie liczby a, a > 0, dla których istnieje trójkąt o bokach mających długość: *+8- a+a+3>016, ata+670 +3. 2 +7 > 11- 20+41-a77 20 +370+6 +67+3 ay-4 4272) a, a +3,³a + 6' •~>3 +6² > +3+2+67+ a(3, +00) +57 ay-s a+478-807ª 30> 4. c) 2a, 7, 1¹ a 4-a+7 72ª 06 (13,6) 2 +* a 70 a) a, 4, 8-a 8-a>0 (૦,8) ૭(46) 87a 4.13. Dwa boki trójkąta máją długość 4 i 9. Długość c trzeciego boku wyraża się liczbą pierwszą. (13 >C S+cy 3. 2 AB 2+4 AB=S 3x b ct(5,13) a) Oblicz c. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. 7 lub 11 Db) Wykaż, że dla każdej liczby c, znalezionej w punkcie a) trójkąt jest rozwartokątny. 42 +7² = 65 9²=81 3XE 4² +7² <92 4.14. Na podstawie danych na rysunku poniżej, oblicz długość podstawy AB trój- kąta ABC. a) b) ¿ 2x 4 x a+b+c=13,5 2a +26+2c= 2.13,5 2 +26 +2c=27 13 4 AB-3 4.15. Długości boków trójkąta ABC pozostają w stosunku 2 : 3:4. Środki boków tego trójkąta wyznaczają trójkąt, którego obwód jest równy 13,5 cm. Oblicz długości boków trójkąta ABC. 06w DEF = 13,5cm 1873a 67a 4+c29 (75) 6 AB 4AB6AB-18 -246=-18 AB=9 2x=6 3x=9 4x=.12 4x+3x+2x=27 9x=27 A=3 2 613=40 c= 37 3x +4√2² = 4 4 a√√₂ a: 412² a=212 4.16. Punkty D, E, F dzielą bok AC trójkąta ABC na cztery odcinki równej długości. Przez punkty D, E, F poprowadzono odcinki równoległe do boku AB, których drugi koniec należy do boku BC. Wiedząc, że najkrótszy z tych odcinków jest krótszy od kolej- nego odcinka o 7 cm, oblicz długość boku AB i dłu- gości równoległych odcinków. 4.17. W trójkącie równoramien- nym ABC kąt ACB jest równy 68°. Na prostej AB zaznaczono punk- ty Di E w taki sposób, że DA| = |AC| oraz |BC| = |BE|. Ob- licz kąty trójkąta CDE. D 4.18. Punkt D leży na przedłużeniu bo- ku AB trójkąta ABC poza punkt B. Z punk- tu D poprowadzono prostą prostopad- łą do boku AC, która przecięła bok BC w punkcie E. Wykaż, że jeśli |BD| = |BE|, to trójkąt ABC jest równoramienny 180-124 56 56:2+28 b*21 18 2:4 30-c=840 C= 28 25-4b = √₂ 180-68=112-56 180°-56=124* ax+70¹ Jax 7x 2.4 44-6 b=42a AB=24 80° +8+8=180° 30° + A +6=180 P=30⁰-88-5 0=30²-6 3α+90°= 180° 3K-30 x=30 4.19. Wysokość trójkąta równobocznego jest o 2 krótsza od boku. : hall a) Oblicz długość boku tego trójkąta. Wynik przedstaw w postaci a+b√c, gdzie a, a-2=²a=8+4√3 b, c = N₂. b) Jaki obwód ma trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków danego trójkąta? D 4.20. W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość ma dłu- gość 2 cm. a) Oblicz długości boków tego trójkąta. c) Punkt M należy do przeciwprostokątnej tego trójkąta i dzieli ją w stosunku 1:3. Oblicz odległości punktu M od przyprostokątnych. ) + x +30° + x +60% 3x4.21. Katy a, B, y trójkąta różnią się kolejno o 30°. 1D a) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. 30°, 60°, 30° b) Oblicz obwód tego trójkąta wiedząc, że różnica długości najdłuższego i najkrót- 212 szego boku tego trójkąta jest równa 4 cm. Wynik zaokrąglij do pierwszego miej- 60 sca po przecinku. Q+4=2a a=4 4.22. Boki trójkąta mają długość: 20 cm, 16 cm, 12 cm. Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. 12² +16² = 144+256=400 20²=400 b) Oblicz sumę długości wszystkich wysokości tego trójkąta. 12 16 = 1h-20 4.23. Stosunek długości krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równy 3 : 4. Wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 36 cm, oblicz: 3x a) długości boków tego trójkąta, b) długość środkowej trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. 4x 4.24. Boki trójkąta mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. a) Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. b) Oblicz długości trzech wysokości tego trójkąta. 4.25. W trójkącie ABC boki mają długość: |AB| = 18 cm, |BC| = |AC| = 15 cm. Oblicz: of a) wysokość CD tego trójkąta, b) długość środkowej AE, c) długość odcinka DE. 15 2x € 15 g² +h² = 15² h=12 A 181 B 4.26. Oblicz długości odcinków, na jakie środek ciężkości trójkąta dzieli środkową tego trójkąta poprowadzoną na podstawę, jeśli: a) trójkąt jest równoboczny, a jego obwód jest równy 18, b) trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego ramiona mają długość 3. 4.27. Boki trójkąta mają długość: 9 cm, 12 cm, 15 cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta: a) od dwóch jego krótszych boków, b) od wierzchołków tego trójkąta. 4.28. Oblicz długości środkowych trójkąta, którego boki mają długość: 16 cm, 17 cm, 17 cm. D 4.29. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Punkt E jest środkiem od- cinka AD. Półprosta CE przecina bok AB w punkcie P. Wykaż, że |PB| = 2|AP|. D 4.30. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Wykaż, że jeśli suma miar kątów DAC i ACB jest równa mierze kąta ADC, to trójkąt DBP jest równoramienny. ²-(2*² 81+4=4x² a>1 0 a A D 4.31. Trójkąt ABC jest równoboczny, a jego bok ma długość a, a > 1. Punkt D należy do boku AC oraz |AD| = 1. Na przedłużeniu boku BC poza punkt C leży punkt P. Wykaż, że jeśli |CP| = 1, to trójkąt DBP jest równoramienny. 4.32. Boki trójkąta ABC mają długość: 8 cm, 10 cm, 12 cm. Trójkąt A₁B₁C₁ jest podobny do trójkąta ABC w skali. Oblicz obwód trójkąta A₁B₁C₁. 4.33. Trójkąt A₁B₁C₁ jest podobny do trójkąta ABC w skali 1,25. O ile procent obwód trójkąta ABC jest mniejszy od obwodu trójkąta A,B,C₁? 4.34. Boki trójkąta ABC mają długość: |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c. Trójkąt A₁B₁C₁ jest podobny do trójkąta ABC, a jego boki mają odpowiednio długość: B,C₁ = a + 4, A₁C₁ = b + 6, A₁B₁ = c + 8. Da) Wykaż, że a: b: c= 2:3:4. b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta ABC jest równy 27 cm, oblicz skalę podobieństwa trójkąta A,B,C₁ do trójkąta ABC. 4.35. Boki trapezu ABCD, AB || DC, mają długość: |AB| = 21 cm, |BC| = 8 cm, DC = 14 cm, AD = 5 cm. Proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Oblicz ob- wód trójkąta ABP. 4.36. Podstawy trapezu mają długość 4 cm i 12 cm, a jego przekątne mają długość 10 cm oraz 8 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie punkt przecięcia przekątnych dzieli te przekątne. 4.37. W trójkącie równoramiennym boki mają długość: 18 cm, 15 cm, 15 cm. a) Oblicz odległości środka wysokości poprowadzonej na podstawę od boków tego trójkąta. b) Jaka jest odległość spodka tej wysokości od ramion trójkąta? 4.38. Najkrótsza wysokość trójkąta prostokątnego jest równa 8 cm, a najdłuższa wynosi 13- cm. Oblicz obwód tego trójkąta. 4.39. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, których długości pozostają w stosunku 9: 16. Wiedząc, że ob- wód trójkąta jest równy 30 cm, oblicz długości przyprostokątnych. 4.40. W trójkącie ABC, w którym <ACB| = 90° oraz |AC| < |BC|, zaznaczono środek ciężkości S i spodek D wysokości CD. Da) Wykaż, że jeśli |AD| = 3 oraz |BD| = 6, to odcinek DS jest równoległy do boku AC, a jego długość jest równa √√3. b) Czy odcinek DS byłby równoległy do boku AC, gdyby |AD| = 1 oraz |DB| = 4? Odpowiedź uzasadnij. A с G W |AC|</BC/ 6 Okrąg. Polożenie prostej i okręgu. Okregiem - o środku O i promieniu r,. r>0, nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r. Taki okrąg oznaczamy symbolem o(0,r). Promieniem okręgu - nazywamy również odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem tego okręgu. Okrąg o promieniu r ma długość równą 2πr. PROMIEN Cięciwa Cięciwą okręgu nazywamy odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu. Cięciwa przechodząca przez środek okręgu jest średnicą tego okręgu. Średnica jest dwa razy dłuższa od promienia. CIĘCINA • Jeśli promień okręgu przechodzi przez środek cięciwy, to jest prostopadły do tej cięciwy. Jeśli promień okręgu jest prostopadły do cięciwy, to dzieli tę cięciwę na połowy. LUK 0 ŚREDNICA o(0,r) v promień Styczna do okregu Prostą, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgu w tym punkcie. Punkt wspólny prostej i stycznej nazywamy punktem styczności prostej i okręgu. A Prosta jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy promień poprowadzony do punktu wspólnego prostej i okręgu jest prostopadła do prostej. B Prosta jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi tego okręgu. 0 ✓ d A -cięciwa K d=w Odcinki dwóch stycznych, poprowadzonych do okręgu z punktu, którego odległość od środka okręgu jest większa niż promień - wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności - mają tę samą długość. Kąt wypukły ACB nazywamy kątem, pod którym widać okrąg o(0,r) z punktu C. Sieczną okregu - nazywamy prostą, która ma dwa punkty wspólne z danym okręgiem. Prosta jest sieczną okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest mniejsza od promienia okręgu. Rozlączna Prosta jest rozłączna z okręgiem wtedy gdy nie ma z nim punktów wspólnych. Prosta jest rozłączna z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest większa od promienia okręgu. Okrąg. Położenie prostej i okręgu 4.41. Naszkicuj okrąg i zaznacz na nim punkty A, B i C. a) lle cięciw i ile łuków wyznaczają te punkty? Wskaż te cięciwy i łuki. b) lle cięciw i ile łuków wyznaczają cztery punkty położone na okręgu? d<r 4.42. W kole poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Wiedząc, że BCL AC i |BC| = 7 cm, oblicz odległość cięciwy AC od środka koła. 4.43. Odcinek AB jest cięciwą okręgu o promieniu 25 cm. Wiedząc, że AB = 48 cm, oblicz odległość tej cięciwy od środka okręgu. d>r 4.44. Promień okręgu jest równy 17 cm. Oblicz długość cięciwy tego okręgu, która znajduje się w odległości 8 cm od środka okręgu. 4.45. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB, a odległość między nimi jest równa 5 cm. Wiedząc że różnica długości tych cięciw jest równa 2 cm, oblicz długość tego okręgu. r = 4.46. Cięciwa CD okręgu jest prostopadła do średnicy AB i przecina ją w punk- cie P w stosunku 9: 1. Wiedząc, że odległość punktu P od środka okręgu jest równa 4 cm, oblicz: a) długość okręgu b) długość cięciwy CD. 4.47. Wyraź w procentach (z dokładnością do 1%), jaką część okręgu stanowi tuk okręgu o promieniu r, jeśli długość łuku jest równa d. a) r = 3 cm, d = π cm b) r = 5 cm, d = 20 cm c) r = π cm, d = π² cm √3 dm, d = √√12 dm d) r = 0,25 dm, d = 6 cm f) r=0,4 m, d = √√5 dm 4.48. Dany jest promień r okręgu o i odległość d środka okręgu o od prostej k. Ustal położenie prostej k oraz okręgu o. a) r = 3, d = 2√3 b) r = π, d = 90,5 c) r = 7, d = √√4² +3² d) r = log₂8, d = 3 4.49. Wskaż na rysunku obok trzy pary odcinków równej długości wiedząc, że proste AC, EC, BD są styczne do okrę- gu odpowiednio w punktach A, E, F. 4.50. Proste AE, AD i BC są styczne do okręgu. Wiedząc, że AD = 17 cm, oblicz obwód trój- kąta ABC. 4.51. Okrąg na rysunku obok jest styczny do wszystkich boków trójkąta ABC, w którym |AC| = |BC|, odpowiednio w punk- tach D, E, F. Wiedząc, że |AB| = 15 cm oraz |BC| = 19,5 cm, oblicz długość odcinka FC. b) a α = 60° •O c) a A α = 100° B A B F₁ AUGHTO 76 D .O 12 D 15 4.52. Miara kąta utworzonego przez dwa promienie okręgu jest równa a. Pod jakim kątem widać ten okrąg z punktu przecięcia stycznych do okręgu, poprowa- dzonych z końców tych promieni, jeśli: a) a = 45° d) a = 141°? 4.53. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O i promieniu 3 cm. Odcinek AO ma długość 9 cm i przecina okrąg w punkcie P. Oblicz odległość punktu P od tych stycznych. 715 13,5 7,5 D 4.54. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O i promieniu r. Półprosta AO przecina okrąg w dwóch punktach P i Q. Wykaż, że jeśli odległość punktu Q od poprowadzonych stycznych jest dwa razy większa niż odległość punk- tu P od tych stycznych, to r= ==|AP|. końce 4.55. Do danego okręgu poprowadzono styczną tak, B średnicy tego okręgu są odległe od stycznej o 25 cm i o 15 cm. Oblicz promień tego okręgu. 4.56. Dany jest okrąg o promieniu r i prosta, której odległość od środka okręgu jest równa d. Zbadaj położenie prostej k i okręgu o w zależności od a. a) r = 4, d = a-3 b) r=a, d = 8-a c) r = -a, d = 6 + a d) r = a -1, d = a +1 Wzajemne położenie dwóch okręgów Rozłączne zewnętrznie | Styczne zewnętrznie Okręgi się przecinają Styczne wewnętrznie | Rozłączne wewnętrznie I 4 styczne O 10₁0₂1 > ₁+ ₂ 3 styczne CC 10₂0₂1 = ₁₂ + √₂ 2 styczne O 1 styczna O | Ir₁= r₂ l < 10₂ 0₂1 <`r₁ + 1₂ || 10₂0₂1 = Tr₂ - r₂1 #0 10₁0₂1 < Ir₁-₂1 Okręgi nazywamy rozłącznymi zewnętrznie wtedy, gdy koła wyznaczone przez te okręgi nie mają punktów wspólnych. Okręgi o(0₁₁) i o(0₂,₂) są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy 10₂0₂ > ₂₁+ ₂ Okręgi nazywamy stycznymi zewnętrznie wtedy, gdy koła wyznaczone przez te okręgi mają tylko jeden punkt wspólny. Okręgi o(0₁,₁) i o(0₂₂) są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy 10₁0₂ = ₁ + ₂ Okręgi nazywamy przecinającymi się wtedy, gdy mają tylko dwa punkty wspólne. Okręgi o(0₁.₁) i o(0₂,r₂) przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy Ir₁ r₂l < 10₁0₂1 < ₁ + √₂ Okręgi nazywamy stycznymi wewnętrznie wtedy, gdy mają tylko jeden punkt wspólny i jeden z okręgów zawiera się w kole wyznaczonym przez drugi okrąg. Okręgi o(0,r) i o(0₂₂) są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy 10₁ 0₂ = 1₁-₂1 0 a) Okręgi styczne wewnętrznie mają tylko jedną wspólną styczną. Okręgi nazywamy rozłącznymi wewnętrznie wtedy, gdy nie mają punktów wspólnych i jeden okrąg zawiera się w kole wyznaczonym przez drugi okrąg. Okręgi o(0,r) i o(0₂,r₂) są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy 10₂0₂l<Ir-r₂l Jeśli okręgi mają wspólny środek, to mówimy, że są to okręgi współśrodkowe. Okręgi pokrywają się wtedy gdy są współśrodkowe i mają równe promienie. b) Okręgi, które się przecinają, mają dwie wspólne styczne. c) Okręgi styczne zewnętrznie mają trzy wspólne styczne: dwie zewnętrzne i jedną wewnętrzną. d) Okręgi rozłączne zewnętrznie mają cztery wspólne styczne: dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne Wzajemne położenie dwóch okręgów 4.57. Określ wzajemne położenie okręgów o (A, r₁) i o (B, r₂), jeśli |AB| = 8 oraz: a) r₁ = 1, r₂ = 9 9-1=8= |AB| styvare new b) r₁ = 3, r₂ = 5 5+3=8 St zew str wewnę c) ₁₁ = √5, 1₂2=3√5 21528 4√578 przel d) r₁ = 5, r₂ = 13 8 f) ₁₂ =4-√√5, ₂=4+ √₂ e) ₁₁ = √√8, r₁₂ = 11 11+√8'>8 18-1178 4.58. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość między ich środkami wyno- si 12 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, wiedząc, że: a) jeden z nich jest o 2 cm dłuższy od drugiego, b) jeden z nich jest trzy razy krótszy od drugiego. 4.59. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie. Odległość między ich środkami jest równa 3 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, jeśli: a) jeden z nich jest dwa razy krótszy od drugiego, b) suma długości promieni jest równa 17 cm. 4.60. Wyznacz promienie okręgów wiedząc że, gdyby te okręgi były styczne ze- wnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa 15 cm; a gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa 3 cm. Wyznacz promienie tych okręgów. 4.61. Trzy okręgi o promieniu r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozosta- tych. Wyznacz długości boków i miary kątów trójkąta, utworzonego przez punkty styczności. 4.62. Dwa okręgi o(A, r₁) i o(B, r₂) są styczne zewnętrznie do siebie i oba są stycz- ne wewnętrznie do okręgu o(C, r3). Obwód trójkąta ABC wynosi 25 cm. Oblicz r 3. 4.63. Dane są dwa okręgi współśrodkowe. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu, a jej długość jest równa 30 cm. Oblicz promienie tych okrę- gów wiedząc, że różnią się o 9 cm. 4.64. Dane są dwa okręgi o(A, r₁), o(B, r₂) takie, że: a) r₁ = 2, r₂ = 3, |AB| = k b) r₁=k, r₂ = k1, |AB| = 5 c) r₁ = 3, r₂ = 2k, |AB| = 4 d) r₁= 5-k, r₂ = k + 1, |AB| = 2. Określ położenie okręgów w zależności od wartości parametru k. 4.65. Dane są dwa okręgi o(A, 3) oraz o(B, m - 4). Odległość między ich środkami jest równa 7. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których te okręgi mają: a) jeden punkt wspólny b) dwa punkty wspólne. 4.66. Odległość między środkami dwóch okręgów jest równa 9, a promienie tych okręgów są równe: 5 - a oraz 2a. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których oba okręgi mają co najmniej jeden punkt wspólny. Kola i katy Kolem - o środku w punkcie O i promieniu r > 0, nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu Ojest mniejsza od r lub równa r. Takie koło oznaczamy symbolem k(0,r) Katem środkowym koła - nazywamy kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła 8 Kąt środkowy wypukły Jeśli jest miarą kąta środkowego koła o promieniu r, natomiast I jest długością łuku, na którym ten kąt jest oparty, to prawdziwa jest równość = A 360° 2πr Kąt środkowy wklęsły 180° Katem wpisanym w kolo - nazywamy kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta 0. 100° ( 360° 211.9 5 B 2 : tôn L=5π ≈ 15,7 Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku to kąt środkowy jest dwa razy większy od. kąta wpisanego. (2) D! Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym Kąty wpisane, oparty na tym samym łuku są równe. 2% Katem dopisanym do okregu - w punkcie A należącym do okręgu nazywamy kąt wypukły, wyznaczony przez styczną do okręgu w punkcie A oraz półprostą zawierającą cięciwę o końcu w punkcie A Kąty dopisany i wpisany, oparte na tym samym łuku, są równe. .d= •2πr 360° A 214⁰ 0 "Jo. Koła i kąty 4.67. Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miarę kąta a. a) b) c) 0 95% d) f) 4.68. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i prosta k styczna do tego okręgu. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miarę kąta a. a) b) d) 30° 45⁰ 45% ₂0 a 4.69. Dany jest okręg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miary kątów trójkąta ABC. a) b) c) 110 LOS 120 4.70. Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, oblicz a. a) b) ao 30 70 a) r = 2, d = π d) r = 5, d = 3π 4.71. Oblicz miarę kąta środkowego, opartego na łuku okręgu o promieniu r, jeśli długość tego łuku jest równa d. .0 b) r = 3, d = 2π e) r = 6, d = 6 4.73. Punkty P₁, P2, P3, P4, P5, P6 P7, P8, Pg należą do okręgu i dzielą okrąg w danej kolejności na dziewięć łuków równej długości. Oblicz: a) PPP₁ b) PPP| c) P₂PP₁ d) <P₂P3P4. c) r = 4, d = 5 f) r = 8, d = 40 4.72. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Oblicz długość łuku, na którym jest oparty kąt środkowy a w tym okręgu, jeśli: a) r = 15, a = 72° b) r = 10, a = 216° c) r = 4, α = 135° d) r = 28, α = 30° e) r = 13, α = 270º 4.74. W okręgu o promieniu r kreślimy średnicę AB oraz taką cięciwę AC, że |AC| = r. Jaką częścią okręgu jest łuk CAB? 4.75. Punkty A, B, C należą do okręgu. Wiedząc, że kąty trójkąta ABC są równe: |A|=30°, B = 45°, C=105°, oblicz stosunek długości łuków, na jakie punkty A, B, C podzieliły okrąg. 4.76. Punkty A, B, C dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5:6:7. Oblicz miary kątów trójkąta ABC. D 4.77. Cięciwy AB i CD są różnymi średnicami jednego okręgu. Wykaż, że czworo- kąt ABCD jest prostokątem. D 4.78. Wewnątrz równoległoboku narysowano dwa półokręgi: średnicą jedne- go jest krótszy bok, a średnicą drugiego - dłuższy bok równoległoboku. Wykaż, że punkt przecięcia tych półokręgów różny od wierzchołka równoległoboku należy do jednej z przekątnych tego równoległoboku. D 4.79. Dwa okręgi przecinają się w punktach P i Q. Poprowadzono średnicę PA w pierwszym okręgu oraz średnicę PB w drugim okręgu. Wykaż, ze punkty A, Q, B są współliniowe. D 4.80. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB. Wykaż, że różnica miar kątów ACD i CDA jest równa 90°. D 4.81. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku w punk- cie O oraz kąty środkowe: a i B. Wykaż, że jeśli a = 80° iß = 50%, to OC||AB. Twierdzenie o stycznej i siecznej Jeżeli przez punkt P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, poprowadzimy styczną do okręgu w punkcie A i sieczną przecinającą okrąg w punktach B i C, to |PA|²= |PB|-IPCI. Jeśli dwie proste przecinają okrąg odpowiednio w punktach A i B oraz C i D, a także przecinają się w punkcie P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, to IPA|-|PB| = |PC|-|PD| ! O A Jeśli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie P, to |PA| IPB| = |PC|•|PD| ! |PA| ² = 1.9 |PA|=3 O Twierdzenie o stycznej i siecznej 4.82. Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A oraz sieczną, przecinającą okrąg w punk- tach B i C, jak na rysunku obok. Wiedząc, że |PB| = 1 cm oraz |BC| = 8 cm, oblicz |PA|. C 4.83. Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i sieczną, przecinającą ten okrąg kolejno w punktach B i C. Wiedząc, że |PA| = 8 cm oraz PB| = 4 cm, oblicz długość cięciwy BC. Wybrane konstrukcje geometryczne 1. Analiza zadania - szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie było rozwiązane, za- znaczamy elementy dane i szukane. Następnie określamy, jak od danych przejść do szukanych. II. Konstrukcja i jej opis - konstruujemy szukaną figurę, używając wyłącznie cyr- kla i linijki, oraz opisujemy wykonywane czynności. III. Dowód poprawności konstrukcji - wykazujemy, że uzyskane przez nas rozwią- zanie spełnia warunki zadania. IV. Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań - ustalamy warunki, dla których istnieje rozwiązanie, oraz stwierdzamy, ile istnieje rozwiązań tego zadania. Symetralne boków trójkąta. Okrag opisany na trójkącie. Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie. R S Środek S okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta. ho h R R B R Punkt S przecięcia symetralnych boków trójkąta ABC leży w równej odległości od wierzchołków tego trój- kąta. Przez wierzchołki A, B, C można poprowadzić okrąg o środku w punkcie S i promieniu SA. Okrąg, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta, nazywamy okręgiem opisanym na trójkącie. Wów- czas o trójkącie mówimy, że jest to trójkąt wpisany w okrąg. S Środek S okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na boku trójkąta. R-promień okręgu opisanego na trójkącie h - wysokość opuszczona na podstawę okręgi opisane na wybranych trójkątach trójkąt równoramienny R-promień okręgu opisanego na trójkącie h - wysokość R == h 3 Tomatol trójkąt równoboczny R=-C 2 R-promień okręgu opisanego na trójkącie c-przeciwprostokątna Środek S okręgu opisanego na trójkącie rozwartokąt- nym leży poza trójkątem. W trójkącie równoramiennym sy- metralna podstawy zawiera wyso- kość poprowadzoną na podstawę. Zatem środek okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym leży na prostej zawierającej wysokość po- prowadzoną na podstawę. trójkąt prostokątny W trójkącie równobocznym syme- tralne boków zawierają wysokości. Tak więc środek okręgu opisane- go na trójkącie równobocznym jest punktem przecięcia wysokości w tym trójkącie. Środek okręgu opisanego na trój- kącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej. Y Dwusieczne kątów trójkąta. Okrag wpisany w trójkąt. W dowolnym trójkącie dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie. E D A a DIA r D b X C b-r 9 E X B y F D Okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta, nazywamy okręgiem wpisanym w trójkąt. Wówczas o trójką- cie powiemy, że jest to trójkąt opisany na okręgu. a okręgi wpisane w wybrane trójkąty trójkąt równoramienny r-promień okręgu wpisanego w trójkąt h- wysokość opuszczona na podstawę r-promień okręgu h - wysokość r=-h trójkąt równoboczny wpisanego w trójkąt |AE| = |AF| |BF| = |BD| ICEI=IC DI W trójkącie równoramiennym dwu- sieczna kąta między ramionami zawie- ra wysokość opuszczoną na podsta- wę. Zatem środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na wy- sokości poprowadzonej na podstawę (w przypadku trójkąta nierównobocz- nego w innym miejscu niż środek okręgu opisanego na tym trójkącie). r-promień okręgu wpisanego w trójkąt a, b-przyprostokątne c- przeciwprostokątna a+b-c 2 W trójkącie równobocznym dwu- sieczne kątów zawierają wysokości. Tak więc środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest punktem przecięcia wysokości w tym trójkącie (i jest też środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie). trójkąt prostokątny Punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z bokami tego trójkąta dzielą te boki w następujący sposób: przyprostokątne a, b na od- cinki mające długość (a - r) i r oraz (br) i r, natomiast przeciwprosto- kątną c na odcinki mające długość (a-r) i (b-r). W dowolnym trójkącie ABC, w którym CD jest odcinkiem dwusiecznej kąta wewnętrznego tego trójkąta, prawdziwa jest równość |AD|_ |AC| |DB| |CB| A Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt D 4.114. W trójkącie równoramiennym ABC, |AC| = |BC|, dwusieczna kąta BAC tworzy z bokiem BC kąt 120°. Wyznacz kąty trójkąta ABC. Rozważ dwa przypadki. 4.115. W trójkącie ABC odcinek AD dwusiecznej kąta BAC ma długość taką, jak bok AB. Wiedząc, że <BAC=108°, oblicz miary pozostałych kątów trójkąta ABC. 4.116. W trójkącie kąty są równe: 20°, 60°, 100°. Poprowadzono dwusiecz- ne kątów tego trójkąta. Oblicz miary kątów powstałych w ten sposób sześciu trójkątów. 4.117. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg o środku O. Wiedząc, że <AOB=130°, oblicz miary kątów tego trójkąta. 4.118. Kąty trójkąta ABC są równe: 50°, 60°, 70°. W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty styczności wyznaczają wierzchołki trójkąta KLM. Wyznacz kąty trójkąta KLM. 4.119. Kąty trójkąta ABC są równe: 50°, 60°, 70°. Na trójkącie ABC opisano okrąg. Przez punkty A, B, C poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się kolejno w punktach K, L, M. Wyznacz kąty trójkąta KLM. 4.120. W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty D, E, F są punktami styczności tego okręgu odpowiednio z bokami AB, BC i AC. Wiedząc, że |AD| = 5 cm, |DB| = 4 cm oraz |FC| = 3 cm, oblicz obwód trójkąta ABC. 4.121. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg. Wiedząc, że |AC| = |BC| = 16 cm oraz |AB| = 12 cm, oblicz długości odcinków, na jakie punkt styczności podzielił bok AC. 4.122. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, jeśli: a) boki trójkąta mają długość 10 cm, b) wysokości trójkąta przecinają się w punkcie, którego odległość od wierzchołków jest równa 5 cm. 4.123. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4 cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz obwód tego trójkąta. 4.124. Wyznacz promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równora- mienny, jeśli: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 3, b) różnica długości przyprostokątnej i r jest równa 1+√√2. B 4.125. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków, na jakie punkty styczności podzieliły boki tego trójkąta.