Geometria płaska to fundamentalna część matematyki zajmująca się badaniem własności figur na płaszczyźnie.
W geometrii płaskiej wyróżniamy różne... Pokaż więcej
Matematyka
13 paź 2025
12 657
11 strony
Geometria płaska to fundamentalna część matematyki zajmująca się badaniem własności figur na płaszczyźnie.
W geometrii płaskiej wyróżniamy różne... Pokaż więcej
Geometria płaska - pojęcia wstępne trójkąty stanowią fundament matematyki wyższej. Każdy element geometrii płaskiej rozpoczyna się od najprostszych figur. Punkt, będący najmniejszą figurą geometryczną, jest podstawowym elementem konstrukcyjnym. Odcinek definiujemy jako zbiór punktów zawierający się między dwoma punktami końcowymi wraz z tymi punktami.
Definicja Figura wypukła to taka figura, w której dla dowolnych dwóch punktów A i B należących do tej figury, cały odcinek AB zawiera się w tej figurze. Figura, która nie spełnia tego warunku, nazywana jest figurą wklęsłą.
Figury wypukłe przykłady obejmują koło, trójkąt czy kwadrat. Z kolei figury wklęsłe przykłady to między innymi gwiazda czy półksiężyc. Istotne jest rozróżnienie między figurą ograniczoną a figurą nieograniczoną. Figura jest ograniczona, jeśli można ją zawrzeć w pewnym kole o skończonym promieniu.
Kąty wierzchołkowe i przyległe stanowią kolejny fundamentalny element geometrii płaskiej. Kąty wierzchołkowe to kąty, których ramiona tworzą dwie proste przecinające się, i są one zawsze równe. Kąty przyległe to kąty mające wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona tworzą prostą - ich suma zawsze wynosi 180°.
Przykład Jeśli jeden z kątów przyległych ma miarę 70°, to drugi musi mieć miarę 110°, ponieważ 70° + 110° = 180°.
W geometrii płaskiej kluczowe znaczenie ma wzajemne położenie prostych. Proste mogą być równoległe (nie mają punktów wspólnych) lub przecinające się (mają dokładnie jeden punkt wspólny). Zgodnie z V Aksjomatem Euklidesa, przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej prostej.
Highlight Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą, zawsze prostopadłego do tej prostej.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek. Ma ona szczególną własność - każdy punkt symetralnej jest jednakowo oddalony od końców odcinka. Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwie równe części, a wszystkie jej punkty są równo oddalone od ramion kąta.
Definicja Odległość między prostymi równoległymi to długość dowolnego odcinka prostopadłego do obu tych prostych.
Kąty naprzemianległe powstają, gdy dwie proste są przecięte trzecią prostą. Jeśli dwie proste są równoległe, to powstałe kąty naprzemianległe są równe. Ta własność jest kluczowa przy dowodzeniu wielu twierdzeń geometrycznych.
Vocabulary Łamana zwyczajna to figura geometryczna złożona z odcinków (boków) połączonych końcami (wierzchołkami), gdzie żadne dwa kolejne boki nie leżą na jednej prostej.
Wielokąt to figura ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą. Wielokąty dzielimy na wypukłe i wklęsłe. W wielokącie wypukłym wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze od 180°. Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi zawsze 180°, co stanowi podstawę do obliczania sum kątów w wielokątach o większej liczbie boków.
Wielokąt foremny to szczególny przypadek wielokąta, w którym wszystkie boki mają równą długość, a wszystkie kąty są równe. Liczba przekątnych w n-kącie wyraża się wzorem n/2, gdzie n to liczba boków wielokąta.
Definicja Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego. Suma wszystkich kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi zawsze 360°.
Twierdzenie Talesa, fundamentalne w geometrii płaskiej, mówi o proporcjonalności odcinków powstałych przy przecięciu ramion kąta prostymi równoległymi. Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń wykorzystywanych w konstrukcjach geometrycznych i dowodzeniu własności figur płaskich.
Highlight Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego o n bokach wynosi 180°.
Geometria płaska trójkąty wzory stanowią podstawę wielu zagadnień matematycznych. Trójkąt to figura geometryczna o trzech bokach, której suma kątów wewnętrznych zawsze wynosi 180°. Klasyfikacja trójkątów opiera się na dwóch głównych kryteriach rodzaju kątów oraz długości boków.
Definicja Trójkąt to wielokąt o trzech bokach i trzech kątach, którego suma kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Ze względu na kąty wyróżniamy trójkąty ostrokątne (wszystkie kąty ostre), prostokątne (jeden kąt prosty) i rozwartokątne (jeden kąt rozwarty). Natomiast pod względem długości boków dzielimy je na różnoboczne (wszystkie boki różnej długości), równoramienne (dwa boki równe) i równoboczne (wszystkie boki równe).
Przykład W trójkącie równoramiennym
Szczególnie ważna jest nierówność trójkąta, która mówi, że suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku. Ta własność jest kluczowa przy konstruowaniu trójkątów i rozwiązywaniu zadań z geometrii płaskiej 2 liceum.
Każdy trójkąt posiada trzy wysokości - odcinki poprowadzone z wierzchołka prostopadle do prostej zawierającej przeciwległy bok. Wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.
Definicja Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z prostą zawierającą przeciwległy bok, poprowadzony prostopadle do tej prostej.
Środkowe trójkąta to odcinki łączące wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. W każdym trójkącie występują trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie - środku ciężkości. Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku 21 (licząc od wierzchołka).
Highlight Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 21, przy czym dłuższy odcinek znajduje się od strony wierzchołka.
W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie przeciwprostokątnej. Ta własność jest często wykorzystywana w zadaniach z geometrii płaskiej - pojęcia wstępne trójkąty.
Geometria płaska - trójkąty Sprawdzian często zawiera zadania oparte na twierdzeniu Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów długości przyprostokątnych .
Definicja Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa mówi, że jeśli w trójkącie zachodzi zależność a² + b² = c², to jest on prostokątny. To pozwala sprawdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny, znając tylko długości jego boków.
Dla trójkątów o bokach a, b, c (gdzie a < b < c) możemy określić rodzaj trójkąta
W geometrii płaskiej sprawdzian Pazdro często pojawiają się zadania dotyczące symetrii w trójkątach. Trójkąt równoramienny posiada oś symetrii przechodzącą przez wierzchołek i środek podstawy, natomiast trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.
Vocabulary
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie
Te własności są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych i dowodowych z zakresu geometrii płaskiej.
Geometria płaska trójkąty wzory stanowią podstawę wielu zagadnień matematycznych. W trójkątach równoramiennych szczególną rolę odgrywają własności związane z dwusiecznymi kątów i środkowymi. Dwusieczna kąta w trójkącie to prosta dzieląca kąt na dwie równe części, co ma fundamentalne znaczenie przy rozwiązywaniu zadań geometrycznych.
Definicja Trójkąt równoramienny to figura geometryczna, w której dwa boki mają równą długość. Charakteryzuje się również tym, że kąty przy podstawie są równe.
Przy rozwiązywaniu zadań z zakresu geometrii płaskiej 2 liceum kluczowe jest zrozumienie własności środkowych trójkąta. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W każdym trójkącie punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 21, licząc od wierzchołka.
Przykład W trójkącie ABC o obwodzie 200 cm, gdzie |AB| = |BC|, środkowe AD i CE tworzą charakterystyczny układ. Jeśli obwód trójkąta ACE jest o 20 cm większy od obwodu trójkąta ABD, możemy wykorzystać własności środkowych do obliczenia długości boków.
W kontekście geometrii płaskiej - pojęcia wstępne trójkąty istotne jest również zrozumienie zależności między bokami trójkąta. Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być zawsze większa od długości trzeciego boku, co stanowi podstawowy warunek istnienia trójkąta.
Kąty wierzchołkowe i przyległe to fundamentalne pojęcia w geometrii płaskiej. Kąty wierzchołkowe powstają, gdy dwie proste przecinają się, tworząc cztery kąty. Kąty wierzchołkowe mają zawsze równe miary, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu wielu zadań geometrycznych.
Highlight Kąty przyległe to dwa kąty mające wspólne ramię i tworzące kąt półpełny (180°). Suma miar kątów przyległych zawsze wynosi 180°.
W zagadnieniach dotyczących kątów naprzemianległych szczególnie istotne jest zrozumienie ich własności przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Kąty naprzemianległe są zawsze równe, co stanowi podstawę wielu dowodów geometrycznych.
Przykład Rozważając układ dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, możemy zidentyfikować osiem kątów, wśród których występują pary kątów naprzemianległych, odpowiadających i przyległych.
Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii płaskiej sprawdzian Pazdro kluczowe jest umiejętne wykorzystanie zależności między różnymi rodzajami kątów. Znajomość tych relacji pozwala na efektywne rozwiązywanie złożonych problemów geometrycznych i przeprowadzanie dowodów matematycznych.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
309
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Zrozumienie cech przystawania trójkątów, w tym twierdzenia Pitagorasa oraz symetrii w geometrii. Notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady oraz zasady dotyczące kątów i boków trójkątów. Idealna do powtórki przed egzaminem z geometrii.
Zbiór kluczowych twierdzeń i wzorów dotyczących geometrii płaskiej, w tym czworokątów, trójkątów, okręgów oraz obliczania pól. Idealne materiały do nauki dla maturzystów. Obejmuje m.in. twierdzenia o okręgach wpisanych i opisanych, wzory na pole trójkątów oraz zasady dotyczące kątów.
Zrozumienie przekształcania wzorów matematycznych i fizycznych. Przykłady wyodrębniania zmiennych, takich jak prędkość, czas i objętość. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki i fizyki.
Zrozumienie obliczania pól czworokątów, w tym równoległoboków i rombów. Przykłady z obliczeniami oraz odpowiedzi na zadania dotyczące pól figur geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
Kompleksowe tablice matematyczne z kluczowymi wzorami i definicjami, które są niezbędne do zdania matury. Zawierają m.in. średnią, medianę, wzory na pole i objętość figur, zasady podzielności oraz właściwości trójkątów i czworokątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.
Zrozumienie kątów naprzemianległych i odpowiadających w kontekście przecięcia prostych. Analiza sumy miar kątów w trójkącie oraz obliczenia kątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Matematyka
13 paź 2025
12 657
11 strony
Geometria płaska to fundamentalna część matematyki zajmująca się badaniem własności figur na płaszczyźnie.
W geometrii płaskiej wyróżniamy różne rodzaje figur. Figura ograniczonato taka, którą można zamknąć w okręgu o... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Geometria płaska - pojęcia wstępne trójkąty stanowią fundament matematyki wyższej. Każdy element geometrii płaskiej rozpoczyna się od najprostszych figur. Punkt, będący najmniejszą figurą geometryczną, jest podstawowym elementem konstrukcyjnym. Odcinek definiujemy jako zbiór punktów zawierający się między dwoma punktami końcowymi wraz z tymi punktami.
Definicja Figura wypukła to taka figura, w której dla dowolnych dwóch punktów A i B należących do tej figury, cały odcinek AB zawiera się w tej figurze. Figura, która nie spełnia tego warunku, nazywana jest figurą wklęsłą.
Figury wypukłe przykłady obejmują koło, trójkąt czy kwadrat. Z kolei figury wklęsłe przykłady to między innymi gwiazda czy półksiężyc. Istotne jest rozróżnienie między figurą ograniczoną a figurą nieograniczoną. Figura jest ograniczona, jeśli można ją zawrzeć w pewnym kole o skończonym promieniu.
Kąty wierzchołkowe i przyległe stanowią kolejny fundamentalny element geometrii płaskiej. Kąty wierzchołkowe to kąty, których ramiona tworzą dwie proste przecinające się, i są one zawsze równe. Kąty przyległe to kąty mające wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona tworzą prostą - ich suma zawsze wynosi 180°.
Przykład Jeśli jeden z kątów przyległych ma miarę 70°, to drugi musi mieć miarę 110°, ponieważ 70° + 110° = 180°.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
W geometrii płaskiej kluczowe znaczenie ma wzajemne położenie prostych. Proste mogą być równoległe (nie mają punktów wspólnych) lub przecinające się (mają dokładnie jeden punkt wspólny). Zgodnie z V Aksjomatem Euklidesa, przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej prostej.
Highlight Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą, zawsze prostopadłego do tej prostej.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek. Ma ona szczególną własność - każdy punkt symetralnej jest jednakowo oddalony od końców odcinka. Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwie równe części, a wszystkie jej punkty są równo oddalone od ramion kąta.
Definicja Odległość między prostymi równoległymi to długość dowolnego odcinka prostopadłego do obu tych prostych.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Kąty naprzemianległe powstają, gdy dwie proste są przecięte trzecią prostą. Jeśli dwie proste są równoległe, to powstałe kąty naprzemianległe są równe. Ta własność jest kluczowa przy dowodzeniu wielu twierdzeń geometrycznych.
Vocabulary Łamana zwyczajna to figura geometryczna złożona z odcinków (boków) połączonych końcami (wierzchołkami), gdzie żadne dwa kolejne boki nie leżą na jednej prostej.
Wielokąt to figura ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą. Wielokąty dzielimy na wypukłe i wklęsłe. W wielokącie wypukłym wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze od 180°. Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi zawsze 180°, co stanowi podstawę do obliczania sum kątów w wielokątach o większej liczbie boków.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Wielokąt foremny to szczególny przypadek wielokąta, w którym wszystkie boki mają równą długość, a wszystkie kąty są równe. Liczba przekątnych w n-kącie wyraża się wzorem n/2, gdzie n to liczba boków wielokąta.
Definicja Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego. Suma wszystkich kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi zawsze 360°.
Twierdzenie Talesa, fundamentalne w geometrii płaskiej, mówi o proporcjonalności odcinków powstałych przy przecięciu ramion kąta prostymi równoległymi. Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń wykorzystywanych w konstrukcjach geometrycznych i dowodzeniu własności figur płaskich.
Highlight Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego o n bokach wynosi 180°.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Geometria płaska trójkąty wzory stanowią podstawę wielu zagadnień matematycznych. Trójkąt to figura geometryczna o trzech bokach, której suma kątów wewnętrznych zawsze wynosi 180°. Klasyfikacja trójkątów opiera się na dwóch głównych kryteriach rodzaju kątów oraz długości boków.
Definicja Trójkąt to wielokąt o trzech bokach i trzech kątach, którego suma kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Ze względu na kąty wyróżniamy trójkąty ostrokątne (wszystkie kąty ostre), prostokątne (jeden kąt prosty) i rozwartokątne (jeden kąt rozwarty). Natomiast pod względem długości boków dzielimy je na różnoboczne (wszystkie boki różnej długości), równoramienne (dwa boki równe) i równoboczne (wszystkie boki równe).
Przykład W trójkącie równoramiennym
Szczególnie ważna jest nierówność trójkąta, która mówi, że suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku. Ta własność jest kluczowa przy konstruowaniu trójkątów i rozwiązywaniu zadań z geometrii płaskiej 2 liceum.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Każdy trójkąt posiada trzy wysokości - odcinki poprowadzone z wierzchołka prostopadle do prostej zawierającej przeciwległy bok. Wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.
Definicja Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z prostą zawierającą przeciwległy bok, poprowadzony prostopadle do tej prostej.
Środkowe trójkąta to odcinki łączące wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. W każdym trójkącie występują trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie - środku ciężkości. Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku 21 (licząc od wierzchołka).
Highlight Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 21, przy czym dłuższy odcinek znajduje się od strony wierzchołka.
W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie przeciwprostokątnej. Ta własność jest często wykorzystywana w zadaniach z geometrii płaskiej - pojęcia wstępne trójkąty.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Geometria płaska - trójkąty Sprawdzian często zawiera zadania oparte na twierdzeniu Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów długości przyprostokątnych .
Definicja Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa mówi, że jeśli w trójkącie zachodzi zależność a² + b² = c², to jest on prostokątny. To pozwala sprawdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny, znając tylko długości jego boków.
Dla trójkątów o bokach a, b, c (gdzie a < b < c) możemy określić rodzaj trójkąta
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
W geometrii płaskiej sprawdzian Pazdro często pojawiają się zadania dotyczące symetrii w trójkątach. Trójkąt równoramienny posiada oś symetrii przechodzącą przez wierzchołek i środek podstawy, natomiast trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.
Vocabulary
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie
Te własności są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych i dowodowych z zakresu geometrii płaskiej.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Geometria płaska trójkąty wzory stanowią podstawę wielu zagadnień matematycznych. W trójkątach równoramiennych szczególną rolę odgrywają własności związane z dwusiecznymi kątów i środkowymi. Dwusieczna kąta w trójkącie to prosta dzieląca kąt na dwie równe części, co ma fundamentalne znaczenie przy rozwiązywaniu zadań geometrycznych.
Definicja Trójkąt równoramienny to figura geometryczna, w której dwa boki mają równą długość. Charakteryzuje się również tym, że kąty przy podstawie są równe.
Przy rozwiązywaniu zadań z zakresu geometrii płaskiej 2 liceum kluczowe jest zrozumienie własności środkowych trójkąta. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W każdym trójkącie punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 21, licząc od wierzchołka.
Przykład W trójkącie ABC o obwodzie 200 cm, gdzie |AB| = |BC|, środkowe AD i CE tworzą charakterystyczny układ. Jeśli obwód trójkąta ACE jest o 20 cm większy od obwodu trójkąta ABD, możemy wykorzystać własności środkowych do obliczenia długości boków.
W kontekście geometrii płaskiej - pojęcia wstępne trójkąty istotne jest również zrozumienie zależności między bokami trójkąta. Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być zawsze większa od długości trzeciego boku, co stanowi podstawowy warunek istnienia trójkąta.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Kąty wierzchołkowe i przyległe to fundamentalne pojęcia w geometrii płaskiej. Kąty wierzchołkowe powstają, gdy dwie proste przecinają się, tworząc cztery kąty. Kąty wierzchołkowe mają zawsze równe miary, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu wielu zadań geometrycznych.
Highlight Kąty przyległe to dwa kąty mające wspólne ramię i tworzące kąt półpełny (180°). Suma miar kątów przyległych zawsze wynosi 180°.
W zagadnieniach dotyczących kątów naprzemianległych szczególnie istotne jest zrozumienie ich własności przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Kąty naprzemianległe są zawsze równe, co stanowi podstawę wielu dowodów geometrycznych.
Przykład Rozważając układ dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, możemy zidentyfikować osiem kątów, wśród których występują pary kątów naprzemianległych, odpowiadających i przyległych.
Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii płaskiej sprawdzian Pazdro kluczowe jest umiejętne wykorzystanie zależności między różnymi rodzajami kątów. Znajomość tych relacji pozwala na efektywne rozwiązywanie złożonych problemów geometrycznych i przeprowadzanie dowodów matematycznych.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
309
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Zrozumienie cech przystawania trójkątów, w tym twierdzenia Pitagorasa oraz symetrii w geometrii. Notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady oraz zasady dotyczące kątów i boków trójkątów. Idealna do powtórki przed egzaminem z geometrii.
Zbiór kluczowych twierdzeń i wzorów dotyczących geometrii płaskiej, w tym czworokątów, trójkątów, okręgów oraz obliczania pól. Idealne materiały do nauki dla maturzystów. Obejmuje m.in. twierdzenia o okręgach wpisanych i opisanych, wzory na pole trójkątów oraz zasady dotyczące kątów.
Zrozumienie przekształcania wzorów matematycznych i fizycznych. Przykłady wyodrębniania zmiennych, takich jak prędkość, czas i objętość. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki i fizyki.
Zrozumienie obliczania pól czworokątów, w tym równoległoboków i rombów. Przykłady z obliczeniami oraz odpowiedzi na zadania dotyczące pól figur geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
Kompleksowe tablice matematyczne z kluczowymi wzorami i definicjami, które są niezbędne do zdania matury. Zawierają m.in. średnią, medianę, wzory na pole i objętość figur, zasady podzielności oraz właściwości trójkątów i czworokątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.
Zrozumienie kątów naprzemianległych i odpowiadających w kontekście przecięcia prostych. Analiza sumy miar kątów w trójkącie oraz obliczenia kątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS