Reguła dodawania i zdarzenia losowe

Ten rozdział skupia się na regule dodawania w kombinatoryce oraz wprowadza pojęcie zdarzeń losowych, co jest kluczowe dla zrozumienia rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja: Reguła dodawania mówi, że jeśli zbiór wszystkich wyników podzielimy na dwa rozłączne podzbiory, to liczba wszystkich wyników jest sumą liczby wyników w każdym podzbiorze.

Wzór: |A ∪ B| = |A| + |B|, jeśli A i B są rozłączne.

Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych mniejszych od 400, które w swoim zapisie mają jedną trójkę? Odpowiedź: 81 + 45 + 45 = 171.

Następnie wprowadzono pojęcie zdarzeń losowych i przestrzeni zdarzeń elementarnych, co jest fundamentalne dla zadań z prawdopodobieństwa.

Definicja: Zdarzenie losowe to dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.

Przykład: Dla doświadczenia polegającego na dwukrotnym rzucie monetą, przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω = {$O,O$, $O,R$, $R,O$, $R,R$}.

Rozdział omawia również operacje na zdarzeniach, takie jak suma, iloczyn i różnica zdarzeń, które są kluczowe w rozwiązywaniu zadań maturalnych z prawdopodobieństwa.

Definicja: Suma zdarzeń A ∪ B, iloczyn zdarzeń A ∩ B, różnica zdarzeń A \ B.

Przykład: Zdarzenie A polegające na tym, że w dwukrotnym rzucie monetą wypadnie raz reszka: A = {$O,R$, $R,O$}.

Prawdopodobieństwo klasyczne i jego własności

Rozdział ten koncentruje się na prawdopodobieństwie klasycznym i jego własnościach, co jest kluczowe dla rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja: Prawdopodobieństwo klasyczne zdarzenia A w skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω to liczba P$A$ = |A| / |Ω|.

Przykład: W klasie IVa jest 24 uczniów, w IVb - 26 uczniów, a w IVc - 30 uczniów. Egzamin z j. francuskiego ma zamiar zdawać 12,5% uczniów z klasy IVa, 50% uczniów z IVb i 20% uczniów z IVc. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń losowo wybrany spośród wszystkich ma zamiar zdawać j. francuski? Odpowiedź: P$A$ = 22 / 80 = 11/40.

Rozdział wprowadza również pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa, które jest istotne w zadaniach maturalnych z prawdopodobieństwa.

Definicja: Rozkład prawdopodobieństwa to suma prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu.

Przykład: W rzucie niesymetryczną monetą orzeł wypada 2 razy częściej niż reszka. Rozkład prawdopodobieństwa: P$orzeł$ = 2/3, P$reszka$ = 1/3.

Na końcu rozdziału omówiono własności prawdopodobieństwa, które są kluczowe dla rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa.

Highlight: Najważniejsze własności prawdopodobieństwa:

1. 0 ≤ P$A$ ≤ 1 dla każdego zdarzenia A
2. P$Ω$ = 1
3. Jeśli A ⊂ B, to P$A$ ≤ P$B$
4. P$A'$ = 1 - P$A$
5. P$A \ B$ = P$A$ - P$A ∩ B$

Zastosowania prawdopodobieństwa w praktycznych zadaniach

Ostatni rozdział skupia się na praktycznych zastosowaniach prawdopodobieństwa, prezentując złożone przykłady, które często pojawiają się w zadaniach maturalnych z prawdopodobieństwa.

Przykład: Dwie urny z kulami: w pierwszej są 4 kule białe i 6 niebieskich, w drugiej - 3 białe, 5 żółtych i 2 niebieskie. Rzut monetą: jeśli wypadnie orzeł, to losujemy kulę z pierwszej urny, jeśli reszka, to z drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli: a) białej, b) niebieskiej.

Rozwiązanie tego przykładu wymaga zastosowania wielu koncepcji omówionych wcześniej, w tym prawdopodobieństwa warunkowego i reguły mnożenia.

Highlight: Kluczowe kroki w rozwiązaniu:

1. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli z każdej urny
2. Uwzględnienie prawdopodobieństwa wypadnięcia orła lub reszki
3. Zastosowanie reguły mnożenia dla zdarzeń niezależnych
4. Sumowanie prawdopodobieństw dla różnych scenariuszy

Rozdział ten pokazuje, jak kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa łączą się w praktycznych zastosowaniach, co jest szczególnie istotne dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.

Vocabulary: Urna - pojemnik używany w przykładach probabilistycznych do przechowywania obiektów $np. kul$ o różnych właściwościach.

Podsumowując, ten rozdział demonstruje, jak zastosować teorię prawdopodobieństwa do rozwiązywania złożonych problemów, co jest kluczową umiejętnością wymaganą w zadaniach maturalnych z prawdopodobieństwa.

Podstawy kombinatoryki i reguły mnożenia

Rozdział rozpoczyna się od wprowadzenia do podstawowych zasad kombinatoryki. Kluczowym elementem jest reguła mnożenia, która pozwala obliczyć liczbę możliwych wyników złożonych zdarzeń.

Przykład: Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wszystkich możliwości tego doświadczenia? W każdym rzucie mamy dwie możliwości, więc całkowita liczba możliwości to 2 · 2 · 2 = 8.

Następnie wprowadzono pojęcie permutacji, które są kluczowe w kombinatoryce.

Definicja: Permutacja to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru.

Wzór: Liczba permutacji n-elementowego zbioru wynosi Pn = n!

Przykład: Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce? Odpowiedź: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Rozdział omawia również wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami, które są istotne w rozwiązywaniu zadań z prawdopodobieństwa.

Definicja: Wariacja bez powtórzeń pozwala na utworzenie ciągu k elementów z n-elementowego zbioru, bez powtarzania elementów.

Wzór: Liczba wariacji bez powtórzeń: V$n,k$ = n! / $n-k$!

Przykład: Ile istnieje czterocyfrowych kodów składających się z różnych cyfr? Odpowiedź: 10! / $10-4$! = 5040.

Rozdział kończy się wprowadzeniem pojęcia silni, które jest fundamentalne dla wielu obliczeń w kombinatoryce.

Definicja: Silnia liczby naturalnej n to iloczyn kolejnych liczb od 1 do n.

Wzór: n! = 1 · 2 · 3 · ... · $n-1$ · n