Jak obliczyć granicę funkcji w wybranym punkcie?

Nikola <3

17.11.2025

Matematyka

Obliczanie granicy funkcji w punkcie

Matematyka

Granice funkcji i asymptoty

granica

300

•

17 lis 2025

•

3 strony

Jak obliczyć granicę funkcji w wybranym punkcie?

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Nikola <3

@books_in_head

Granice funkcji to jeden z najważniejszych tematów w matematyce, który... Pokaż więcej

1 / 3

OBLICZANIE
(7)
c) lim
X-> 4
d) lim
=
x->-3√√(1-x) (4-2x) = def H
2x+8
=
GRANICY FUNKCJI W
=
(9)
a) lim 13
x->3
lim
X->3
√(1-xn) (4-2xn)
√(1+

Podstawowe techniki obliczania granic

Obliczanie granicy funkcji w punkcie to sprawdzenie, do jakiej wartości zbliża się funkcja, gdy argument dąży do określonej liczby. W najprostszych przypadkach wystarczy podstawić wartość do wzoru funkcji.

Gdy masz funkcję ciągłą (bez "dziur" czy skoków), po prostu podstaw wartość x do wzoru. Na przykład: $\lim_{x\to4} \sqrt{2x+8} = \sqrt{16} = 4$ . To samo działa dla bardziej skomplikowanych wyrażeń z wieloma nawiasami i działaniami.

Kluczowym momentem jest rozpoznanie, kiedy możesz bezpośrednio podstawić wartość, a kiedy musisz użyć innych technik. Jeśli po podstawieniu nie otrzymujesz symbolu nieoznaczonego typu $\frac{0}{0}$ , masz już gotowy wynik.

Wskazówka: Zawsze najpierw spróbuj podstawić wartość bezpośrednio - to najszybszy sposób!

Faktoryzacja to twoja broń, gdy pojawia się symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$ . Rozłóż licznik i mianownik na czynniki, skróć wspólne elementy, a potem podstaw wartość graniczną.

Granice z pierwiastkami - metoda sprzęgania

Pierwiastki w granicach mogą wydawać się skomplikowane, ale masz do dyspozycji genialną metodę - sprzęganie. Gdy widzisz wyrażenie z pierwiastkiem w liczniku lub mianowniku, pomnóż przez wyrażenie sprzężone.

Sprzęganie polega na mnożeniu przez $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ (gdy masz różnicę pierwiastków) lub odwrotnie. Dzięki wzorowi $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pozbędziesz się pierwiastków i uproscisz wyrażenie.

Przykład: $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{2x + 9} - 3}{5x}$ . Pomnóż przez $\frac{\sqrt{2x + 9} + 3}{\sqrt{2x + 9} + 3}$ , otrzymasz $\frac{2x}{5x(\sqrt{2x + 9} + 3)}$ , co po skróceniu daje $\frac{2}{5(\sqrt{9} + 3)} = \frac{1}{15}$ .

Pamiętaj: Sprzęganie zawsze działa, gdy masz różnicę lub sumę pierwiastków!

Ta technika wymaga trochę wprawy, ale gdy ją opanujesz, będziesz rozwiązywać takie zadania w kilka sekund. Kluczem jest rozpoznanie momentu, kiedy użyć sprzęgania.

Twierdzenie o trzech funkcjach

Twierdzenie o trzech funkcjach (nazywane też twierdzeniem o dwóch policjantach) to potężne narzędzie do obliczania granic funkcji, które oscylują lub są trudne do bezpośredniego policzenia.

Zasada jest prosta: jeśli masz funkcję f(x) "uwięzioną" między dwoma innymi funkcjami g(x) i h(x), które dążą do tej samej granicy, to f(x) też dąży do tej samej granicy. Matematycznie: jeśli $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ i $\lim g(x) = \lim h(x) = L$ , to $\lim f(x) = L$ .

Klasyczny przykład to $\lim_{x\to0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ . Ponieważ $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ , masz $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$ . Gdy x dąży do 0, obie "ściany" $$-x^2$ i $x^2$$ dążą do 0, więc twoja funkcja też.

Wskazówka: Używaj tego twierdzenia, gdy funkcja zawiera sin, cos lub inne funkcje oscylujące!

To narzędzie szczególnie przydaje się przy funkcjach trygonometrycznych, które bez niego byłyby praktycznie niemożliwe do obliczenia.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Ciągi

8138

209

ciągi

3827

125

ciągi rekurencyjne określone

1654

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Granice funkcji i asymptoty

granica

Matematyka

•

300

•

17 lis 2025

•

3 strony

Jak obliczyć granicę funkcji w wybranym punkcie?

Nikola <3

@books_in_head

Granice funkcji to jeden z najważniejszych tematów w matematyce, który pomoże ci zrozumieć zachowanie funkcji w konkretnych punktach. Dzisiaj przejdziemy przez praktyczne sposoby obliczania granic - od podstawowych technik po bardziej zaawansowane metody z pierwiastkami i funkcjami trygonometrycznymi.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe techniki obliczania granic

Wskazówka: Zawsze najpierw spróbuj podstawić wartość bezpośrednio - to najszybszy sposób!

Faktoryzacja to twoja broń, gdy pojawia się symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$ . Rozłóż licznik i mianownik na czynniki, skróć wspólne elementy, a potem podstaw wartość graniczną.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Granice z pierwiastkami - metoda sprzęgania

Pamiętaj: Sprzęganie zawsze działa, gdy masz różnicę lub sumę pierwiastków!

Ta technika wymaga trochę wprawy, ale gdy ją opanujesz, będziesz rozwiązywać takie zadania w kilka sekund. Kluczem jest rozpoznanie momentu, kiedy użyć sprzęgania.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenie o trzech funkcjach

Wskazówka: Używaj tego twierdzenia, gdy funkcja zawiera sin, cos lub inne funkcje oscylujące!

To narzędzie szczególnie przydaje się przy funkcjach trygonometrycznych, które bez niego byłyby praktycznie niemożliwe do obliczenia.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Ciągi Liczbowe i Ich Właściwości

Zrozumienie ciągów liczbowych, w tym ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dowiedz się o ich monotoniczności, wzorach oraz sumach szeregów geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Ciągi Matematyczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych, ich granic oraz zbieżności. Dowiedz się o wzorach na sumy ciągów oraz zastosowaniach w finansach, takich jak procent prosty i składany. Idealne dla studentów matematyki i ekonomii.

Matematyka

Ciągi Rekurencyjne: Definicje i Przykłady

Zrozumienie ciągów rekurencyjnych określonych. Ta notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady obliczeń oraz metody wyznaczania kolejnych wyrazów. Idealna dla uczniów klasy 3, z praktycznymi zadaniami do samodzielnego rozwiązania.

Matematyka

Matura Matematyka 2023

Zbiór zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 roku. Obejmuje zagadnienia takie jak funkcje, geometria, obliczanie objętości i pól powierzchni, a także działania na potęgach i rozwiązywanie nierówności. Idealne materiały do nauki i powtórki przed maturą.

Matematyka

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące równań, funkcji, geometrii oraz ciągów. Idealny materiał do nauki i powtórki przed egzaminem.

Matematyka

Podstawy Prawdopodobieństwa

Zrozumienie podstaw rachunku prawdopodobieństwa, w tym definicje, zasady oraz obliczenia związane z przestrzenią zdarzeń losowych. Materiał obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak prawdopodobieństwo zdarzeń, reguły dodawania i mnożenia, oraz permutacje. Idealne dla studentów matematyki i statystyki.

Matematyka

Podobne notatki

Ciągi

8138

209

ciągi

3827

125

ciągi rekurencyjne określone

1654

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS