liczby niewymierne

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Pierwiastek z liczby nieujemnej

Włączanie czynnika przed znak pierwiastka

499

•

15 lip 2022

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten... Pokaż więcej

12
34
Liczby Niewymierne - TEST
Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka,
gdzie zarówno licznik jak i mianownik są li

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

√a * √a = a
√a * √b = √ $a*b$
$a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze $a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd.

Example: $√3 + 2√2$ $4√3 - 8√2$ = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

$√a$ ⁿ = a^ $n/2$
ⁿ√ $a^m$ = a^ $m/n$
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = $4 * √3$ / $√3 * √3$ = 4√3 / 3

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / $√5 - 1$ = $3 * (√5 + 1$ ) / $(√5 - 1$ * $√5 + 1$ ) = 3 $√5 + 1$ / $5 - 1$ = $3√5 + 3$ / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia natury tych liczb.

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.
Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Wyrażenia wymierne

2367

pierwiastki - matematyka

2458

115

Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka

634

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Pierwiastek z liczby nieujemnej

Włączanie czynnika przed znak pierwiastka

Matematyka

•

499

•

15 lip 2022

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten przewodnik omawia kluczowe aspekty liczb niewymiernych, w tym ich definicję, wyłączanie czynnika przed nawias, podstawowe działania arytmetyczne oraz usuwanie niewymierności z mianownika. Materiał zawiera szczegółowe wyjaśnienia i przykłady, które pomogą... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

√a * √a = a
√a * √b = √ $a*b$
$a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze $a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd.

Example: $√3 + 2√2$ $4√3 - 8√2$ = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

$√a$ ⁿ = a^ $n/2$
ⁿ√ $a^m$ = a^ $m/n$
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = $4 * √3$ / $√3 * √3$ = 4√3 / 3

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / $√5 - 1$ = $3 * (√5 + 1$ ) / $(√5 - 1$ * $√5 + 1$ ) = 3 $√5 + 1$ / $5 - 1$ = $3√5 + 3$ / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.
Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Wyrażenia wymierne

2367

pierwiastki - matematyka

2458

115

Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka

634

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS