Operacje podstawowe

Na tej stronie widać jedyne oznaczenia matematyczne - znak dodawania (+) i dzielenia (÷). To podstawowe symbole, które będą używane w kolejnych zadaniach dotyczących działań na liczbach wymiernych i niewymiernych.

Te proste znaki to fundament dla wszystkich bardziej skomplikowanych obliczeń, które pojawią się dalej.

Podzielność i liczby wymierne

Podzielność to klucz do wielu zadań! Dla liczby 65432x sprawdzamy: przez 3 (suma cyfr podzielna przez 3), przez 4 (dwie ostatnie cyfry), przez 5 (kończy się na 0 lub 5), przez 8 (trzy ostatnie cyfry) i przez 9 (suma cyfr podzielna przez 9).

Znajdowanie liczb wymiernych między ułamkami wymaga sprowadzenia do wspólnego mianownika. Na przykład między 3/4 a 11/12 szukamy liczby - sprowadzamy do /12 i mamy 9/12 < x < 11/12, więc x = 10/12 = 5/6.

Pierwiastki można uprościć, wyciągając pełne kwadraty spod znaku. √72 = √(36·2) = 6√2. Podobnie √$3${54} = √$3${27·2} = 3√$3${2}.

Pamiętaj: Przy podzielności przez 3 i 9 liczy się suma wszystkich cyfr!

Działania na pierwiastkach i potęgach

Pierwiastki wymierne obliczamy przez rozłożenie na czynniki. √$3${8/27} = √$3${8}/√$3${27} = 2/3. Pamiętaj o znakach przy pierwiastkach nieparzystych stopni!

Potęgi o podstawach jednakowych dzielimy odejmując wykładniki, mnożymy dodając wykładniki. 3^32 - 3^30 = 3^30$3^2 - 1$ = 3^30 · 8.

Przy upraszczaniu wyrażeń z potęgami wyciągaj wspólne czynniki przed nawias. 2^8 - 2^6 = 2^6$2^2 - 1$ = 2^6 · 3.

Wskazówka: Zawsze sprawdzaj, czy można wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias - to bardzo upraszcza obliczenia!

Notacja wykładnicza i wzory skróconego mnożenia

Notacja wykładnicza pozwala zapisać bardzo duże liczby w sposób czytelny. $6·10^21$·$4,4·10^2$ = 26,4·10^23 = 2,64·10^24.

Liczby okresowe mają powtarzające się sekwencje cyfr. W 0,(3210) okres to 3210, więc 15. miejsce po przecinku znajdziesz dzieląc 15 przez długość okresu (4) i biorąc resztę.

Wzory skróconego mnożenia znacznie przyspieszają obliczenia. $a+b$$a-b$ = a² - b², więc (4√5+√3)(4√5-√3) = 16·5 - 3 = 77.

Twierdzenie Pitagorasa dla przyprostokątnych √2+1 i √2-1 daje przeciwprostokątną c² = (√2+1)² + (√2-1)² = 6, więc c = √6.

Uwaga: W notacji wykładniczej pierwsza liczba musi być z przedziału [1,10)!

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności to mnożenie przez wyrażenie sprzężone. Dla √3-1 mnożymy przez √3+1, bo (√3-1)(√3+1) = 3-1 = 2.

3/(√3-1) · (√3+1)/(√3+1) = 3(√3+1)/2. Wyrażenie sprzężone zmienia znak przy pierwiastku.

Dla wyrażeń typu a+b√c sprzężone to a-b√c. Mnożenie daje zawsze liczbę wymierną dzięki wzorowi $a+b$$a-b$ = a² - b².

Obliczenia złożone wymagają systematycznego podejścia - najpierw rozwiń nawiasy, potem uprość podobne składniki.

Trick: Zawsze sprawdź, czy możesz uprościć wynik - często da się skrócić ułamek!

Przekształcenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia w praktyce: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b², $a+b$$a-b$ = a² - b².

Przy rozwijaniu nawiasów uważaj na znaki! -$2-x$² oznacza minus przed całym wyrażeniem rozłożonym.

Podstawienie wartości do wyrażenia wymaga dokładności. Dla x = √3 pamiętaj, że √3 · √3 = 3.

Układy równań można rozwiązać metodą podstawiania lub eliminacji. Z a² - b² = 24 i znanych sum/różnic znajdujemy konkretne wartości.

Uwaga: Sprawdzaj zawsze wyniki podstawiając z powrotem do równania wyjściowego!

Równania i procenty

Równania z niewiadomą w postaci n² + $n+1$² = 2n+1 rozwiązujesz rozwijając nawiasy i upraszczając.

Sumy liczb nieparzystych zawsze można zapisać jako 4k+2, bo $2n+1$ + $2n+3$ = 4n+4 = 4$n+1$.

Procenty w zadaniach tekstowych: 20% z 30 to 0,2 · 30 = 6. Jeśli to równa się 30% z x, to 6 = 0,3x, więc x = 20.

Obliczenia procentowe łańcuchowe: cena rośnie o 15%, potem spada o 15% - końcowy wynik to 98,25% ceny początkowej, nie 100%!

Pamiętaj: Procenty nie są przemienne - 15% więcej, potem 15% mniej to nie jest to samo co bez zmian!

Zadania praktyczne

Kolejne zmiany procentowe należy liczyć od nowej wartości. Jeśli cena spadła z 80 o 12%, to mamy 70,4, a kolejny spadek o 10% to 63,36.

Podzielność przez 12 oznacza podzielność przez 3 i 4 jednocześnie. Suma cyfr musi być podzielna przez 3, a dwie ostatnie cyfry przez 4.

Liczby w systemie dziesiętnym kończy się zerem, gdy ma czynniki 2 i 5. n = 2^14 · 5^15 = 2^14 · 5^14 · 5 = 10^14 · 5.

Równania wymierne jak $2+a$$2a+1$ = 9a rozwiązujesz rozwijając nawiasy i zbierając podobne składniki. Pamiętaj o dziedzinie!

Ważne: W równaniach wymiernych zawsze sprawdzaj dziedzinę - mianownik nie może być zerem!

Zaawansowane obliczenia

Potęgi o wykładnikach ujemnych: (√3/3)^(-3) : (√3/3)^(-7) = (√3/3)^4. Pamiętaj, że a^$-n$ = 1/a^n.

Wyrażenia złożone jak długi ułamek w zadaniu 29 rozwiązujesz krok po kroku, najpierw w nawiasach, potem całość.

Podstawianie wartości do wzorów wymaga precyzji. x² - 4y² dla x = 2√3-1 i y = √3-1 daje konkretną liczbę.

Wyrażenia z parametrami jak $3+4a$² - $3-4a$² = 48a zawsze można uprościć do prostej postaci.

Wskazówka: Długie wyrażenia dziel na mniejsze części i obliczaj fragmentami - tak unikniesz błędów!