Kombinatoryka

Alternatywny zapis:

gałęzie przedstawiają wszystkie utworzone liczby. 7 17 27 37 47 8 9 18 19 28 29 38 39 48 49 ? ? 3.4. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których cyfra setek jest równa 1, 2 lub 3; cyfra dziesiątek jest liczbą podzielną przez 5, a cyfra jedności jest większa od 6? Narysuj drzewo, w którym gałęzie przedstawiają wszystkie utworzone liczby. 107 ? ? 3.5. Dane są zbiory: X = {1, 2, 3), Y = {4, 5), Z = (6, 7, 8, 9, 0). Ile jest liczb trzy- cyfrowych, których cyfra setek należy do zbioru X, cyfra dziesiątek - do zbioru Y, a cyfra jedności - do zbioru Z i które są: a) parzyste W każdym przypadku XY ३ b) nieparzyste narysuj trzyetapowe drzewo x = {1,2,3} Y = {4,5} -3-3-2 = 18 161 = 183 c) {1} 1.2.5=10 3.6. Dane są trzy zbiory: A = {0, 1, 2, 3), B=(3, 4, 5, 6, 7), C = (5, 6, 7, 8, 9). lle jest liczb trzycyfrowych, których cyfra setek należy do zbioru A, cyfra dziesiątek -do zbioru B, a cyfra jedności - do zbioru Z i które są: a) podzielne przez 5 c) nie mniejsze niż 279? b) mniejsze od 300 B={3, 4, 5, 6, 73 A = {0,1,2,33 436965 2 PO 18 75 846 ST 85 335718 c) większe od 299? przedstawiające te liczby. 2= {6,7,8,9,0} a); 8.8=72 (= [5,6,7,8,5) 3; 3.5.1=15 6) 1.5.544726 255 2.5.5=50 c ??? 3.7. Z cyfr ze zbioru A = {1, 2, 3, 4, 5) tworzymy wszystkie możliwe liczby dwu- cyfrowe, przy czym cyfry w liczbie mogą się powtarzać. Zapisz w tabeli wszystkie utworzone liczby. Ile spośród utworzonych liczb ma cyfrę dziesiątek mniejszą od cy- fry jedności? A={1,2,3,4,53 1 2 3 |u|s 42 114 14 13 2 24 22 63 91 3 34 32 33 DO 4 41 42 43 44 45 5452 53 54 55 3.8. Z cyfr ze zbioru B= (6, 7, 8, 9) tworzymy wszystkie możliwe liczby dwucyfro we, w których cyfry nie mogą się powtarzać. Zapisz w tabeli wszystkie utworzone liczby. Ile jest wśród nich liczb podzielnych przez 473 4-4-4=12 322 5.5=25 3.9. Z cyfr ze zbioru X = {0, 1, 2, 3) tworzymy wszystkie liczby trzycyfrowe, przy czym cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać. Narysuj drzewo, w którym gałęzie przed stawiają utworzone liczby trzycyfrowe. Ile wśród nich jest liczb podzielnych przez 37 3.3.2=8 x= [0,1,2,3) 3.10. Ze zbioru A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) wybieramy kolejno dwie różne cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Ile jest możliwości utworzenia: a) takiej liczby dwucyfrowej A[41.356,7,8,9) 46 [0,1,2,...,1003 101 15.101= 1515 3.2.2 42 102 201 420 240 123 243 324 HD 432 234 342 b) liczby podzielnej przez 2? i 4-8=32 3.11. lle jest punktów o współrzędnych całkowitych (x, y), takich, że x (4, 20), y = (0,100)? XE(4,20) yo (0, 100) x= [5,4,..., 1993 AS 3.12. lle jest punktów, których współrzędne (x, y) są różnymi liczbami całkowi- tymi, jeśli: a) x, y € (6, 25) a) x, y e{7,8,... 243 48 18 17 48.17 306 A D c) ap br ii 2-3=6 50-8-82 (13, 13) 609-14=595 3.13. Dane są zbiory: X = {1, 2, 3), Y = {4, 5), z = {0, 1, 2, 3, 4, 5). Ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest elementem zbioru X i jednocześnie liczba b jest elementem zbioru Z lub liczba a jest elementem zbioru Y i jednocześ nie liczba b jest elementem zbioru X? X={1,2,1) 2 = {0, 1, 2, 3, 4, sy (a, b) . 16 a+b 14 d ·16 c. 3-226 6+6+4=16 36 3-6=48 +846=24 3.14. Dane są zbiory: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), B = (6, 7, 8). Na ile sposobów moż- na wybrać parę liczb (a, b), gdzie a € Aibe B tak, aby suma a + b była liczbą: a) nieparzystą c) większą od 9? b) parzystą 17 16.17=33 b) x = (0, 10), y = (1, 10) c) x e (3, 23), y = (9,39) 6)xe {9₁.93 10 y=5453 Torebki Pantofelki ដែ io g 40-9:30 ait 23 2.36 4-4-4 5 6 P 3 21-3=12 3.15. Dane są zbiory: A = {0, 1, 2, 3, 4), B = (5, 6, 7, 8, 9). Na ile sposobów można wybrać parę liczb (a, b), gdzie a e Aibe B tak, aby iloczyn a b był liczbą: a) podzielną przez 7 b) parzystą 0(5, 4, 7, 8, 9) c) podzielną przez 3? 0.6 A. $0,1,2,2,43 podzicko prest i but 6424 hobeag apbp 2.224 14 12 42.48 = 216 yo. (2, 3,003 S 6+4=10 16.12 = 168 168 +232 = 440 73 B (2.2) (5.5) (88) (3, 3) (4,4) (9,5) (4,4) (24) 3 2 3.2=6 3.16. W klasie III A jest 14 dziewcząt i 16 chłopców, a w klasie III B-17 dziew cząt i 12 chłopców. Na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację tych dwóch klas składającą się z chłopca i dziewczyny tak, aby każda klasa miała swego przedstawiciela w tej delegacji? A +424 17 d 122 () ** (3323) ge [10, 4,383 21 4-238 2.319 ant i a) jedno należy do kuchni polskiej, a drugie nie należy do kuchni polskiej b) co najmniej jedno należy do kuchni polskiej? 12 P 10 W 8C 24 25 21.25=603 3.17. Restauracja Międzynarodowa" serwuje 12 dań kuchni polskiej, 10 dań kuch- ni węgierskiej i 8 dań kuchni czeskiej. Na ile sposobów można w tej restauracji wybrać dwa różne dania, z których: 9:3 42 AB 12 18 42 44 12.48 + 12.11 = 216 • 66 = 282 3.18. Pewna dama ma 14 różnych torebek, oraz 16 różnych par pantofelków w różnych kolorach - według tabeli umieszczonej poniżej. Kolor czarny Kolor brązowy Kolor czerwony Kolor beżowy 2 3 2 5 2-224 له ادیان و 3 Na ile sposobów owa dama może skompletować parę torebka - pantofelki: a) w jednym kolorze b) w dwóch różnych kolorach - w brązie i w beżu? a) I P 7.3. 4:6 +2.3 = 21-24 +6=5₁ 7-543.647.3= Dziewczynki Chłopcy lle jest możliwości wyboru pary - dziewczynka, chłopiec, w której: a) obie osoby mają czapkę w takim samym kolorze b) co najmniej jedna osoba ma czerwoną czapkę? a) 2.3=21 S·6+4.3 +2-2 +3.5 = 30 +12 +4 +16+61 4:53.35 9 +20 221 3.19. Grupa pięciolatków z przedszkola z okazji Dnia Matki zaprosiła swoje mamy na przedstawienie, w których wystąpią jako skrzaty, mające czapki w trzech kolo- rach: czerwonym, niebieskim i zielonym. Liczbę osób mających czapkę w danym kolorze przedstawia tabela poniżej. Czapka czerwona 7 3 Czapka niebieska Czapka zielona 4 2 3 32 (10,0) (14,99) 63 +8+21 = 102 3.20. Dany jest zbiór X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczby a, b należą do zbioru X oraz: a) liczba a jest mniejsza od 3 lub liczba b jest większa od 7; b) liczba a jest większa od b lub liczba b jest większa od liczby a; c) liczba a jest nie mniejsza niż 4 i jednocześnie liczba b jest podzielna przez 3 lub przez 5; d) liczba a jest liczbą pierwszą lub liczba b jest nie większa niż 6? a 2.10 10.32.3= 2; (0₁6) (4.7). (3,6) (93) (1₁8) (0,8) (3,0 (4,4) (₁,7) 4 in 10 10 10 = 90 3.21. lle jest liczb dwucyfrowych, w których zapisie występuje: a) cyfra 1 i cyfra 7 b) cyfra 1 lub cyfra 7? 2. 6) 17, 27, 37, 42, 1; 0+9-1248 18 418-234 403 3.22. lle jest liczb dwucyfrowych, w których cyfra 8 występuje: a) tylko jeden raz b) co najwyżej jeden raz? a) it i 90-1-89 8+8=176 3.23. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których: a) co najmniej jedna cyfra jest parzysta b) o najmniej jedna cyfra jest nieparzysta? 319 81 +81+ 729=851 3.26. Ile jest liczb trzycyfrowych, a) co najwyżej raz ܪܐ 4.5=45 610 3.28. lle liczb dwucyfrowych: a) parzystych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 6-4 =24 6) 16 24 36 44 36 64 in 3.24. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których cyfra 3 występuje tylko raz? 3 799 81 724 72225 3.25. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfra 0 występuje: a) co najwyżej raz 0,1,2,3,4,5,6,7,8,5 b) co najmniej raz? 6.3=18 9 916=15 45+30 15.60 12 20 A4 35 5.6 72 28 16:24-36 24 42 63 28 45 FO 14 22 13 60-1=59 20130-6= 44 a Santa. 81+ 2+2 +648 = 873 900 648-252. 3.27. lle liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 można utworzyć z cyfr: a) 1, 2, 4, 5, 7, 8 b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 6) 42 21 30 42 54 60 51 72 81 54 75 64 63 28 27 48 57 +81 8 17 2·6+2= 12 +2=14 11 c) większych od 40 lub podzielnych przez 8 d) podzielnych przez 2 lub 5 i niepodzielnych przez 6? 0,4, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 42, 45, 48, 24,... to knewa 90:3 = 30 a) " g 8. 7, 97, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79. 3.29. lle liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 można utworzyć z cyfr {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)? 12 24 30 42 54 60 72 36 66 3.30. Ile jest liczb dwucyfrowych: a) podzielnych przez 2 lub przez 3 b) podzielnych przez 4 lub 7 #+2=9 9+81 +81=171 w których zapisie cyfra 1 występuje: b) co najmniej raz? 2.6=12 $$$ b) podzielnych przez 4 22 +13-332 4.3,5, 3,3 S8+ 117 = 63 28 56 84 3 4 70 i 6 4-10 +10-6-4-6= 40 +60-24 76 30-25=65 30-20-70 2; 4. 75 79=35 10 6. 58965 ***** 33 8:5=45 9.2018 9 2 :2 16:5; X 6 Sib 1.9 45 +18 9 = 54 RS 15 54-15=38 Wariacje Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami n-elementowego zbioru A, gdzie k = N+, n = N+, nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg elementów zbioru A, które mogą się powtarzać. Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa nk. Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń n-elementowego zbioru A, gdzie k € N+, n = N+ ik <n, nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów zbioru A. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie k e N+, ne N+ ik <n, jest równa n. (n-1) (n 2) · ... · (n − k + 1). K = n → permutacja K≤n Vaň V's K / n! (n-k)! 5! = h = 21.3.4.5 2! -60 V₁= 5³=125 5 3.31. lle jest liczb trzycyfrowych utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? g³ = 729 3.32. lle pięcioliterowych kodów można utworzyć z liter A, B, C? n² = 3³ = 243 3.33. Oblicz, ile jest czterocyfrowych: a) liczb 9 10 10 10 = 3000 w których cyfry mogą się powtarzać. b) kodów PIN,10 10 10 10 3.34. Na ile sposobów sekretarka może wrzucić do trzech różnych szuflad 4 listy zaadresowane do różnych osób? 3 = 81 10" = 10000 3.35. Oblicz, ile jest liczb siedmiocyfrowych, utworzonych tylko z cyfr będących liczbami pierwszymi. 4²=16384 {2,3,5,7) 3.36. Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, utworzonych: a) tylko z cyfr nieparzystych [1, 3, 5, 2,4} tylko z cyfr parzystych. (0, 2, 4, 6, 83 5 4.5! 3.37. Na górę do zamku prowadzą 4 różne szlaki. Na ile sposobów turysta może wejść na górę i wrócić z powrotem, jeśli zamierza zejść z góry innym szlakiem, niż na nią wejść? 4 3 4.2=12 the 3.38. Przedsiębiorca chce produkować chorągiewki składające się z trzech pozio- mych pasów równej szerokości, każdy w innym kolorze. Ile rodzajów takich chorą- giewek może produkować, jeśli ma do dyspozycji 8 kolorów? 8.76336 3.41. Ile jest czterocyfrowych: a) liczb 3-5-8-7=4536 w których cyfry nie mogą się powtarzać? 76 3.39, Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, zbudowanych z cyfr r {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), jeśli cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać. i 9.8.7504 3.40. Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, w których cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać, jeśli są one zbudowane tylko z cyfr a) będących liczbami nieparzystymi b) będących liczbami parzystymi. 5.4.3=60 (1,3,5,7,9) 4-4-3=48 (0,2,5,6,8) b) kodów PIN, sii 10-8-8-7-5040 żących do zbioru 3.42. Pewna firma chce produkować ulotki, których każda ze stron ma mieć dwu- kolorowe tło: górna połowa danej strony ma mieć inny kolor, niż dolna połowa. Ile jest wzorów takich ulotek, jeśli firma ma do dyspozycji 7 kolorów? 8: (7-6)² = 42 = 1764 3.43. Na ile sposobów można wrzucić 5 kul ponumerowanych do 6 różnych szu- al flad, jeżeli: 3376 " S a) kule wrzucamy dowolnie b) każda kula ma trafić do innej szuflady? 6 5 4 3 2 3.44. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się urodziła. Ile jest możliwych wyników takiego przyporządkowania, jeżeli: a) każda z tych osób mogła urodzić się w dowolnym dniu tygodnia 75=16807 b) każda z tych osób urodziła się w innym dniu tygodnia?!! is 53 76-5-4-302 520 6-5-4-3-2-720 3.45. Każdemu spośród czterech uczniów przyporządkowujemy ocenę roczną z matematyki. Ile jest możliwych wyników tego przyporządkowania, jeżeli: 6-5-4-3=360 a) każdy z uczniów będzie miał inną ocenę sis b) każdy z uczniów może uzyskać dowolną ocenę? =1256 3.46. Na peronie czekają na pociąg cztery osoby. Podjeżdża skład złożony z sied- 7-6-5-4-840 miu wagonów. Na ile sposobów czekające osoby mogą wsiąść do pociągu, jeśli: a) każda z nich ma wsiąść do innego wagonu b) każda z nich wybiera wagon dowolnie? 1) 74=2401 3.47. Ile sześcioliterowych napisów można utworzyć, posługując się literami nale- żącymi do zbioru (A, B, C, D, E, F, G, H, I}, jeśli: a) litery mogą się powtarzać 96 531441 b) litery nie mogą się powtarzać? 3.8-7-6-5-460480 187654 3.48. Na parterze wieżowca mającego 8 pięter do windy wsiada 5 osób. Na ile sposobów te osoby mogą wysiąść na piętrach, jeśli: a) każda z tych osób wybiera piętro dowolnie, 85 = 32768 b) każda z tych osób wysiada na czwartym, piątym lub szóstym piętrze, 35=243 c) żadne dwie osoby nie wysiadają na tym samym piętrze, 6720 d) co najmniej jedna osoba wysiada na siódmym piętrze. 85-71=32768-168076 45361 Pomijamy kolejność wysiadania z windy na poszczególnych piętrach. 3.49. Numer karty płatniczej MasterCard składa się z 16 cyfr. Pierwszą cyfrą jest 5, drugą - jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5. Zakładamy, że pozostałe cyfry mogą być dowolne. lle jest numerów kart płatniczych MasterCard? 1 5 1.5-1014 3.50. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie: a) nieparzystych b) parzystych? {0,2,4,6,8} (1,3,5,7,9) 8.8-5=320 9-9-8648 648-320 328 3.51. Ile jest numerów telefonów stacjonarnych, składających się z 7 cyfr takich, że: a) pierwszą cyfrą jest 6, a pozostałe cyfry są różne od 6 i różne między sobą,745-60480 6. b) trzy początkowe cyfry są większe od 5, a pozostałe - mniejsze od 6,932944 c) dwie początkowe cyfry są liczbami nieparzystymi, a pozostałe cyfry są różnymi liczbami parzystymi, 000 d) pierwsza i ostatnia cyfra to jednakowe liczby pierwsze, a cyfra 7 występuje tylko {2,3,5,74 jeden raz? 5 355 3.5-8²-1=98415 3.52. Ile jest telefonicznych numerów komórkowych, składających się z dziewięciu cyfr takich, że: a) pierwszą cyfrą jest 5 lub 6, trzecią cyfrą jest 0, a pozostałe cyfry nie są ani piątką, ani szóstką, ani zerem 274 11 333 2.4-7²: 4642086 b) każda cyfra jest inna i na pierwszym miejscu nie występuje 0 i 320 c) każda kolejna cyfra tego numeru jest liczbą o 1 mniejszą od poprzedniej 2, d) pierwsza, trzecia, piąta, siódma i dziewiąta cyfra jest taka sama i jest liczbą nieparzystą, zaś pozostałe cyfry są różnymi liczbami parzystymi? 554 43 44 600 3.53. lle liczb czterocyfrowych nieparzystych, w których wszystkie cyfry są różne, można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? 6544=480 3.54. lle liczb pięciocyfrowych parzystych, w których wszystkie cyfry są różne, można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? iiisi =6720 3.55. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr należących do zbioru (4, 5, 6, 7, 8, 9) i jednocześnie większych od 666? 354 =60 14 : 3.56. lle jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr należących do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) i jednocześnie mniejszych od 444? 556 30 90+15=105 3.57. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr należących do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i jednocześnie mniejszych od 780? 26 476336=778 3.58. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez: a) 25 sim s 4? 32 142+32+4 = 160 +8=22 3.59. Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie: f) a) podzielnych przez 25 i 2 b) większych od 5238? 98456-454 3.60. Ile jest liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie: a) podzielnych przez 4 b) większych od 60 000? 0 1 = 1344 i 2 7 7 6 O 1 = 672 16 = 4704 42 32 56 x 48 8 522 12 16 56 .1344 +672 +1704-6420. 587654324 376363290 4 9 8 7 6 12+60=72 $93233444233 = 12096 4435+336+ 2046 = 23 38 d) Permutacje Permutacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru A, gdzie n ≤ N+, nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru A. 3.61. Oblicz: a) 4!-21-31-24-2-6=42 Liczba permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie n e N+, jest równa n(n-1) (n - 2). . ... 1 n! =n(n-1). (n 2) .... 2 1, jeśli ne N, n> 1 Przyjmujemy dodatkowo, że: 0! = 1 1! = 1 12! 101-41 $5 e) 10.10.2 3.62. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci wiedząc, że n € N. a) (n-2)(n-1)n, n> 1 b) (2n + 1)(2n)! (n+3)! c) (n+2)! d) (2n+2)! e) (n+4)!(3n)! 3n(n+3)! (2n)! ª)(n-2)! (~_^)]µ² = (~^-2 (0-2)}~-24+ (-s)} = n! ") (2+2)! (20²)(2+1)(2+)² = (20+4√(242) 6) (2+1)(2)-(2-1) (2n) (2n-1)-_-2-10 (24) c) (+4)! (3₂)(2+4). (+3) S (Baſ 7h (3)! In (a es)! c) (n + 1)² = (1+3)(1+2) -_-2-4 (24) (4-2)-2-443 AC B BAC A b) 5!-2! 41-420-2-24-72 C) A B 91-71 02-8-3-5-7 72.266) (61)³ 3.63. Na ile sposobów można ustawić osoby A, B, C w szeregu?. Wypisz wszystkie możliwe permutacje tych osób. 3! = 1·2·3=6 BCA CAB CBA 3.64. Na ile sposobów Marek może wysłać pięć różnych widokówek z wakacji do pięciu swoich kolegów? 5! = 120 A 3.65. Mamy siedem dziewcząt i siedmiu chłopców. Na ile sposobów można utworzyć: 7d a) siedem par dziewczyna - chłopiec do wspólnego tańca, 7! b) jedną parę taneczną dziewczyna - chłopiec? 2.7=49 10! 81-31 (9!)³ 3.2.3.163 10!-(81)²7-10-8-8 3.66. W biegu finałowym uczestniczy ośmiu sprinterów. Na ile sposobów mogą oni zająć kolejne miejsca, jeśli wszyscy ukończą bieg? 8! A f) 3.67. Na ile sposobów można ustawić w szereg grupę złożoną z pięciu dziewcząt 5d Sc i pięciu chłopców tak, aby: a) od lewej stały najpierw wszystkie dziewczęta ****** 5!.5! b) dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie? 62.51-5! 31 B 3! 3! 31 A 31 (n-1)!n (n+2)! 3.68. Siedmiu chłopców i pięć dziewcząt mają 12 biletów do kina: 5 biletów na miejsca w IX rzędzie i 7 biletów na miejsca w X rzędzie. Na ile sposobów mogą 7e 54 12 lik for a) 12! zająć te miejsca: 6) S!. 7! 5 x 7x c) $9505 51.7! SPSD SOS a) dowolnie b) tak, aby wszystkie dziewczęta siedziały w IX rzędzie c) w obu rzędach na zmianę: chłopak, dziewczyna, chłopak, dziewczyna, itd.? 6.3! n>0 3.69. W liceum uczą się po 4 klasy pierwsze, drugie, trzecie i czwarte. Na ile spo- sobów można położyć na biurku jeden na drugim dzienniki lekcyjne tych klas, jeśli: a) na samym spodzie mają leżeć wszystkie dzienniki klas pierwszych B b) na samej górze leżą dzienniki klas A, niżej dzienniki klas B, jeszcze niżej dzienniki klas.Ci najniżej dzienniki klas D? 411 4111 410 221.41 235541 4-4-4-4 (41) 3.70. Mamy 5 książek, w tym książki A i B. Ustawiamy je losowo na pustej półce, jedna obok drugiej. Na ile sposobów można ustawić je tak, aby: a) książki A i B nie stały obok siebie b) pomiędzy książkami A i B stały dwie inne książki? B A 0 = (x+4).(3m-4)! B 4.3! 2-3! 6-3! +4-3! +2-3! = 12-3! = = 72 45 A B A B 3! 2.2-3! = 4-31-24 3.71. Sześć osób, które oznaczymy literami A, B, C, D, E, F, ma zająć sześć sąsied- nich miejsc w jednym rzędzie w kinie. Na ile sposobów mogą one usiąść, tak aby: a) osoby D, E siedziały obok siebie w podanym porządku b) osoby A, B, C, D siedziały obok siebie w podanym porządku c) osoby A, B, C siedziały obok siebie w dowolnym porządku d) między osobami A i B siedziały dwie osoby? 5.4! 120 2-3-4! = 6-4! = 144 A B 6) 4 (D... - 49 Se. .. O CD AB 4 B (DA 3.72. Na ile sposobów można ustawić w szereg 8 osób tak, aby: a) osoby A, B, C zajmowały odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie miejsce w tym szeregu osoby A i B stały obok siebie oraz pomiędzy tą parą osób a osobą C stały dwie inne osoby ·c) A B.C... 31 31 ·, ! 3! A.B.C. 3! c) osoby A i B nie stały obok siebie d) osoba A stała pierwsza w szeregu, a w dalszej części szeregu osoba B stała bliżej A niż osoba C? C) AB ABC SSSSS A. BLSSSS B S SS S B 6 SC A. 2 65 321 2.6! = 1440 ACB BAC $!«vt)? º 8! -(2-7.6!)= =8!-(44-61) =40320-40080= = 30240 3:2!= 6 .AG ·1·1·6·51 = 720 1.1.S.S! = 600 1.1.4.5!=480 1-1.3.S! = 360 1·1·2·S! = 250 1·1·1·51 = 120 6·4·3! = 24.3! = 144 6) §. ·2·2·4·5² = 16⋅ 5! = = 1920 3.73. Ile jest liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i jednocześnie: a) mniejszych od 5 000 000 720 +60014801360( +240 +120 = 2520 b) większych od 6 500 000? 51 = 120 3.5 = 360 3.6!= 2160 ·2160+360+120= = 26 40 3.74. Ile jest liczb pięciocyfrowych, zbudowanych z różnych cyfr należących do zbioru {0, 1, 2, 3, 4) i jednocześnie: a) nieparzystych a) 3.75. Ile jest liczb siedmiocyfrowych, o niepowtarzających się cyfrach należących do zbioru (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) i jednocześnie: a) parzystych 354 3 3 c) 2-2-4-3-3=4-936 "). 5-543-2-1-3= 25-12-6=4800 6.5.4.3.2.1-10 3024720 1800 +720=2520 3.76. Ile jest liczb sześciocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru (0, 1, 2, 3, 4, 5) i jednocześnie: a) podzielnych przez 5 b) podzielnych przez 25? a) osoby A i B siedziały obok siebie b) osoby A i B usiadły naprzeciwko siebie b) podzielnych przez 4? 6 a) 8! 6) 4!.4! (): 4!-4:24-4= 94 41.5=24.5= 120 3-31=3·6=188 4:3! = 4-6=24 18424 = 42 120+96= 216 3.77. Przy okrągłym stole ustawiono 6 jednakowych krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy tym stole 6 osób, tak aby: 2000.0 b) podzielnych przez 5? 6) iii c) między osobami A i B siedziała tylko osoba C d) osoby A i B siedziały naprzeciwko siebie i jednocześnie osoby C i D siedziały naprzeciwko siebie? Uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeżeli w tych rozmiesz- czeniach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów. B 21:41=48 5.2! ·8!= 10.8! CA (CCM ....... 5432431 4327* 6) 2!·1!·3!= 12 5-4-3-2-1-3-1-360 5-4-3-2-1-1-1= 120 4-4-3-2-4-8768 432-1.1=24 2.66! = 17.6! Ộ 6 3.78. Przy okrągłym stole ustawiono 12 krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy tym stole 12 osób, tak aby: a) osoby A, B usiadły obok siebie b) osoby A, B usiadły naprzeciwko siebie c) między osobami A, B siedziały tylko dwie osoby d) osoby A, B siedziały naprzeciwko siebie i jednocześnie osoby C, D siedziały naprzeciwko siebie? Uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeśli w tych rozmieszcze- niach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów. 2.10! B ^ S 10 1-41=24 3.79. W przedziale wagonu kolejowego jest osiem ponumerowanych miejsc od 1 do 8 w dwóch jednakowych rzędach. Do przedziału wchodzą cztery dziewczyny: Ala, Julka, Kornelia i Maja oraz czterech chłopaków: Antek, Janek, Kacper i Michał. Na ile sposobów te osoby mogą zająć miejsca w przedziale: a) dowolnie b) tak, aby dziewczęta siedziały na miejscach o numerach parzystych c) tak, aby Julka i Antek siedzieli obok siebie 360 +420 +4681248 d) tak, aby naprzeciwko siebie siedziały osoby, których imiona zaczynają się tą samą literą? D 4 JKM 2.2.2.2.4! 2!.?!.?? = 8 1.10! = 10! 3.80. Stonoga - wbrew nazwie - ma tylko siedem par nóg. Na nogi ma włożyć siedem par kaloszy (każda para jest w innym kolorze). Na ile sposobów może to zro- bić, jeśli: a) nie rozróżnia kolorów ani butów lewych i prawych b) rozróżnia kolory (na każdą parę nóg włoży buty w tym samym kolorze), lecz nie rozróżnia butów lewych i prawych c) nie rozróżnia kolorów, lecz rozróżnia buty lewe i prawe d) rozróżnia kolory i rozróżnia buty lewe i prawe? a) 14! 6)71-2² •B 2!·10! = 210! ;;;; 27 c) 7! · 7! d) 7! Liczbę k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie k = N, ne Nik<n, oznaczamy (n) i czytamy „n po k”. CK (2) a) Kombinacje Kombinacją k-elementową bez powtórzeń n-elementowego zbioru A, gdzie k e N, neNik<n, nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A, przy czym elementy zbioru A nie mogą się powtarzać. d) 3.81. Oblicz: 10 (R) = a) = n+1 3 n! (n-k)! •k! 22. 40 7.8.9.10 2-370b) ** 428-45:43 b) = 15 12₁-11-2²=15 2n + n²_n n²+ n=30 n² + n-30=0 A=6²4² 16 10: 블랜드, 블러드 뿐.... e) 3.82. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci, wiedząc, że n e N: (n+2) 3 n+1 2 3.83. Wyznacz n wiedząc, że n ≤ N₂: a) n + = 15 14 6! = 31.31 4-4-470 6) (x+2)! (n-4)!-3! (Ma^)! (-2)!-21 (n+<)! (n-1)-3! n(n-1)/2-1 (n-21-2 Lond 锅 (n+2)! b) امو) n (n-1) f • (-)!2! (0+2)/₂). (2n-1)/2 2-(22) 2n! 1 (n-1)! *2-(2-2)! = 18 2²=18 (3-6) 2n 2n-2 = 48 odvucony (5- 3.84. Oblicz, ile jest trójelementowych podzbiorów zbioru sześcioelementowego. C² (6) = 18 35-40=25 3.8.720 3.85. Oblicz, na ile sposobów można wybrać czteroosobową delegację z grupy 7 osób. C² (²) 35 3.86. Z grupy 3 kobiet i 4 mężczyzn wybieramy trzy osoby. Ile jest takich sposobów wyboru, aby wśród wybranych osób: 3k 4M a) były same kobiety 1 b) byli sami mężczyźni C² (4 c) były dwie kobiety i jeden mężczyzna? CC (2)· (C:). ··· 240/12- 3.87. Na płaszczyźnie zaznaczono n (n> 2) punktów, z których dowolne trzy nie były współliniowe. Punkty te wyznaczyły 36 prostych. Oblicz n. N. 1⁹:20 a=1 <0 odraving ².72 -5-3210 A= 4+288285 +47 My Lowong 7:40.9 3.88. Na egzaminie było n tematów (n ≥ 2), z których student losował dwa. Oblicz n, wiedząc, że student miał 190 możliwości wylosowania zestawu tematów. (²₁-(2) = ²^ "22":150 m²-n= 380 n²n-380:0 A=4+ A5 to 2452 9 16:19 3.89. W turnieju szachowym każdy z zawodników rozegrał z każdym dwie partie. llu było zawodników, jeśli rozegrano w sumie 42 partie? ( ² = (^) = 4²2 2. (2) 2. = n²- n²n =42 n²-n-42 TO +4+1+43 7 Cong 3.90. W pudełku znajdują się cztery ponumerowane kule: 2 białe i 2 czarne. Na ile sposobów można wybrać 2 kule, wśród których co najwyżej jedna będzie czarna? a) Wypisz wszystkie możliwości. b) Dlaczego liczby sposobów w punkcie a) nie można obliczyć w następujący spo- sposoby i drugą kulę jakąkolwiek z po- sób: wybieramy jedną kule białą na zostałych kul na (3³) 2b 2c a) cabe cab₂, c₂bn, cats, habe 6) baby będzie wczona podurfure 5=13 3.91 Pewien niepusty zbiór ma 211, co najwyżej dwuelementowych podzbiorów. 1+² C² = 211 1th, 1²-12 0241 2 thn3-n=488 sposoby, czyli razem mamy 2-3 = 6 sposobów? lle elementów ma ten zbiór? 26167 posty, podstio vów jednoclem in paych 3.92. W klasie jest 15 dziewcząt i 16 chłopców. Spośród uczniów tej klasy trzeba wybrać czteroosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić, tak aby w de. legacji znalazły się: (1) a) tylko dwie dziewczynki b) co najmniej dwie dziewczynki c) co najwyżej dwie dziewczynki? 12600 +728011365=24245 C C 45-4-5-8-1400 84001 4820412600: 22820 rodzina 5 b) na każdym wybranym zdjęciu bylo co n 3.93. W grupie 20 osób jest 12 kobiet. Ile jest sposobów wybrania pięcioosobowej delegacji z tej grupy, tak aby: ****** 42 k &M a) znalazły się tam co najwyżej dwie kobiety CC-66-78-3636 C₂ VEST b) znalazła się tam co najmniej jedna kobieta (C252-840756 c) znalazły się tam co najmniej dwie i nie więcej niż cztery kobiety? 20! 6) (₂0-30-5 15/17--1336146-48-3.49 245 504 C8=56 15 504-56 = 15448 4) C²C=3686 C₁₂ Couky0-22-24-6160 CC-9-5-4-8-3960 3.94. W klasie jest 8 chłopców i 9 dziewcząt. Wybieramy cztery osoby. le jest możliwych sposobów wyboru tych czterech osób, tak by wśród nich: a) byli sami chłopcy c) kule byly tego samego koloru JC24 Ada 1 Maja c) na co najmniej dwóch zdjęciach d) rodzice byl co najwyżej na dwóch zdjęciach b) połowę stanowiły dziewczęta c) były trzy dziewczynki i jeden chłopiec d) był co najmniej jeden chłopiec? Bc 92 a) (². 5-72-30 4C²-C · · ਪੰਨਾ ਜੱਣ ਦਾ ਮਾਣ - C, ਅੱਜ - ਗੈਸ ਕਾਰਨ ਉਸਨੇ 3.95. Rodzina skladająca się z rodziców i trojga drieci: Ady, Mai I Filipa mala w pr deku zdjęcia ze wspólnych wakacji. W tabeli przedstawione s rych znajduje się tylko wymienione osoby. ne sa liczby adjeć, na kt 2·4:3 = 24 Rodzice o najmniej dwoje dzieci 13.7-451263 4C, 5:15-21-4-25-1300 Oblicz, na ile sposobów można wybrać trzy zdjęcia do oprawy w ramki tak, aby 9 cm a) na jednym adjecia być tylko rodzice, na drugim bylo tylko troje deca C²₁₂₁³-46-47-3=846 cim-cala rodzina w komplecie A=4+ 1680 168 4:20 3.96. W pudeu ma Na le Be sposobów znajdują się ponumerowane kule: 7 białych, 2 czarne i 1 zie motna wybrać dwie kule tak, aby a) kule byly nanych kolorów b) obie kule byty biate 76 26 42 () przynajmniej jedna z nich byta ba GC44 20140742 CL.C: 3-402 cos.no: 000 3-5-4-7-20 3696+3960 +6160=13816 9) C²-24-21 1+21=22 15--0·2-2580-4262254 3696-840+56=4592 4377-816=2193 C₁-C²-5-4-5-25-435-40=2925-0042545 44+3+3=23 3.97. W szufladzie znajdują się rozróżnialne cienkopisy: 5 zielonych, 4 czarne i 6 niebieskich. Na ile sposobów można wybrać trzy cienkopisy tak, aby: a) każdy z nich był innego koloru b) wszystkie były tego samego koloru c) tylko dwa z nich były tego samego koloru? ... 5 z uc би c) C² C² = 5.4.6=120 546 6) C² == 10 C, ਐੱਸ ਦਿੱਤਾ C20 20+404434 3.98. Na biurku leżą ponumerowane kartki w różnych kolorach: 3 kartki czerwone z numerami od 1 do 3, 5 kartek żółtych z numerami od 1 do 5, 6 kartek niebieskich z numerami od 1 do 6 i 7 kartek białych z numerami od 1 do 7. Na ile sposobów można wybrać cztery kartki tak, aby: a) wszystkie były tego samego koloru b) co najwyżej jedna kartka była biała c) miały różne numery od 1 do 4 d) co najmniej dwie miały parzysty numer? 3c Si 6 n 76 a) C² ====S C₁=² C35 Whathin 1 4 bath & WK 2 "hathi 2 m. 3 3 hath b 35+15+5=55 C₁=46₁=3 4.4.4.3=492 C²₁₂₁₁1-1= 6·₁1=66 400+66 +135=301 C²₁-C²₁ ··· 3= 15-9= 135. b) C² C²₁₂: 7:44-4 18518 C²₁₁ = -44-43-7= 1001 {+ m² 443 423 porte bath! 248142 240-402.400 CC a) trzy kiery b) co najwyżej trzy kiery c) dwa kiery, jeden pik i jeden trefl? = 1001 +2548-2549 14-3=126 3.99 Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród tych czterech kart mają być: a) dwie damy i dwa asy b) trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król c) trzy figury (figury to: as, dama, król i walet) i jedna karta nie będąca figurą? Kombinacje bez powtórzeń Chi 72! k!-(n-k)! 36-66-2376 ·12 = 7.42.12 = 1008 3.100. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród nich mają być: Czy ważna jest kolejność występowania elementów? NIE TAK 2376+40084426= 3540 TAK Czy elementy mogą się powtarzać? Wariacje z powtórzeniami Czy wszystkie elementy Wk=nk są wykorzystane? TAK NIE Permutacje bez powtórzeń Pn=n! NIE Wariacje bez powtórzeń v = n! (n-k)! Test sprawdzający 1. lle istnieje podzbiorów zbioru czteroelementowego? 4) Podzbiory trójelementowe, których jest 4 5) Jeden podzbiór czteroelementowy. A. 10 B. 12 C. 14 D.16 (2)=4 (2) 1+4 +6 + 4+1 = 16 2. Pewna firma cateringowa ma w ofercie danego dnia trzy różne zupy, dwa drugie dania i dwa desery. Na ile sposobów można wybrać jeden zestaw obiadowy, skła- dający się z zupy, drugiego dania i deseru? 32 2dd2d Ana 12 sposobów 3 22 3·2·2=12 C. na 8 sposobów 3. Ile jest możliwych rozmieszczeń trzech różnych długopisów w dwóch szufladach? A. 9 C. 6 D. 5 2 2 2 B8 2·2·2=8 4. Ile jest liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach? A. 10.9.8 B. 9.8.7 9.9.84 5. Ile jest liczb naturalnych większych od 150 i jednocześnie mniejszych od 900. których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1? 65, 65, 93/42/1,3,4,25, 25, 33, 37, 44, 45, 45/(53,57, 61, A. 186 187 77, 57) D. 189 2315628 C. 188 M 1-12=12 6. Ile jest liczb trzycyfrowych, w zapisie których występuje jedna cyfra 1 i jedna cyfra 0? 4-4-4-8=32 A. 8 A. 6 2 (3) B. 16 <15 <45 1.0 7. Na przyjęciu spotkało się 6 osób, przy czym każda osoba przywitała się z każdą inną osobą. Liczba wszystkich powitań była równa: A. 9 445 ام Test do rozdziału 3. n² n <30 B. 12 C² = ( 5 ) = 2 ² 4².5.0 = 1 =15 8. Na ile sposobów można 4 dziewczynki i 4 chłopców połączyć w pary dziewczyn- ka - chłopiec, jeśli pominiemy kolejność par i kolejność osób w parze? A. na 4 sposoby B. na 8 sposobów C. na 16 sposobów D. na 24 sposoby B. 10. Ile jest liczb naturalnych, które spełniają nierówność ⒸA B. 5 B. na 10 sposobów D. na 7 sposobów 9. Ile jest możliwości ustawienia 8 osób w dwóch rzędach po 4 osoby w jednym rzędzie? A.8! 8 4 1) Zbiór pusty, który jest podzbiorem każdego zbioru: 4 2) Podzbiory jednoelementowe, których jest 4 3) Podzbiory dwuelementowe, których łączna liczba jest równa n²-n-3020 -4! M-5 no (-5,6) 2= 1 +420=121 Vanda C. 24 D. 8-8-7 126{2,3,4,53 2 8 C. - 00 1 4 +25 7.25=175 126115=187 D. 32 D. 18 .... 4-3-2-1=24 D. 24.4!. 4! (n-₁) <15? D. 3 11. Ze zbioru (1, 2, 3, 4, 5) wybieramy dwie cyfry ze zwracaniem i tworzymy liczbę dwucyfrową. Zapisz w tabeli wszystkie liczby, jakie możemy w ten sposób otrzymać. lle jest wśród nich liczb podzielnych przez 3? 5.5=25 +1/+/3/4/5 AFRIM BI KOOL STEVE 31.05.2F155 12. Ze zbioru cyfr {0, 1, 2, 3) wybieramy kolejno trzy cyfry bez zwracania i two- rzymy liczbę trzycyfrową. Posługując się drzewem wypisz wszystkie liczby, jakie możemy w ten sposób otrzymać. Ile jest wśród nich liczb parzystych? 13. W klasach trzecich szkoły podstawowej zorganizowano koło taneczne, na które uczęszczają dzieci według tabeli zamieszczonej poniżej. Klasa Illa 5 Dziewczęta Chłopcy 10 Na ile sposobów można utworzyć parę dziewczynka - chłopięc, jeśli dzieci w tej a) parze: b) a) mają chodzić do tej samej klasy so smoo 6.348 3-7: 63 b) mają chodzić do klasy Illa lub do klasy Illb? 61 +50 +48 131 14. W szufladzie znajdują się różne czapki, szaliki i pary rękawiczek. Tabela poniżej opisuje liczby tych czapek, szalików i par rękawiczek według kolorów. Kolor niebieski 4 Kolor zielony 2 2 3 1 1 Czapki Szaliki Pary rękawiczek Oblicz, na ile sposobów można wybrać jedną czapkę, jeden szalik i jedną parę rękawiczek: 4.2.18 .6+8+6=20. 2.3.1=6 SLP czarny 3 1 a) w jednakowym kolorze b) tak, aby czapka i szalik były w tym samym kolorze, a para rękawiczek - w innym kolorze c) w różnych kolorach? CSR a) 3·1·2=6 c): 577. an=2020 925 vas 2020=5+(-1)-5 202015. 2 Illb 6 3 a₁ = a₁ + (n-1) r 2016 = 6 + (n-1)-6 2016 = 6 + 6 n-6 2016 = 6n 336= n 23 (6) 2.₁ ·L ·P 14 (9) 20 and 1995 15 W pewnej grupie osób wszyscy czytają klasykę, z czego 14 osób uwielbia lirykę, a 20 osób chętnie czyta prozę. Oblicz, ile osób liczy ta grupa, jeżeli 9 spośród nich czyta zarówno lirykę, jak i prozę? 14 L 20 P 14 +20 - 9 = 34-9=25 16. Ile jest liczb w zbiorze (1, 2, 3, 4,..., 2021), które są: a) podzielne przez 2 i przez 3, b) podzielne przez 3 lub przez 4, c) podzielne przez 5 i jednocześnie niepodzielne przez 7? a):2 1:3 = 6 an² 2016 a) jest mniejszy od 8 24 Illc 9 7 1895= 75+ (104) 25 1995=354 51 zn 3-1-2, 6 4.2.3=24 2.3.3:48 r= 6₁ 6+24+48=48 5+3+34242=15 6:3 lub : 4 an 2015 0-3 r=3 2018=3+34-3 -2019=3h 673=n 3:4 Rin 2016 ₁=12 11-13=143 c) 2019= 34(n-1)-3 2020:44(-)-4 2020-414m-1 2020=hu ·SOS = n 1+141+2=5 2 +3 +4 +5 = 44 18. Oblicz, ile jest liczb dwucyfrowych, o różnych cyfrach należących do zbioru (0, 1, 2, 3, 4, 5) i których iloczyn cyfr: 70 10 50 404-57 347 17. Oblicz, ile jest liczb dwucyfrowych, których cyfry należą do zbioru (0, 1, 2, 3, 4) i jednocześnie suma tych cyfr: a) jest większa od 3 {0, 1, 2, 3, 4) b) jest liczbą podzielną przez 4. 13 b) nie jest podzielny przez 5. 6. 3-5=12 2.1 6 3·3·1=9 4.1 ·1=4 4-3-2=24 2.1.1=2 2-2 2-8 an 2020 a₁ = 4 v=4. 673 +505-168= 1010 2016=12+(-1)12 2016= 12 + 12-12 2016= 124 168 = n 6+4+9+24+2+8=53 19. Oblicz, ile jest liczb dwucyfrowych utworzonych z różnych cyfr należących do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i jednocześnie: a) parzystych c) niepodzielnych przez 3 84 8.4:32 14 1.424 4 4.8=32 3244+1=37 o) 3² ..!. 12 35 63 17 15 42 63 91 45 22 16 is 9872 20. Oblicz, ile jest numerów telefonów komórkowych (numerów dziewięciocyfro- wych), których: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 -24 54 54 34 36 57 84 ટન a) pierwszą cyfrą jest cyfra większa od 6, ostatnie cztery cyfry są jednakowe, a każ- da z pozostałych cyfr jest różna od innych cyfr, b) początkowe 4 cyfry są kolejnymi liczbami nieparzystymi, ustawionymi malejąco, a ostatnie trzy cyfry są kolejnymi liczbami parzystymi, ustawionymi rosnąco. 975 2.46 27:53 1 024/ 2-9-8-7-6-9072 den 468 3·8·4·6·59 = 45 360 1.6 = 720 6) C₁² · ( ²3 = 1² (² = ( ) = b) 2·3·10.10= 600. 21. Na ile sposobów można 8 osób, wśród których są osoby A i B, posadzić: a) w jednym rzędzie tak, aby osoby A i B były rozdzielone dwiema innymi osobami, b) przy okrągłym stole tak, aby osoby A i B siedziały naprzeciw siebie? Przyjmij, że dwa umiejscowienia osób przy okrągłym stole są różne wtedy, gdy co naj- mniej jedna z tych osób ma innego sąsiada. 45360+5072-54432 22. Na ile sposobów można wrzucić 5 piłeczek w różnych kolorach do trzech po- numerowanych szuflad: a) dowolnie b) tak, aby co najwyżej jedna piłeczka była w pierwszej szufladzie? S. U U 4d 3c b) nie większych od 56 d) podzielnych przez 7. 23 72-24=48 ·2·5·6² =10.6! = 40-4-2-3-4-5-6= 10-6-20-6 = 60-120 = $100 5 c un 3b a) 353 5-4-3=20-3=60 25=32 5- 2²80 23. Oblicz, na ile sposobów można wybrać spośród 4 dziewcząt i 3 chłopców dwuosobową delegację, w której będzie: a) tylko jeden chłopiec b) co najmniej jedna dziewczyna 2 C₁ ( ₁ = (2)·(4)= 3.9 4.2 12460 48 a) każdą w innym kolorze b) wszystkie w jednakowym kolorze c) z których tylko jedna jest czerwona d) z których dwie są białe. d) (² · ('²5= 3 + 5 = 15 6²3-(²=3-4 = 12 b) C ²} + < ( ² ^ • ( ² = ( 4 ) + ( ;) () 4 c) C₁... 14 63 21. 24 28 91 35 42 98 C's (S.5=5.3=15 6.₁₁.²₁ 5.4.3 =60 ² - 6. 24. W skrzyni znajduje się 12 piłek różnej wielkości, w tym 5 czerwonych, 4 nie- bieskie i 3 białe. Oblicz, na ile sposobów można wybrać trzy piłki: 5.670 11 32+80=112 60430415-105 15+12=27 #burg | C ²₁ · C² = 5 · ²5 · 47-5-3-7. = 105