Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Otwórz

Aleksa

15.07.2022

Matematyka

liczby niewymierne

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Pierwiastek z liczby nieujemnej

Włączanie czynnika przed znak pierwiastka

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Ten przewodnik omawia kluczowe aspekty liczb niewymiernych, w tym ich definicję, wyłączanie czynnika przed nawias, podstawowe działania arytmetyczne oraz usuwanie niewymierności z mianownika. Materiał zawiera szczegółowe wyjaśnienia i przykłady, które pomogą uczniom zrozumieć te zaawansowane koncepcje matematyczne.

...

15.07.2022

491

12
34
Liczby Niewymierne - TEST
Liczby niewymierne - nie można przedstawić ich w postaci ułamka,
gdzie zarówno licznik jak i mianownik są li

Zobacz

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

√a * √a = a
√a * √b = √ $a*b$
$a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze $a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd.

Example: $√3 + 2√2$ $4√3 - 8√2$ = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

$√a$ ⁿ = a^ $n/2$
ⁿ√ $a^m$ = a^ $m/n$
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zobacz

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = $4 * √3$ / $√3 * √3$ = 4√3 / 3

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / $√5 - 1$ = $3 * (√5 + 1$ ) / $(√5 - 1$ * $√5 + 1$ ) = 3 $√5 + 1$ / $5 - 1$ = $3√5 + 3$ / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

Podobne notatki

Know Działania na pierwiastkach thumbnail

201

10715

1/2

Działania na pierwiastkach

4259

liczby rzeczywiste

powtorka do testu

2367

Wyrażenia wymierne

Podstawowe wiadomości, dziedzina wyrażenia wymiernego, skracanie wyrażeń, dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, równania wymierne

115

2458

8/1

pierwiastki - matematyka

pierwiastki, przykłady

Know Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka thumbnail

634

1/2

Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka

Know Potęga o wykładniku naturalnym thumbnail

2413

1/2

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga o wykładniku naturalnym , własności potęg

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Pierwiastek z liczby nieujemnej

Włączanie czynnika przed znak pierwiastka

Matematyka

•

491

•

15 lip 2022

•

3 strony

Liczby niewymierne i rzeczywiste - powtórzenie i zadania

Aleksa

@aleksa_

Liczby niewymierne i działania na nich - kompleksowy przewodnik

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb niewymiernych

Dodawanie i odejmowanie liczb niewymiernych opiera się na redukcji wyrazów podobnych. Jest to kluczowa umiejętność w obliczaniu liczb rzeczywistych.

Example: √18 + √98 = √9 * 2 + √49 * 2 = 3√2 + 7√2 = 10√2

Mnożenie liczb niewymiernych wykorzystuje kilka ważnych własności:

√a * √a = a
√a * √b = √ $a*b$
$a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd

Highlight: Przy mnożeniu wyrażeń zawierających pierwiastki, kluczowe jest pamiętanie o wzorze $a + b$ $c + d$ = ac + ad + bc + bd.

Example: $√3 + 2√2$ $4√3 - 8√2$ = 12 - 8√6 + 8√6 - 32 = -20

Potęgowanie liczb niewymiernych wymaga znajomości następujących wzorów:

$√a$ ⁿ = a^ $n/2$
ⁿ√ $a^m$ = a^ $m/n$
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a - b$ ² = a² - 2ab + b²

Definition: Liczby niewymierne to takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to zaawansowana technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Gdy w mianowniku jest liczba niewymierna lub iloczyn takich liczb: Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Example: 4 / √3 = $4 * √3$ / $√3 * √3$ = 4√3 / 3

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Example: 3 / $√5 - 1$ = $3 * (√5 + 1$ ) / $(√5 - 1$ * $√5 + 1$ ) = 3 $√5 + 1$ / $5 - 1$ = $3√5 + 3$ / 4

Highlight: Przy usuwaniu niewymierności z mianownika, kluczowe jest zrozumienie koncepcji sprzężenia algebraicznego.

Te techniki są niezbędne do upraszczania i przekształcania wyrażeń zawierających liczby niewymierne, co jest istotne w rozszerzonym kursie matematyki.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja liczb niewymiernych i wyłączanie czynnika przed nawias

Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi. Ta definicja jest kluczowa dla zrozumienia natury tych liczb.

Wyłączanie czynnika przed nawias to ważna technika w pracy z liczbami niewymiernymi. Istnieją dwa główne sposoby:

Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu własności pierwiastków: √c = √a*b = √a * √b. Na przykład, √12 = √4 * 3 = √4 * √3 = 2 * √3 = 2√3.
Drugi sposób to szukanie par liczb pod pierwiastkiem i wyciąganie ich przed nawias. Na przykład, dla √12 rozkładamy 12 na 2 x 2 x 3, a następnie wyciągamy 2 przed pierwiastek, otrzymując 2√3.

Highlight: Przy wyłączaniu czynnika przed nawias, jedna z liczb pod pierwiastkiem musi być możliwa do wyliczenia.

Example: Dla pierwiastka trzeciego stopnia: 3√5 = 3√3³ * 5 = √27 * 5 = √135

Vocabulary: Wyłączanie czynnika przed nawias to technika upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki, która polega na wyodrębnieniu czynników spod pierwiastka.

Podobne notatki

Działania na pierwiastkach

10715

201

liczby rzeczywiste

4259

Wyrażenia wymierne

2367

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS