Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Klasyfikacja Liczb Rzeczywistych

liczby irracjonalne

651

•

22 gru 2025

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

user profile picture

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
# 12 # 34 # Liczby Niewymierne - TEST Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik jak i mianown

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

  1. √a * √a = a
  2. √a * √b = √a∗ba*b
  3. a+ba + bc+dc + d = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze a+ba + bc+dc + d = ac + ad + bc + bd.

Example: (√3 + 2√2)(4√3 - 8√2) = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

  1. (√a)ⁿ = a^n/2n/2
  2. ⁿ√ama^m = a^m/nm/n
  3. a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  4. a−ba - b² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

# 12 # 34 # Liczby Niewymierne - TEST Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik jak i mianown

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

  1. Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = (4 * √3) / (√3 * √3) = 4√3 / 3

  1. Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / (√5 - 1) = (3 * (√5 + 1)) / ((√5 - 1) * (√5 + 1)) = 3(√5 + 1) / (5 - 1) = (3√5 + 3) / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

# 12 # 34 # Liczby Niewymierne - TEST Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik jak i mianown

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia natury tych liczb.

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

  1. Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.

  2. Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: liczby irracjonalne

Liczby Niewymierne i Pierwiastki

Zgłębiaj liczby niewymierne oraz pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia. Dowiedz się o ich własnościach, metodach przybliżania oraz technikach usuwania niewymierności z mianownika. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
7

Liczby Niewymierne i Wymierne

Zrozumienie liczb niewymiernych, wymiernych, naturalnych i całkowitych. Dowiedz się, jak rozpoznawać liczby niewymierne oraz jak je obliczać. Materiał zawiera przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania, idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
5

Liczby całkowite i wymierne

Zrozumienie liczb całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Notatka omawia definicje, właściwości oraz działania na liczbach, w tym twierdzenie Pitagorasa i dowód niewymierności liczby 2. Idealna dla uczniów klasy 1 ponadpodstawowej, zgodna z nową podstawą programową.

MatematykaMatematyka
1

Potęgi z Wykładnikiem Niewymiernym

Zrozumienie potęg o wykładniku niewymiernym dla podstawy a>0. Dowiedz się, jak obliczać te potęgi przy użyciu ciągów z niedomiarem i nadmiarem. Przykłady ilustrujące proces oraz zastosowanie w praktyce. Typ: wykład.

MatematykaMatematyka
1

Cechy Liczb Niewymiernych

Zgłębiaj pojęcie liczb niewymiernych, ich definicję oraz przykłady. Dowiedz się, jak liczby niewymierne różnią się od wymiernych i jakie mają właściwości, takie jak suma i iloczyn. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
5

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady, kluczowe wzory oraz praktyczne przykłady. Dowiedz się, jak wykonywać operacje na logarytmach, zamieniać podstawy oraz rozwiązywać równania logarytmiczne. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Sprawdzian zawiera grupę A i B

MatematykaMatematyka
8

Stereoizomeria

Wzory graniastosłupy,ostrosłupy,walec,kula,stożek

MatematykaMatematyka
4

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Konflikty w Antygonie

Analiza konfliktów tragicznych w 'Antygonie' Sofoklesa, obejmująca zderzenie praw boskich i państwowych, oraz dylematy moralne bohaterów. Zawiera streszczenie, kluczowe motywy, oraz charakterystykę postaci. Idealne dla uczniów przygotowujących się do lekcji lub egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza Ksiąg Biblijnych

Zgłębiaj kluczowe Księgi Biblii, w tym Księgę Rodzaju, Pieśń nad Pieśniami, Księgę Hioba, Księgę Koheleta, Księgę Psalmów oraz Apokalipsę św. Jana. Odkryj ich przesłania, relacje między Bogiem a człowiekiem oraz znaczenie w kontekście chrześcijańskim. Idealne dla studentów teologii i miłośników literatury biblijnej.

Język polskiJęzyk polski
4

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza postaci i kluczowych motywów w 'Zbrodni i karze' Fiodora Dostojewskiego. Zawiera szczegółowe opisy bohaterów, ich relacji oraz wpływu zbrodni na psychikę Raskolnikowa. Idealne dla studentów literatury i analizy psychologicznej. Typ: streszczenie i charakterystyka.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza postaw bohaterów w powieści 'Dżuma' Alberta Camusa. Zawiera omówienie kluczowych postaci, ich motywacji oraz cytatów ilustrujących walkę ze złem. Idealne dla studentów literatury i filozofii. Typ: podsumowanie.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Klasyfikacja Liczb Rzeczywistych

liczby irracjonalne

 

Matematyka

•

651

•

22 gru 2025

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

user profile picture

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten przewodnik omawia kluczowe aspekty liczb niewymiernych, w tym ich definicję, wyłączanie czynnika przed nawias, podstawowe działania arytmetyczne oraz usuwanie niewymierności z mianownika. Materiał zawiera szczegółowe wyjaśnienia i przykłady, które pomogą... Pokaż więcej

# 12 # 34 # Liczby Niewymierne - TEST Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik jak i mianown

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

  1. √a * √a = a
  2. √a * √b = √a∗ba*b
  3. a+ba + bc+dc + d = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze a+ba + bc+dc + d = ac + ad + bc + bd.

Example: (√3 + 2√2)(4√3 - 8√2) = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

  1. (√a)ⁿ = a^n/2n/2
  2. ⁿ√ama^m = a^m/nm/n
  3. a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  4. a−ba - b² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

# 12 # 34 # Liczby Niewymierne - TEST Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik jak i mianown

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

  1. Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = (4 * √3) / (√3 * √3) = 4√3 / 3

  1. Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / (√5 - 1) = (3 * (√5 + 1)) / ((√5 - 1) * (√5 + 1)) = 3(√5 + 1) / (5 - 1) = (3√5 + 3) / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

# 12 # 34 # Liczby Niewymierne - TEST Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik jak i mianown

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia natury tych liczb.

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

  1. Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.

  2. Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

10

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Równania i Wyrażenia Wymierne

Zrozumienie wyrażeń wymiernych: definicja, dziedzina, skracanie, dodawanie i odejmowanie. Przykłady równań wymiernych oraz ich rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Czynniki przed pierwiastkiem

Zrozumienie wyłączania czynnika przed znakiem pierwiastka. Przykłady zadań i ich rozwiązania, w tym obliczenia dla różnych wartości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: zadania i rozwiązania.

MatematykaMatematyka
1

Potęgi i Pierwiastki

Zrozumienie potęg i pierwiastków w kontekście liczb rzeczywistych. Obejmuje kluczowe wzory, przykłady oraz zasady dotyczące operacji na potęgach i pierwiastkach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Pierwiastki i ich Obliczenia

Zrozumienie pierwiastków w matematyce: definicje, przykłady obliczeń oraz uproszczenia. Dowiedz się, jak wyciągać pierwiastki i łączyć je w wyrażeniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
8

Podstawy Liczb Rzeczywistych

Zrozumienie kluczowych koncepcji liczb rzeczywistych, w tym procentów, potęg, logarytmów oraz pierwiastków. Materiał zawiera definicje, wzory oraz przykłady obliczeń, które pomogą w przygotowaniach do testów. Idealne dla uczniów liceum i technikum.

MatematykaMatematyka
1

Pierwiastkowanie: Wzory i Przykłady

Zgłębiaj różne rodzaje pierwiastków oraz działania na nich. Odkryj kluczowe wzory i praktyczne przykłady, które pomogą w zrozumieniu pierwiastkowania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki: liczby irracjonalne

Liczby Niewymierne i Pierwiastki

Zgłębiaj liczby niewymierne oraz pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia. Dowiedz się o ich własnościach, metodach przybliżania oraz technikach usuwania niewymierności z mianownika. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
7

Liczby Niewymierne i Wymierne

Zrozumienie liczb niewymiernych, wymiernych, naturalnych i całkowitych. Dowiedz się, jak rozpoznawać liczby niewymierne oraz jak je obliczać. Materiał zawiera przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania, idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
5

Liczby całkowite i wymierne

Zrozumienie liczb całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Notatka omawia definicje, właściwości oraz działania na liczbach, w tym twierdzenie Pitagorasa i dowód niewymierności liczby 2. Idealna dla uczniów klasy 1 ponadpodstawowej, zgodna z nową podstawą programową.

MatematykaMatematyka
1

Potęgi z Wykładnikiem Niewymiernym

Zrozumienie potęg o wykładniku niewymiernym dla podstawy a>0. Dowiedz się, jak obliczać te potęgi przy użyciu ciągów z niedomiarem i nadmiarem. Przykłady ilustrujące proces oraz zastosowanie w praktyce. Typ: wykład.

MatematykaMatematyka
1

Cechy Liczb Niewymiernych

Zgłębiaj pojęcie liczb niewymiernych, ich definicję oraz przykłady. Dowiedz się, jak liczby niewymierne różnią się od wymiernych i jakie mają właściwości, takie jak suma i iloczyn. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
5

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady, kluczowe wzory oraz praktyczne przykłady. Dowiedz się, jak wykonywać operacje na logarytmach, zamieniać podstawy oraz rozwiązywać równania logarytmiczne. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Sprawdzian zawiera grupę A i B

MatematykaMatematyka
8

Stereoizomeria

Wzory graniastosłupy,ostrosłupy,walec,kula,stożek

MatematykaMatematyka
4

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Konflikty w Antygonie

Analiza konfliktów tragicznych w 'Antygonie' Sofoklesa, obejmująca zderzenie praw boskich i państwowych, oraz dylematy moralne bohaterów. Zawiera streszczenie, kluczowe motywy, oraz charakterystykę postaci. Idealne dla uczniów przygotowujących się do lekcji lub egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza Ksiąg Biblijnych

Zgłębiaj kluczowe Księgi Biblii, w tym Księgę Rodzaju, Pieśń nad Pieśniami, Księgę Hioba, Księgę Koheleta, Księgę Psalmów oraz Apokalipsę św. Jana. Odkryj ich przesłania, relacje między Bogiem a człowiekiem oraz znaczenie w kontekście chrześcijańskim. Idealne dla studentów teologii i miłośników literatury biblijnej.

Język polskiJęzyk polski
4

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza postaci i kluczowych motywów w 'Zbrodni i karze' Fiodora Dostojewskiego. Zawiera szczegółowe opisy bohaterów, ich relacji oraz wpływu zbrodni na psychikę Raskolnikowa. Idealne dla studentów literatury i analizy psychologicznej. Typ: streszczenie i charakterystyka.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza postaw bohaterów w powieści 'Dżuma' Alberta Camusa. Zawiera omówienie kluczowych postaci, ich motywacji oraz cytatów ilustrujących walkę ze złem. Idealne dla studentów literatury i filozofii. Typ: podsumowanie.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS