Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Aleksa

23.09.2025

Matematyka

liczby niewymierne

Matematyka

Klasyfikacja Liczb Rzeczywistych

liczby irracjonalne

611

•

23 wrz 2025

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten... Pokaż więcej

1 / 3

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

12
34
Liczby Niewymierne - TEST
Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka,
gdzie zarówno licznik jak i mianownik są li

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

√a * √a = a
√a * √b = √(a*b)
$a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze $a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd.

Example: $√3 + 2√2$ $4√3 - 8√2$ = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

$√a$ ⁿ = a^(n/2)
ⁿ√ $a^m$ = a^(m/n)
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = $4 * √3$ / $√3 * √3$ = 4√3 / 3

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / $√5 - 1$ = $3 * (√5 + 1$ ) / $(√5 - 1$ * $√5 + 1$ ) = 3 $√5 + 1$ / $5 - 1$ = $3√5 + 3$ / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia natury tych liczb.

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.
Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Działania na pierwiastkach

11494

213

pierwiastki - matematyka

2466

115

Wyrażenia wymierne

2377

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Klasyfikacja Liczb Rzeczywistych

liczby irracjonalne

Matematyka

•

611

•

23 wrz 2025

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten przewodnik omawia kluczowe aspekty liczb niewymiernych, w tym ich definicję, wyłączanie czynnika przed nawias, podstawowe działania arytmetyczne oraz usuwanie niewymierności z mianownika. Materiał zawiera szczegółowe wyjaśnienia i przykłady, które pomogą... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

√a * √a = a
√a * √b = √(a*b)
$a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze $a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd.

Example: $√3 + 2√2$ $4√3 - 8√2$ = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

$√a$ ⁿ = a^(n/2)
ⁿ√ $a^m$ = a^(m/n)
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = $4 * √3$ / $√3 * √3$ = 4√3 / 3

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / $√5 - 1$ = $3 * (√5 + 1$ ) / $(√5 - 1$ * $√5 + 1$ ) = 3 $√5 + 1$ / $5 - 1$ = $3√5 + 3$ / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.
Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Knowunity ist besser in der App

Hol dir die App, um Zugang zu den smarten Tools mit interaktiven Karteikarten, Übungsaufgaben, Probeklausuren und Zusammenfassungen zu bekommen

Podobne notatki

Operacje na pierwiastkach

Zrozumienie działań na pierwiastkach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz uproszczenie ułamków. Przykłady ilustrujące każdy typ operacji oraz metody uproszczenia wyrażeń. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Pierwiastki i ich Obliczenia

Zrozumienie pierwiastków w matematyce: definicje, przykłady obliczeń oraz uproszczenia. Dowiedz się, jak wyciągać pierwiastki i łączyć je w wyrażeniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

Matematyka

Równania i Wyrażenia Wymierne

Zrozumienie wyrażeń wymiernych: definicja, dziedzina, skracanie, dodawanie i odejmowanie. Przykłady równań wymiernych oraz ich rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Czynniki przed pierwiastkiem

Zrozumienie wyłączania czynnika przed znakiem pierwiastka. Przykłady zadań i ich rozwiązania, w tym obliczenia dla różnych wartości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: zadania i rozwiązania.

Matematyka

Podstawy Liczb Rzeczywistych

Zrozumienie kluczowych koncepcji liczb rzeczywistych, w tym procentów, potęg, logarytmów oraz pierwiastków. Materiał zawiera definicje, wzory oraz przykłady obliczeń, które pomogą w przygotowaniach do testów. Idealne dla uczniów liceum i technikum.

Matematyka

Własności potęg

Zrozumienie własności potęg o tej samej podstawie, w tym mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie potęg. Przykłady ilustrujące zasady, takie jak $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ oraz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

Działania na pierwiastkach

11494

213

pierwiastki - matematyka

2466

115

Wyrażenia wymierne

2377

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS